2. Charakterystyki geometryczne figur płaskich.pdf

(142 KB) Pobierz
Microsoft Word - 02chgeo.doc
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Charakterystyki geometryczne figur płaskich.
2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH
2.1. Definicje podstawowych charakterystyk geometrycznych
Podczas zaj ħę z wytrzymało Ļ ci materiałów spotkamy si ħ z nast ħ puj Ģ cymi charakterystykami
geometrycznymi figur płaskich:
• pole powierzchni figury,
• moment statyczny figury wzgl ħ dem danej osi,
• moment bezwładno Ļ ci figury wzgl ħ dem danej osi,
• moment dewiacji (od Ļ rodkowy) wzgl ħ dem danych osi,
• biegunowy moment bezwładno Ļ ci,
• promie ı bezwładno Ļ ci,
• wska Ņ nik wytrzymało Ļ ci,
• rdze ı przekroju.
Omówimy teraz pierwszych sze Ļę , pozostałe w toku dalszych wykładów i ę wicze ı .
Rozwa Ň my figur ħ płask Ģ , pokazan Ģ na rys.2.1, stanowi Ģ c Ģ obszar A, okre Ļ lony w
kartezja ı skim układzie osi ( X, Y )
Y
Y 1
x
dA
A
a
x 1
y
y 1
X 1
b
X
Rys. 2.1
Polem powierzchni tej figury nazywamy:
A
=
ÐÐ
dA
[m 2 ] ( > 0).
A
Momentem statycznym figury płaskiej o polu A wzgl ħ dem osi X nazywamy :
S
x
=
ÐÐ
y
dA
[m 3 ] ( >, =, < 0).
A
Momentem statycznym figury płaskiej o polu A wzgl ħ dem osi Y nazywamy :
S
y
=
ÐÐ
x
dA
[m 3 ] ( >, =, < 0).
A
Obliczamy momenty statyczne tej figury wzgl ħ dem nowych osi ( X 1 , Y 1 ) przesuni ħ tych o a i b
wzgl ħ dem osi ( X, Y ). Poniewa Ň :
y
1
=
y
−
b
i
x
=
x
−
a
,
to:
11
1
88670227.021.png 88670227.022.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Charakterystyki geometryczne figur płaskich.
S
x
1
=
ÐÐ
y
1
dA
=
ÐÐ
(
y
−
b
)
dA
=
S
x
−
b
A
,
A
A
S
y
1
=
ÐÐ
x
1
dA
=
ÐÐ
(
x
−
a
)
dA
=
S
y
−
a
A
.
A
A
S
x
1
=
S
x
−
b
A
,
S
y
1
=
S
y
−
a
A
(2.1)
gdzie: a i b współrz ħ dne pocz Ģ tku nowego układu w starym.
Postawmy teraz takie zadanie: maj Ģ c osie ( X,Y ) znale Ļę poło Ň enie nowych osi ( X c ,Y c )
wzgl ħ dem których momenty statyczne b ħ d Ģ równe zero.
Z równania (2.1) łatwo otrzymujemy współrz ħ dne pocz Ģ tku nowego układu osi ( X c ,Y c )
wzgl ħ dem których momenty statyczne s Ģ równe zero:
x
=
S
y
;
y
=
S
x
(2.2)
c
c
A
A
Punkt C o współrz ħ dnych okre Ļ lonych wzorami (2.2) nazywa ę b ħ dziemy Ļ rodkiem ci ħŇ ko Ļ ci
figury płaskiej, a osie, które przechodz Ģ przez Ļ rodek ci ħŇ ko Ļ ci nazywamy osiami
centralnymi.
Osie centralne figury płaskiej to osie wzgl ħ dem których jej momenty statyczne s Ģ równe zero.
Wzory (2.2) pozwalaj Ģ wyznaczy ę moment
statyczny figury wzgl ħ dem dowolnej osi, bez
konieczno Ļ ci całkowania, je Ļ li tylko znamy
jej pole powierzchni A i poło Ň enie jej Ļ rodka
ci ħŇ ko Ļ ci C .
C
A
z
h
S z
=
hA
Zdefiniujemy teraz kolejno momenty bezwładno Ļ ci, moment dewiacji i biegunowy moment
bezwładno Ļ ci.
Y 1
Y
x 1
dA
A
a
x
r
y
y 1
O
X
b
X 1
Rys. 2.2
Momentem bezwładno Ļ ci figury płaskiej o polu A (rys.2.2) wzgl ħ dem osi X nazywamy:
J
=
ÐÐ
y
2
dA
[m 4 ] ( > 0).
x
A
Momentem bezwładno Ļ ci figury płaskiej o polu A wzgl ħ dem osi Y nazywamy:
J
=
ÐÐ
x
2
dA
[m 4 ] ( > 0).
y
A
12
88670227.023.png 88670227.024.png 88670227.001.png 88670227.002.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Charakterystyki geometryczne figur płaskich.
Momentem dewiacji figury płaskiej o polu A wzgl ħ dem układu osi ( X,Y ) nazywamy:
J
xy
=
ÐÐ
xy
dA
[m 4 ] ( >, =, < 0).
A
Biegunowym momentem bezwładno Ļ ci figury płaskiej o polu A wzgl ħ dem bieguna O nazy-
wamy:
J
=
ÐÐ
r
2
dA
[m 4 ] ( > 0).
0
A
= co pozwala stwierdzi ę , Ň e:
biegunowy moment bezwładno Ļ ci wzgl ħ dem dowolnego punktu równa si ħ sumie
momentów bezwładno Ļ ci wzgl ħ dem dwóch do siebie prostopadłych osi przechodz Ģ cych
przez ten punkt.
Obliczmy momenty bezwładno Ļ ci i dewiacji tej figury wzgl ħ dem nowych osi ( X 1 , Y 1 )
przesuni ħ tych o a i b wzgl ħ dem osi ( X, Y ). Poniewa Ň :
r
2
=
x +
2
y
2
, to łatwo zobaczy ę , Ň e:
J
J
+
J
0
x
y
y
1
=
y
+
b
i
x
1
=
x
+
a
, to:
J
=
ÐÐ
y
2
1
dA
=
ÐÐ
(
y
+
b
)
2
dA
=
ÐÐ
(
y
2
+
2
by
+
b
2
)
dA
=
J
+
2
b
S
+
b
2
A
,
x
1
x
x
A
A
A
J
=
ÐÐ
x
2
1
dA
=
ÐÐ
(
x
+
a
)
2
dA
=
ÐÐ
(
x
2
+
2
ax
+
a
2
)
dA
=
J
+
2
a
S
+
a
2
A
,
y
y
y
1
A
A
A
J
x
1
y
1
=
ÐÐ 1
x
1
y
dA
=
ÐÐ
(
x
+
a
)(
y
+
b
)
dA
=
J
xy
+
aS
x
+
bS
y
+
abA
.
A
A
Je Ļ li stare osie ( X,Y ) s Ģ osiami centralnymi to
S
x
=
0
oraz
S
y
=
0
i otrzymujemy wzory
stanowi Ģ ce tre Ļę twierdzenia Steinera:
J
x
1
=
J
xc
+
b
2
A
J
y
1
=
J
yc
+
a
2
A
(2.3)
J
x
1
y
1
=
J
xcyc
+
ab
A
, , momenty bezwładno Ļ ci i dewiacji wzgl ħ dem osi centralnych zgodnie
równoległych z osiami ( X 1 ,Y 1 ), a i b współrz ħ dne Ļ rodka ci ħŇ ko Ļ ci figury w układzie ( X 1 , Y 1 ).
J
xc
J
yc
,
J
xcyc
Wyznaczymy teraz momenty bezwładno Ļ ci i dewiacji wzgl ħ dem układu osi (x , h) obróconego
wzgl ħ dem pocz Ģ tku układu ( X,Y ) o k Ģ t a, jak to pokazane jest na rys.2.3 .
h
Y
A
x
dA
x
h
x
a
y
a
X
Rys. 2.3
13
Poniewa Ň :
gdzie:
88670227.003.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Charakterystyki geometryczne figur płaskich.
Łatwo zobaczy ę , Ň e współrz ħ dne punktu w nowym układzie zwi Ģ zane s Ģ ze współrz ħ dnymi w
starym układzie poprzez zale Ň no Ļ ci:
x
=
x
cos
a
+
y
sin
a
;
h
=
−
x
sin
a
+
y
cos
a
,
co mo Ň na zapisa ę w postaci macierzowej:
Å
Æ
x
Õ
Ö
=
Å
Æ
cos
a
,
sin
a
Õ
Ö
Å
Æ
x
Õ
Ö
,
h
−
sin
a
,
cos
a
y
gdzie:
Å
Æ
cos
a
,
sin
a
Õ
Ö
- macierz przej Ļ cia od układu starego do nowego, jej wiersze to
−
sin
a
,
cos
a
współrz ħ dne wersorów kierunkowych nowych osi w starym układzie.
Zgodnie z definicjami momentów bezwładno Ļ ci i dewiacji otrzymujemy:
J
= ÐÐ ÐÐ
h
2
dA
=
(
−
x
sin
a
+
y
cos
a
)
2
dA
=
J
cos
2
a
+
J
sin
2
a
−
2
J
sin
a
cos
a
,
x
x
y
xy
A
A
J
= ÐÐ ÐÐ
x
2
dA
=
(
x
cos
a
+
y
sin
a
)
2
dA
=
J
sin
2
a
+
J
cos
2
a
+
2
J
sin
a
cos
a
,
h
x
y
xy
A
A
J
xh
= ÐÐ ÐÐ
x
dA
=
(
x
cos
a
+
y
sin
a
) (
−
x
sin
a
+
y
cos
a
) =
dA
A
A
=
J
cos
2
a
−
J
sin
2
a
+
J
sin
a
cos
a
−
J
sin
a
cos
a
.
xy
xy
x
y
Po wykorzystaniu zale Ň no Ļ ci trygonometrycznych:
sin
2
a
=
2
sin
a
cos
a
,
cos
2
a
=
cos
2
a
−
sin
2
a
,
cos
2
a
=
(
1
+
cos
2
a
)
2
,
sin
2
a
=
(
1
−
cos
2
a
) ,
2
mamy ostatecznie:
J
=
J
x
+
J
y
+
J
x
−
J
y
cos
2
a
−
J
sin
2
a
,
x
2
2
xy
J
=
J
x
+
J
y
−
J
x
−
J
y
cos
2
a
+
J
sin
2
a
,
(2.4)
h
2
2
xy
J
=
J
x
−
J
y
sin
2
a
+
J
cos
2
a
.
xh
2
xy
Warto zapami ħ ta ę te zale Ň no Ļ ci. Wzory o identycznej strukturze jeszcze nie raz pojawi Ģ si ħ w
wytrzymało Ļ ci materiałów.
Bez trudu mo Ň na stwierdzi ę , Ň e:
J
x
+ h
J
=
J
x J
+
y
,
czyli, Ň e suma momentów bezwładno Ļ ci figury płaskiej wzgl ħ dem dwóch dowolnych ale
prostopadłych do siebie osi o wspólnym pocz Ģ tku jest wielko Ļ ci Ģ stał Ģ i co mo Ň emy doda ę
równa si ħ jej biegunowemu momentowi bezwładno Ļ ci wzgl ħ dem punktu pocz Ģ tkowego.
14
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
88670227.004.png 88670227.005.png 88670227.006.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Charakterystyki geometryczne figur płaskich.
2.2. Główne osie i momenty bezwładno Ļ ci
Postawimy, teraz wa Ň ne pytanie: o jaki k Ģ t a nale Ň y obróci ę układ osi ( X,Y ) aby momenty
bezwładno Ļ ci w nowym układzie osi Ģ gn ħ ły warto Ļ ci ekstremalne.
Jest to proste zadanie poszukiwania ekstremum funkcji jednej zmiennej.
Warunki zerowania si ħ pochodnych momentów bezwładno Ļ ci x
J wzgl ħ dem k Ģ ta a:
dJ
x
=
−
2
J
x
−
J
y
sin
2
a
−
2
J
cos
2
a
=
0
xy
d
a
2
dJ
h
=
2
J
x
−
J
y
sin
2
a
+
2
J
cos
2
a
=
0
,
xy
d
a
2
daj Ģ jedno równanie:
J
x
−
J
y
sin
2
a
+
J
cos
2
a
=
0
.
xy
2
Z powy Ň szego równania, którego lewa strona to moment dewiacji xh
J wzgl ħ dem nowych osi
otrzymujemy:
tg a
2
=
2
J
−
xy
J
®
a
=
1
arc
tg
2
J
xy
+
n
p
(2.5)
J
2
J
−
J
2
y
x
y
x
co dowodzi, Ň e osie wzgl ħ dem których momenty bezwładno Ļ ci osi Ģ gaj Ģ warto Ļ ci ekstremalne,
a moment dewiacji jest równy zero s Ģ do siebie prostopadłe. Tworz Ģ one układ osi, który
nazywa ę b ħ dziemy układem głównych osi bezwładno Ļ ci. Zatem:
główne osie bezwładno Ļ ci figury płaskiej w dowolnym punkcie to dwie prostopadłe osie
wzgl ħ dem których jej moment dewiacji jest równy zero a momenty bezwładno Ļ ci s Ģ
ekstremalne (główne momenty bezwładno Ļ ci).
Policzmy warto Ļ ci głównych momentów bezwładno Ļ ci.
Wykorzystuj Ģ c wzory trygonometryczne:
sin
2
a
=
tg
2
a
;
cos
2
a
=
1
2
2
±
1
+
tg
2
a
±
1
+
tg
2
a
w których za
tg wstawiamy wzór (2.5), podstawiamy je do wzorów na x
2
J oraz h
J i
otrzymujemy:
15
J i h
88670227.007.png 88670227.008.png 88670227.009.png 88670227.010.png 88670227.011.png 88670227.012.png 88670227.013.png 88670227.014.png 88670227.015.png 88670227.016.png 88670227.017.png 88670227.018.png 88670227.019.png 88670227.020.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin