KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE metoda sił.pdf

(547 KB) Pobierz
Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych
Część 3
16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
1
16
Í Ï Î
KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
16.1. METODA SIŁ
16.1.1. Obliczanie sił wewnętrznych
Z rozważań poprzedniego rozdziału wynika, że istnieje ścisły związek między statyczną wyznaczalno-
ścią a geometryczną niezmiennością konstrukcji. Konstrukcja statycznie niewyznaczalna jest układem
przesztywnionym, przy czym stopień przesztywnienia jest równy stopniowi statycznej niewyznaczalno-
ści, czyli liczbie brakujących równań niezbędnych do określenia pola statycznego.
Podstawową metodą obliczania konstrukcji statycznie niewyznaczalnych jest tzw. metoda sił . Wywo-
dzi się ona z następującego rozumowania. Konstrukcję statycznie niewyznaczalną można przekształcić w
wyznaczalną (w tzw. układ podstawowy ) przez usunięcie odpowiedniej liczby więzów i dodatkowe jej
obciążenie reakcjami tych więzów (tzw. siłami nadliczbowymi ). Liczba usuniętych więzów równa się
stopniowi statycznej niewyznaczalności, a wartości sił nadliczbowych muszą być takie, by były spełnione
kinematyczne warunki ciągłości (zgodności) przemieszczeń.
Rys. 16.1
Rozważymy konstrukcję dwukrotnie statycznie niewyznaczalną, przedstawioną na rys. 16.1 a . Przy
przyjmowaniu układu podstawowego mamy dużo swobody, gdyż układów takich jest nieskończenie wie-
le. Przyjmiemy układ podstawowy zobrazowany na rys. 16.1 b . Jest on statycznie wyznaczalny i geome-
trycznie niezmienny. Reakcje usuniętych więzów oznaczymy przez X 1 i X 2 . Na obciążenie układu pod-
stawowego składają się zarówno obciążenia zewnętrzne q i P , jak i siły nadliczbowe X 1 i X 2 . Ponieważ
przyczyny (tzn. siły nadliczbowe) i skutki (siły przekrojowe, reakcje) są powiązane liniowymi równania-
mi równowagi, niezależnie od charakterystyki fizycznej materiału obowiązuje zasada superpozycji zapi-
sana zależnościami (15.3). Z zależności tych otrzymujemy następujące wyrażenia na wielkości statyczne
w układzie niewyznaczalnym:
RR RX RX
NN NX NX
QQ QX QX
MM MX MX
,
( a )
0 1 1 2 2
01122
,
,
0
1 1
2 2
,
gdzie indeksem 0 oznaczono wielkości statyczne występujące w statycznie wyznaczalnym układzie pod-
stawowym, wywołane przez obciążenie zewnętrzne, natomiast indeksy 1 i 2 odnoszą się do wielkości
statycznych w układzie podstawowym wywołanych odpowiednio przez obciążenia X 1 = 1 i X 2 = 1. Wy-
mienione wyżej wielkości statyczne zestawiono na rys. 16.2. Wzór ( a ) opisuje nieskończenie wiele sta-
tycznie dopuszczalnych reakcji i pól sił wewnętrznych, gdyż wartości nadliczbowe X 1 i X 2 są na razie
niewiadome.
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna
=+ +
=+ +
=+ +
=+ +
01122
93765784.003.png
Część 3
16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
2
Rys. 16.2
Zwróćmy uwagę, że w układzie statycznie wyznaczalnym stan X 1 = 1 jest równoznaczny z występo-
waniem reakcji podporowych R 1 oraz sił wewnętrznych N 1 , Q 1 i M 1 . W konstrukcji statycznie niewyzna-
czalnej układ sił R 1 , N 1 , Q 1 , M 1 pozostaje zatem w równowadze z zerowym obciążeniem zewnętrznym.
Pod wpływem czynników zewnętrznych (obciążenie, temperatura, błędy wykonania, osiadanie podpór)
układ niewyznaczalny zdeformuje się. Miarą tej deformacji są rzeczywiste uogólnione odkształcenia
,
,
k i związane z nimi rzeczywiste przemieszczenia uogólnione u , w ,
oraz rzeczywiste osiadania podpór
* jest kinema-
tycznie dopuszczalny, więc wielkości te spełniają równanie pracy wirtualnej (14.4) w układzie statycznie
niewyznaczalnym:
. Ponieważ siły R 1 , N 1 , Q 1 , M 1 są statycznie dopuszczalne, a układ
,
, k , u, w,
i
(
NQM s
1
++
1
1
k
)
= + +
(
quqwm s
x
1
z
1
y
1
)
+
R
f
1
*
.
s
s
f
Po uwzględnieniu, że obciążenie zewnętrzne jest równe zeru, tzn. q x 1 = q z 1 = m y 1 = 0, otrzymujemy bardzo
ważną zależność:
( b )
NQM s
β++
1
1
k
)
=
f
1
*
,
s
f
* w układzie statycznie niewyznaczalnym. Analo-
giczną zależność można ułożyć dla stanu X 2 = 1. Dysponujemy zatem następującymi równaniami:
( c )
NQM s
i
β++
i
i
k
)
R
fi f
*
= =
0
,
i
1 2
, .
s
f
Równania ( c ) są poszukiwanymi równaniami ciągłości lub tzw. warunkami zgodności przemieszczeń.
Odnotujmy, że zależność ( c ) obowiązuje dla każdego materiału pod warunkiem, że jest słuszna zasada
zesztywnienia, czyli gdy przemieszczenia są bardzo małe.
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna
*
f
(
1
f
gdzie symbol całkowania dotyczy wszystkich prętów konstrukcji, a sumowanie przedstawia pracę reakcji
R f 1 na rzeczywistych przemieszczeniach podpór
(
93765784.004.png
Część 3
16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
3
Aby wyznaczyć wartości sił nadliczbowych, trzeba sprecyzować zależności fizyczne. Dla prętów wy-
konanych z materiału liniowo-sprężystego zależności te przyjmują postać (por. wzory (15.6)):
=
N
+
0
=
1
(
N
+
N
X
+
N
X
)
+
0
,
EA
EA
0
1
1
2
2
( d )
=
Q
+
0
=
k
(
Q
+
Q
X
+
Q
X
)
+
0
,
(
GA
/
k
)
GA
0
1
1
2
2
=
M
+
0
=
1
(
M
+
M
X
+
M
X
)
+
0
.
EJ
EJ
0
1
1
2
2
Po podstawieniu zależności fizycznych ( d ) do równań ciągłości ( c ) otrzymujemy układ równań algebra-
icznych do wyznaczenia sił nadliczbowych:
( e )
11 1
X
+
12 2
X
+
10
=
0
0
,
,
X
+
X
+
=
21 1
22 2
20
gdzie
ik
=
NN
EA
ik
+
QQ
GA k
ik
+
MM
EJ
i k
ds i k
, ,
=
12
, .
( / )
s
( f )
N
EA
Q
GA k
M
EJ
=
N
0
+
0
+
Q
0
+
0
+
M
0
+
k
0
ds
R
*
.
i
0
i
i
i
fi
f
( / )
s
f
Układ równań ( e ) nosi nazwę równań kanonicznych metody sił . Jest to układ równań liniowych ze
względu na niewiadome siły nadliczbowe X 1 i X 2 . Liniowość układu równań kanonicznych wynika z fak-
tu, że materiał wszystkich prętów konstrukcji jest liniowo-sprężysty. Liniowe cechy materiału nadają
współczynnikom
ik własność symetrii, polegającą na tym, że
ik =
ki . Własność ta wynika z twierdzenia
o wzajemności Bettiego (por. p.5.4), gdyż współczynniki
ik mają sens przemieszczeń. Z budowy zależ-
ik oznacza przemieszczenie punktu przyłożenia jednostkowej
siły nadliczbowej X i wywołane siłą nadliczbową działaniem X k = 1 w układzie podstawowym. Wyraz
wolny
i 0 jest natomiast przemieszczeniem punktu przyłożenia siły X i wywołanym przez działanie czyn-
ników zewnętrznych w układzie podstawowym. Każde z równań kanonicznych wyraża zatem fakt, że
przemieszczenie względne w kierunku działania danej siły nadliczbowej jest równe zeru. Odnotujmy, że
liczba równań kanonicznych (tzn. warunków zgodności przemieszczeń) jest równa liczbie niewiadomych
sił X i .
Dla ilustracji obliczeń metodą sił wyznaczymy siły nadliczbowe X 1 i X 2 oraz sporządzimy ostateczne
wykresy sił są wykonane z dwuteowników walcowanych, a ukośny pręt (tzw. zastrzał) połączony prze-
gubowo jest rurą o stałym przekroju (por. rys. 16.1 a ):
słupy (IPE 140): A = 16,40 · 10 −
4 m 2 , J = 541 · 10 − 8 m 4 , k = 2,75,
rygiel (IPE 220): A = 33,40 · 10 −
4 m 2 , J = 2770 · 10 − 8 m 4 , k = 2,80,
zastrzał (rura 100/4): A = 12,06 · 10 −
4 m 2 , J = 139 · 10 − 8 m 4 .
Wszystkie pręty są wykonane ze stali o module sprężystości E = 2,0 · 10 8 kN/m 2 oraz module ścinania
G = 0,75 · 10 8 kN/m 2 .
Sztywności poszczególnych przekrojów wynoszą:
Słupy
EA = 2 ·10 8 ·16,4 ·10 −
4
= 32,8 ·10 4 kN,
GA / k = 0,75 ·10 8 ·16,4 ·10 −
4 /2,75 = 4,45
10 4 kN,
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna
ności ( f ) widać bowiem, że współczynnik
93765784.005.png
Część 3
16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
4
EJ = 2 ·10 8 ·541 ·10 −
8 = 0,1082 ·10 4 kN
m 2 ,
Rygiel
EA = 2 ·10 8 ·33,4 ·10 − 4 = 66,8 ·10 4 kN,
GA / k = 0,75 ·10 8 ·33,4 ·10 − 4 /2,80 = 8,95 ·10 4 kN,
EJ = 2·10 8 ·2770 ·10 − 8 = 0,554 ·10 4 kN
m 2 ,
Zastrzał
EA = 2·10 8 ·12,06 ·10 −
4 = 24,12 ·10 4 kN.
i 0 obliczymy według wzorów ( f ) z wykorzystaniem wykresów sił wewnętrz-
nych podanych na rys. 16.2 (
Współczynniki
ik oraz
0 = 0,
0 = 0, k 0 = 0,
*
=
0
):
f
4
08 4
32 8
,
2
06 3
66 8
,
2
15
24 15
2
06 4
445
,
2
08 3
895
,
2
10
=
+
+
+
+
+
11
,
,
,
,
,
+
24 4 05 067
0554
0 078 0 016 0 207 0 323 0 214 53 235 13 863 67 72
,
⋅ ⋅ ⋅
, ,
,
+
,
⋅ ⋅ ⋅
, ,
=
,
,
=
,
+
,
+
,
+
,
+
,
+
,
+
,
=
,
m / kN
,
10
4
12
=
10
4
21
=
(, (, )
,
0 8 0 167 4
32 4
+
0
66 8
+
0
24 12
+
06 025 4
445
,( , )
,
+
,
,
+
0
895
24405067
0 1082
,
⋅ ⋅ ⋅
, ,
+
0
0 554
=
0 016 0 135 29 575
,
,
,
= −
29694
kN
1
,
,
,
,
4
2 0 167 4
32 8
,
2
025 6
66 8
,
2
0
24 12
2025 4
445
,
2
0 167 6
895
,
2
10
=
+
+
+
+
+
22
,
,
,
,
,
+
1605067
0 554
0 0068 0 0056 0 1112
21405067
0 1082
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
, ,
+
⋅ ⋅ ⋅
, ,
=
,
,
=
,
+
,
+
,
+
+0
,
0186 24 6457 3 6101 28 3992
+
,
+
,
=
,
(
kN m
) .
1
10
4
=
(,
− ⋅ ⋅ −
08 4
)( )
,
259
+
0
66 8
+
0
24 12
+
(,
− ⋅ ⋅
06 4 24
445
)
+
10
32 8
,
,
,
+
(, )(
96 4 0 5 0 67 2 4
01082
162 3 05 067 24 36 3 0125 067 3 24 05
0554
08 3
108 05
895
, )
+
(
− ⋅ ⋅ ⋅
, ,
, )
+
,
,
+
⋅ ⋅ ⋅
, ,
− ⋅ ⋅
2
,
⋅ ⋅
,
,
,
=
,
=
25 26 12 94
,
,
+
14 48 2839 19 529 86
,
,
+
,
= −
2282 53
,
m.
10
4
=
0 167 4 259 65
32 8
,
(
)
+
(,
025 6
⋅ ⋅ −
)(, )
,
24
+
(,
025 4
⋅ ⋅ −
)(, )
24
+
20
,
66 8
445
,
+
14 0596067
01082
258 6 067 36 6 0125 067 6 05
0554
3 94 0 54 4 6 5 4 1182
,
⋅ ⋅
, (
)
+
⋅ ⋅
,
⋅ ⋅
,
+
,
,
⋅ ⋅
,
⋅ ⋅
2
,
⋅ ⋅
,
,
+
=
,
=
,
+
,
+
,
+
,
+
,
99 346 57 1544 24
+
,
=
, rad.
Układ równań kanonicznych ( e ) przybiera postać:
67 72
,
X
1
29 69
,
X
2
= −
10
10
4
,
29 69
,
X
1
+
28 40
,
X
2
= −
20
10
4
,
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna
2430506724
01082
− ⋅ ⋅ −
,
0 167 6 0 5 151 65
895
93765784.006.png
Część 3
16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
5
a jego rozwiązanie można wyrazić, jak następuje:
10
4
X
1
28 4 29 69
67 72 28 40 29 69
, ( ) ,
,
⋅ −
10
20
2
=−
0 02726
,
10
0 0285
20
,
,
,
10
4
X
67 72 29 69
67 72 28 40 29 69
,
⋅ −
20
)
,
10
=−
00285
,
0065
.
2
10
20
2
,
,
,
Po podstawieniu wartości
10 i
20 otrzymujemy siły nadliczbowe:
X 1 =
0,02726 ·(
2282,53)
0,0285 ·1544,24 = 18,2 kN,
X 2 =
0,02850 ·(
2282,53)
0,0650 ·1544,24 =
35,3 kNm.
Ostateczne wartości reakcji i sił wewnętrznych można wyznaczyć za pomocą równań ( a ). Innym spo-
sobem jest ponowne obliczenie układu podstawowego poddanego działaniu obciążeń zewnętrznych oraz
znanych już sił nadliczbowych X 1
i X 2 . Reakcje i siły wewnętrzne w układzie niewyznaczalnym podano na rys. 16.3.
Rys. 16.3
Z przytoczonych rachunków widać, że zginanie ma dominujący wpływ na wartości współczynników
układu równań kanonicznych. Wniosek ten trzeba stosować z dużą ostrożnością, bo są konstrukcje, w
których równie istotny jest wpływ wydłużeń. Do takich konstrukcji należą np. łuki ze ściągiem
(rys. 16.4 a ). Ponieważ ściąg ma na ogół stosunkowo mały przekrój, wpływ jego wydłużenia jest bardzo
istotny i nie można go pominąć. Podobnie jest w kratownicach (rys. 16.4 b ), w których wydłużenia prętów
są jedyną przyczyną pojawienia się przemieszczeń. Wpływ sił poprzecznych jest z reguły bardzo mały i
nieomal zawsze można go pominąć. Wyjątek stanowią belki lub ramy wykonane z bardzo krępych prętów
(np. fundamenty ramowe pod turbogeneratory), w których stosunek wysokości przekrojów do rozpiętości
jest rzędu 1/10.
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna
=
,
(
=
,
93765784.001.png 93765784.002.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin