1 1. Jaka jest r�nica mi�dzy cech� skokow� i ci�g��? � poda� przyk�ady ka�dej z nich. Cecha ilo�ciowa : skokowa � przyjmuj�ca pewne warto�ci liczbowe i nie przyjmuj�ca warto�ci po�rednich cecha ta te� jest nazywana dyskretn�, przyk�ad: ilo�� bakterii, pracownik�w, pasa�er�w. ci�g�a � przyjmuj�ca warto�ci z pewnego przedzia�u liczbowego przyk�ad: wzrost, waga, plon. 2. Wymieni� typy cech i poda� po jednym przyk�adzie. Cechy jako�ciowe (opisowe, niemierzalne) przyjmuj�ce warto�ci nie b�d�ce liczbami, np.: kolor w�os�w, p�e�, smakowito��, pochodzenie spo�eczne. Cechy ilo�ciowe (mierzalne): np.: wzrost (w centymetrach), wiek (w latach), zarobek (w z�ot�wkach) Cechy skokowe : np.: liczba student�w w grupie Cechy ci�g�e : np.: waga 3. Poda� przynajmniej trzy nazwy rozk�ad�w cech i jakiego typu s� to cechy. Rozk�ady cech skokowych: 1. Rozk�ad zero � jedynkowy 2. Rozk�ad dwumianowy (Bernoulliego) 3. Rozk�ad Poissona Rozk�ady cech ci�g�ych: 4. Rozk�ad normalny jedno i dwu wymiarowy 5. Rozk�ad jednostajny 4. Poda� znane nazwy rozk�adu cech i jakiego typu s� to cechy. Rozk�ad zero-jedynkowy: Podstaw� do okre�lania rozk�adu zero-jedynkowego jest do�wiadczenie, kt�rego rezultatem mog� by� dwa wzajemnie wykluczaj�ce si� zdarzenia losowe. Oznaczy� je mo�emy jako A i zdarzenie przeciwne A� np. strzelaj�c do celu trafiamy (A=1) lub nie (A�=0). Zmienna losowa X ma taki rozk�ad, je�li przyjmuje warto�� A z prawdopodobie�stwem 0<p<1 oraz warto�� A� z prawdopodobie�stwem q = 1-p. Funkcja prawdopodobie�stwa zmiennej losowej ma posta�: P(X=1) = p, P(X=0) = p-1; p.(0,1). Dystrybuanta zmiennej losowej F(X) = {0, dla X<0; 1-p, dla 0 =< X <1; 1, dla X >=1}. Warto�� oczekiwana E(X) = 0(1-p) + (1p) = p. Wariancja D2(X) = (0-p)2(1-p)+(1-p)2p=p(1-p). Rozk�ad dwumianowy : Wykonujemy do�wiadczenie, kt�rego rezultatem mo�e by� zdarzenie A z P(A)=p lub A� z P(A�)=1-p. Jedno z nich przujmuje si� za sukces drugie jako pora�k�. Liczb� sukces�w zaobserwowanych w �n� pr�bach mo�e by� r�wna k=1,2,3,...,n. Zdarzenie X=k zachodzi, gdy w wyniku n-krotnego powtarzania do�wiadczenia zaobserwujemy k-razy zdarzenie A (wi�c n-k razy zdarzenie A�). Prawdopodobie�stwo otrzymania k sukces�w w do�wiadczeniu powtarzanym n razy (suma prawdopodobie�stw takich kombinacji, �e wyst�puje k razy A): P X k n kp p k nk ( ) ( ) = = . . . . . . - - 1 . Zmienna losowa X ma taki rozk�ad, je�li przyjmuje warto�ci k=0,1,2,...,n z prawdopodobie�stwami okre�lonymi wzorem: F x P X x n k p p k x k nk ( ) ( ) ( ) = . = . . . . . . - . - . 1 . Warto�� oczekiwana E(X)=np -suma warto�ci oczekiwanych niezale�nych zmiennych losowych o rozk�adach zerojedynkowych (pojedyncze do�wiadczenia), D2(X)=np(1-p) Rozk�ad Poissona : zmienna losowa X przyjmuj�ca warto�ci k = 0,1,2,... ma taki rozk�ad o parametrze ., je�li jej funkcja prawdopodobie�stwa opisana jest wzorem: P X k k e k ( ) ! = = - . . k = 0,1,2,..., gdzie . jest dodatni� sta�� (. > 0). Dystrybuant� rozk�adu Poissona okre�la wz�r: F x k e k k x ( ) ! = - ... . . Opieraj�c si� na definicji warto�ci oczekiwanej i wariancji zmiennej losowej skokowej, dla rozk�adu Poissona otrzymujemy: E(X)= ., D2(X)= .. Rozk�ad normalny: Zmienna losowa ma rozk�ad normalny N-(�,.2) o warto�ci �redniaj � i wariancji .2, je�eli jej funkcja g�sto�ci wyra�a si� wzorem (w pytaniu 14). 5. Poda� dwa przyk�ady cech w rozk�adzie dwumianowym. � 5 pr�b trafienia w tarcz� � 10 pr�b wyci�gni�cia czarnej kuli z urny zawieraj�cej kule czarne i bia�e (ze zwracaniem) 6. Poda� dwa przyk�ady cech w rozk�adzie normalnym. � Waga oraz wzrost osobnik�w jednorodnych populacji ludzkich lub zwierz�cych. � Plon na jednakowych poletkach do�wiadczalnych. � Wynik osi�gany w biegu na 100m 7. Poda� dwa przyk�ady cech w rozk�adzie Poissona. � Liczba usterek w produkowanych urz�dzeniach � Liczba skaz na okre�lonej powierzchni materia�u � Liczba b��d�w drukarskich na jednej stronie. 8. Zmienna losowa X ma rozk�ad N(10,25). Obliczy� P{|X-10|=<10} Cecha X-(�,.2) ma rozkk�ad normalny N-(�,.2). Z prawa trzech sigm: 2 P{|X- �|< .}=0,68 P{|X- �|< 2.}=0,95 P{|X- �|< 3.}=0,997 X-N(10,25); �=10, .=5 z prawa trzech sigm: P{|X-10|=<10}= P{|X- �|< 2.}=0,95 9. Zmienna losowa X ma rozk�ad N(10,25). Obliczy� P{|X-10|=<5} N(10,25), �=10, .=5 P{|X-10|=<5}= P{|X- �|< .}=0,68 10. X ~ N(100,100). Ile wynosi P{X .(90,110)}? Dystrybuanta F(X) dla standardowego rozk�adu jest stablicowana. Dla x=<0 zachodzi F(x)=1-F(-x). Standaryzacja. Je�eli XN( � ,.2), to Z=(X- �)/ .-N(0,1) P X a b F b F a { ' } . - - .. . .. . = - .. . .. . - - .. . .. . � . � . � . � . .Podstawiaj�c �=100, .=10, a=90, b=110 otrzymujemy P{X.(-1,1)}=F(1)-F(-1)=F(1)-1+F(1)=2F(1)-1=2(0,84134)-1=0,68=68% 11. X ~ N(120,64). Ile wynosi P{X .(104,136)}? N(120,64); Podstawiaj�c �=120, .=8, a=104, b=136 do wzoru z pyt. 10 otrzymujemy: P{X.(104,136)}= P{X.(-2,2)}=F(+2)-F(-2)=F(2)-1+F(2)=2F(2)-1=2x0,97725-1=0,9545=95% 12. Cecha X ma rozk�ad N(12,16). Bez u�ycia tablic obliczy� P{X . (8,16)}? �=12, .=4, P{X.(8,16)}=P{|X-12|=<4}=P{|X-�|=<.}=68% 13. Cecha X ma rozk�ad N(12,16). Bez u�ycia tablic obliczy� P{X . (4,20)}? �=12, .=4, P{X.(8,16)}=P{|X-12|=<8}=P{|X-�|=<.}=96% 14. W jaki spos�b mo�na sprawdzi� za�o�enie o normalno�ci. Zmienna losowa X ma rozk�ad normalny, je�lei jej funkcja g�sto�ci wyra�a si� wzorem: f x e x x � . � . . , ( ) ( ) , 2 2 1 2 1 -. < < - - . 15. W jakim celu stosuje si� w praktyce u�rednianie warto�ci pewnej cechy. Dzi�ki �redniej mo�emy sprawdzi�, czy dana warto�� cechy jest wzgl�dnie wi�ksza czy mniejsza ni� w reszcie populacji tzn. Je�eli jaka� warto�� jest powy�ej �redniej to jest mniej warto�ci wi�kszych w populacji, a wi�cej mniejszych. �rednia pozwala tak�e przewidzie� najbardziej prawdopodabny wynik np. je�li �rednia ilo�� trafie� na 10 wynosi 3, to gdy szacujemy ile b�dzie trafie�, najbardziej prawdopodobn� liczb� trafie� jest 3. 16. Wymieni� rozk�ady pojawiaj�ce si� we wnioskowaniu statystycznym, a zwi�zane z rozk�adem normalnym. � Rozk�ad Piscona � Rozk�ad Chi � kwadrat � Rozk�ad T - Studenta 17. Co to jest populacja? Populacja � zbi�r obiekt�w (fizycznych i nie tylko) z wyr�nion� cech� (-ami). Je�li zbi�r element�w populacji jest sko�czony to okre�lamy j� jako sko�czon� np. zbiorowo�� mieszka�c�w Polski, zbiorowo�� gospodarstw rolnych w danym wojew�dztwie. Je�li zbi�r element�w populacji jest niesko�czony to okre�lamy j� jako niesko�czon� � dotyczy raczej zjawisk ni� obiekt�w materialnych np. zbiorowo�� rzut�w monet�, zbiorowo�� mo�liwych wynik�w pomiaru wytrzyma�o�ci materia�u. 18. Co to jest pr�ba reprezentatywna? Pr�ba � wybrana cz�� populacji podlegaj�ca badaniu (pr�ba), jest reprezentatywna, gdy jej struktura ze wzgl�du na interesuj�ce nas cechy statystyczne jest zbli�ona do struktury populacji z kt�rej ona pochodzi, czyli wnioski wyci�gni�te z pr�by mo�na uog�lni� na ca�� populcje. Pr�ba jest reprezentatywna gdy spe�nione s� warunki: � Elementy populacji s� pobierane do pr�by w spos�b losowy. � Pr�ba jest dostatecznie liczna. 19. Co to jest wnioskowanie statystyczne? Wnioskowanie statystyczne � to mo�liwo�� uog�lnienia uzyskanych wynik�w na ca�� populacj� element�w oraz oszacowanie wielko�ci pope�nionych przy tym b��d�w. Wynik wnioskowania musi by� u�yteczny. 20. Jakie s� podstawowe r�nice mi�dzy populacj� i pr�b�? Pr�ba jest wybran� cz�ci� populacji, na podstawie jej danych wnioskujemy o populacji, czyli pr�ba pozwala scharakteryzowa� populacj�, np.: Spo�r�d wszystkich kobiet w Warszawie (Populacja) losujemy jak�� cz�� (Pr�ba) i na tej podstawie charakteryzujemy �redni wzrost kobiet w Warszawie. 21. Poda� przyk�ad pr�bki niereprezentatywnej dla oszacowania zr�nicowania zarobk�w w Polsce? Pr�b� przeprowadzamy w�r�d rolnik�w. 22. Poda� przyk�ad pr�bki niereprezentatywnej dla oszacowania �rednich zarobk�w ludzi w Polsce? Pr�b� przeprowadzamy w�r�d ludno�ci W-wy i ustalamy 3 23. Poda� przyk�ad pr�bki niereprezentatywnej dla wzrostu wszystkich kobiet w Polsce. Pr�b� przeprowadzamy w�r�d zawodniczek dru�yny koszykarskiej. 24. Co wp�ywa na jako�� wnioskowania statystycznego. Na jako�� wnioskowania statystycznego wp�ywa: � estymacja (szacowanie) nieznanych warto�ci parametr�w rozk�adu cechy w populacji. � s�uszno�� hipotez dotycz�cych albo warto�ci parametr�w rozk�adu cechy w populacji albo postaci tego rozk�adu. � jako�� pr�by: liczno��, losowy wyb�r. 25 i 26. Jakie s� �r�d�a b��d�w we wnioskowaniu statystycznym? Poda� przynajmniej dwa �r�d�a b��d�w we wnioskowaniu statystycznym. �r�d�a b��d�w: nieliczne lub nielosowo wybrane elementy pr�by wyb�r z�ego rozk�adu cechy w populacji, Estymacja : Z uwagi na to �e estymacji pewnego parametru za pomoc� okre�lonego jego estymatora Zn dokonujemy na podstawie wynik�w pr�by losowej, istnieje mo�liwo�� pope�nienia b��du. W celu uzyskania ma�ego b��du estymacji nale�y dba� o prawid�owe losowanie pr�by, jak i dob�r mo�liwie najlepszego estymatora Zn. W tym celu wprowadza si� pewne w�asno�ci, kt�re powinien posiada� dobry estymator: zgodno��, efektywno��, dostateczno�� i nieobci��ono�� Testowanie hipotez statystycznych : Z uwagi na to, �e testowanie hipotez statystycznych opiera si� na wynikach pr�by losowej, podj�ta w wyniku zastosowania danego testu decyzja o przyj�ciu lub odrzuceniu hipotezy nie zawsze jest bezb��dna (wyst�puj� b��dy I i II stopnia). 27. Co to jest estymator? Estymator jest narz�dziem wnioskowania statystycznego. Estymator jest to funkcja wynik�w z pr�by, czyli statystyka s�u��ca do oszacowania nieznanej warto�ci parametru populacji. Warto�� estymatora z konkretnej pr�by jest liczb� zwan� ocen� ...
kinga21114