6. Teoria stanu odkształcenia.pdf

(150 KB) Pobierz
Microsoft Word - 06stanod.doc
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Teoria stanu odkształcenia.
6. TEORIA STANU ODKSZTAŁCENIA
6.1. Wektor przemieszczenia liniowego. Odkształcenia liniowe i k Ģ towe.
Kilkakrotnie ju Ň było powiedziane, Ň e przedmiotem naszych rozwa Ň a ı jest ciało odkształcal-
ne, tzn. takie, które pod działaniem sił obci ĢŇ aj Ģ cych lub innych czynników (np. cieplno-
wilgotno Ļ ciowych) zmienia swoje kształty i wymiary. Oznacza to, Ň e punkty tego ciała mog Ģ
zmieniaj Ģ swoje poło Ň enie w przestrzeni, przy czym, co wyra Ņ nie nale Ň y podkre Ļ li ę , b ħ dzie
nas interesowa ę zmiana poło Ň enia punktów ciała powstała w wyniku jego deformacji, a nie
na skutek jego ruchu jako bryły sztywnej.
konfiguracja
pocz Ģ tkowa
Wektor maj Ģ cy pocz Ģ tek w punkcie ciała nie
zdeformowanego (w konfiguracji pocz Ģ tkowej), a
koniec w tym samym punkcie po deformacji (w
konfiguracji aktualnej) nazywa ę b ħ dziemy
wektorem przemieszczenia liniowego w tym
punkcie. Na rys. 6.1 jest to wektor
w
A
A’
u
w
=' . Poniewa Ň , w ogólno Ļ ci wektory
przemieszczenia liniowego w ró Ň nych punktach s Ģ
ró Ň ne to mo Ň emy powiedzie ę , Ň e przyło Ň one
obci ĢŇ enia generuj Ģ w bryle odkształcalnej
wektorowe pole przemieszcze ı , którego
współrz ħ dne s Ģ funkcjami poło Ň enia punktu w
konfiguracji pocz Ģ tkowej
A
u
+
v
+
Z
v
X
Y
konfiguracja
aktualna
u =
u
(
x
, z
) ,
,= .Taki opis deformacji
bryły nazywamy materialnym a współrz ħ dne,
współrz ħ dnymi Lagrange’a.
Do oceny wielko Ļ ci zmian kształtów i wymiarów bryły wygodnie jest zdefiniowa ę pewne ich
miary - miary deformacji.
v
=
v
(
x
,
y
,
z
)
,
w
w
(
x
y
,
z
)
Rys. 6.1
konfiguracja
pocz Ģ tkowa
W tym celu rozwa Ň my zachowanie si ħ dwóch
punktów A i B które w konfiguracji pocz Ģ tkowej
odległe były o l , a po przyło Ň eniu obci ĢŇ enia
długo Ļę ł Ģ cz Ģ cego ich włókna (linii materialnej)
zwi ħ kszyła si ħ o D (rys. 6.2).
Odkształceniem liniowym w punkcie A w kierunku
punktu B nazywa ę b ħ dziemy:
B’
D ’
l 0 +
D l
C ’
A’
O ’
D
l 0
D
l
Z
A
B
O
C
e
=
lim
(6.1)
AB
l
®
0
l
0
0
X
Y
Mo Ň emy wi ħ c powiedzie ę , Ň e odkształceniem
liniowym w punkcie w wybranym kierunku
nazywamy wzgl ħ dny przyrost długo Ļ ci włókna w
tym punkcie na skutek przyło Ň onych obci ĢŇ e ı .
Odkształcenie liniowe, które odpowiada
wydłu Ň eniu włókna uwa Ň amy za dodatnie.
Odkształcenie liniowe nazywane te Ň s Ģ
odkształceniami podłu Ň nymi.
konfiguracja
aktualna
Rys. 6.2
49
A
y
88670254.044.png 88670254.045.png 88670254.046.png 88670254.047.png 88670254.001.png 88670254.002.png 88670254.003.png 88670254.004.png 88670254.005.png 88670254.006.png
 
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Teoria stanu odkształcenia.
Je Ň eli rozwa Ň ymy dwa prostopadłe włókna przechodz Ģ ce przez wspólny punkt O w
konfiguracji pocz Ģ tkowej (rys. 6.2) to ich odkształcenie k Ģ towe definiujemy jako:
(
=
lim
C
ˆ
−
C
'
ˆ
'
D
'
)
.
(6.2)
C
O
D
C
®
O
i
D
®
O
Zatem odkształceniem k Ģ towym nazywa ę b ħ dziemy k Ģ t o jaki zmieni si ħ w wyniku
przyło Ň onych obci ĢŇ e ı k Ģ t prosty mi ħ dzy dwoma włóknami przechodz Ģ cymi w konfiguracji
pocz Ģ tkowej przez wspólny punkt.
Odkształcenie k Ģ towe któremu odpowiada zmniejszenie si ħ k Ģ ta prostego uwa Ň amy za
dodatnie.
Odkształcenie k Ģ towe nazywane te Ň s Ģ odkształceniami postaciowymi.
6.2. Stan odkształcenia w punkcie
Stan odkształcenia w punkcie to niesko ı czony zbiór odkształce ı liniowych i k Ģ towych
wszystkich włókien przechodz Ģ cych przez ten punkt.
Mo Ň na wyró Ň ni ę trzy rodzaje stanu odkształcenia w punkcie: jednoosiowy, płaski i
przestrzenny.
S Ģ one zwi Ģ zane z wymiarowo Ļ ci Ģ modelu ciała, który został przyj ħ ty do rozwa Ň a ı i st Ģ d
jednoosiowy stan odkształcenia nie znajduje teoretycznych i praktycznych zastosowa ı .
W tym miejscu warto podkre Ļ li ę zasadnicze ró Ň nice mi ħ dzy poj ħ ciami, które wyst ħ puj Ģ w
teorii stanu odkształcenia i napr ħŇ enia. W definicji odkształce ı wyst ħ puje punkt i okre Ļ lone
co do kierunku włókno przez niego przechodz Ģ ce, a w definicji napr ħŇ enia wyst ħ puje punkt i
płaszczyzna o okre Ļ lonej normalnej przechodz Ģ ca przez ten punkt. Dlatego, mimo, Ň e jak si ħ
pó Ņ niej oka Ň e identycznego matematycznego formalizmu w obliczeniach, nie wszystkie
cechy obu tych stanów mog Ģ by ę identycznie interpretowane i traktowane.
Mówimy, Ň e znamy stan odkształcenia w analizowanej konstrukcji, je Ļ li znamy stan
odkształcenia w ka Ň dym jej punkcie.
6.3. Macierz odkształce ı . Graficzny obraz macierzy odkształce ı
W dowolnie wybranym punkcie bryły mo Ň emy definiowa ę odkształcenia liniowe i k Ģ towe w
dowolnych kierunkach, równie Ň w kierunkach osi układu odniesienia. Odkształcenia liniowe i
k Ģ towe w danym punkcie w kierunkach osi układu zapiszemy w postaci macierzy, któr Ģ
nazywa ę b ħ dziemy macierz Ģ odkształce ı :
Ä
e
1
g
1
g
Ô
x
xy
xz
2
2
Å
Õ
1
1
Å
Õ
T
=
g
e
g
(6.3)
e
yx
y
yz
Å
2
2
Õ
Å
1
1
Õ
Å
g
g
e
Õ
Æ
2
zx
2
zy
z
Ö
Tak wi ħ c:
macierz odkształce ı w punkcie to uporz Ģ dkowany zbiór odkształce ı liniowych i
k Ģ towych trzech włókien przechodz Ģ cych przez ten punkt i równoległych do osi układu
odniesienia.
Macierz uporz Ģ dkowana jest w ten sposób, Ň e na przek Ģ tnej wyst ħ puj Ģ odkształcenia liniowe
a poza przek Ģ tn Ģ połówki odkształce ı k Ģ towych. Czytelna jest te Ň wymowa indeksów przy
odkształceniach.
I tak np. e to odkształcenie liniowe włókna równoległego do osi Z , a xy
g to odkształcenie
k Ģ towe włókien równoległych do osi X i Y .
Z definicji elementów macierzy odkształce ı wynika jej symetria:
50
g
Å
Õ
88670254.007.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Teoria stanu odkształcenia.
g =
g
yx
,
g =
xz
g
zx
,
g =
yz
g
zy
(6.4)
Jak si ħ wkrótce przekonamy macierz odkształce ı w punkcie b ħ dzie podstaw Ģ okre Ļ lenia w
nim stanu odkształcenia.
Graficzny obraz macierzy odkształce ı w punkcie mo Ň na przedstawi ę w postaci deformacji
przechodz Ģ cych przez ten punkt trzech wzajemnie do siebie prostopadłych włókien o
dowolnie małych długo Ļ ciach
dx
=
dy
=
dz
=
1
, które s Ģ równoległe do osi układu
współrz ħ dnych (rys. 6.3) .
Wszytkie pokazane na rys. 6.3 odkształcenia s Ģ dodatnie.
Z
Z
Z
e
dz
D ’
D
D
D
dz
dz
e
dy
dz
dy
dy
dy
Y
Y
Y
dx
A
C
dx
A
C
C ’
dx
A
C
B
B ’
e
dx
B
B
X
X
X
Z
Z
Z
D
D ’
D
D
D ’
1
1
g
1
g
2
zx
g
C
1
zy
yx
2
2
g
C
Y
Y
Y
B ’
2
xy
A
A
C
C
1
1
g
A
g
C ’
B
xz
B
yz
B
2
2
X
X
X
B ’
Rys. 6.3
6.4. Tensor odkształce ı . Odkształcenia liniowe i k Ģ towe dowolnie zorientowanych
włókien
Mo Ň na dowie Ļę , Ň e macierz odkształce ı jest tensorem drugiego rz ħ du (patrz np. S.Piechnik:
Wytrzymało Ļę Materiałów. PWN 1978) co oznacza, Ň e jej elementy transformuj Ģ si ħ przy
zmianie układu odniesienia w pewien Ļ ci Ļ le okre Ļ lony sposób zwany prawem transformacji
tensora, oraz , Ň e w wyniku mno Ň enia jej przez jednostkowy wersor (
v
l
,
m
,
n
)
otrzymamy
pewien wektor (
e
v
e
vx
,
e
vy
,
e
vz
)
, który mo Ň emy nazwa ę wektorem odkształcenia 1 okre Ļ lony
zale Ň no Ļ ciami:
Ä
e
1
g
1
g
Ô
x
xy
xz
Ä
e
Ô
2
2
Ä
l
Ô
Å
Õ
Å
vx
Õ
1
1
Å
Õ
Å
Õ
e v
=
T
v
®
e
=
g
e
g
m
.
(6.5)
Å
Õ
Å
Õ
e
vy
Å
yx
y
yz
Õ
2
2
Å
Õ
Å
Õ
e
Å
1
1
Õ
n
Æ
vz
Ö
Æ
Ö
Å
g
g
e
Õ
zx
zy
z
Æ
2
2
Ö
1 J.Wi ħ ckowski: Wytrzymało Ļę Materiałów . Wydawnictwo Politechniki Gda ı skiej, Gda ı sk 1975.
51
xy
Å
Õ
88670254.008.png 88670254.009.png 88670254.010.png 88670254.011.png 88670254.012.png 88670254.013.png 88670254.014.png 88670254.015.png 88670254.016.png 88670254.017.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Teoria stanu odkształcenia.
Z
I co wi ħ cej, znajomo Ļę macierzy odkształce ı w
dowolnym punkcie O (tzn. znajomo Ļę
odkształce ı liniowych i k Ģ towych trzech
wzajemnie prostopadłych włókien OA, OB i
OC pokazanych przykładowo na rys. 6.4)
wystarcza do okre Ļ lenia odkształce ı liniowych
i k Ģ towych dowolnych włókien
przechodz Ģ cych przez ten punkt, bo własno Ļ ci
tensora pozwalaj Ģ napisa ę poni Ň sze zale Ň no Ļ ci:
D
x
v
Y
B
X
O
h
A
Rys. 6.4
Ä
e
1
g
1
g
Ô
x
xy
xz
2
2
Ä
l
Ô
Å
Õ
Å
Õ
1
1
Å
Õ
(
)
e
=
l
,
m
,
n
g
e
g
Å
m
Õ
,
(6.6)
v
yx
y
yz
Å
2
2
Õ
Å
Õ
Å
Õ
n
1
1
1
Æ
Ö
g
g
g
Å
Õ
zx
zy
z
Æ
2
2
2
Ö
Ä
e
1
g
1
g
Ô
x
xy
xz
2
2
Ä
l
Ô
Å
Õ
Å
Õ
1
1
1
Å
Õ
(
)
g x
=
l
,
m
,
n
g
e
g
Å
m
Õ
,
(6.7)
v
1
1
1
yx
y
yz
2
Å
2
2
Õ
Å
Õ
Å
Õ
n
1
1
1
Æ
Ö
g
g
g
Å
Õ
zx
zy
z
Æ
2
2
2
Ö
Ä
e
1
g
1
g
Ô
x
xy
xz
2
2
Ä
l
Ô
Å
Õ
Å
Õ
1
1
1
Å
Õ
(
)
g h
=
l
,
m
,
n
g
e
g
Å
m
Õ
’
(6.8)
v
2
2
2
yx
y
yz
2
Å
2
2
Õ
Å
Õ
Å
Õ
n
1
1
1
Æ
Ö
g
g
g
Å
Õ
zx
zy
z
Æ
2
2
2
Ö
g v to odkształcenia liniowe i k Ģ towe trzech wzajemnie prostopadłych
włókien równoległych do dowolnej ale ortogonalnej trójki wersorów (
g v , h
v
l
,
m
,
n
)
, (
x
l
1
,
m
1
,
n
)
(
)
l h .
Dalsze rozwa Ň ania przeprowadzimy dla płaskiej tarczy le ŇĢ cej w płaszczy Ņ nie ( X, Y ) w której
panuje płaski stan odkształcenia.
2
,
m
2
,
n
2
Wybierzmy w niej pokazane na rys. 6.5 dwa
prostopadłe włókna AB i AC przechodz Ģ ce
przez wspólny, dowolnie wybrany punkt A w
którym znana jest macierz odkształce ı :
C ’
p −
2
g
B ’
Ä
1
Ô
C
e
g
Å
Õ
A ’
x
2
xy
T
=
Å
Õ
x
e
1
Y
h
A
B
Å
Õ
g
e
a
Æ
2
yx
y
Ö
A
Kierunki tych włókien s Ģ równoległe do dwójki
wersorów ( )
x
l
,
m
i (
h
−
m
,
l
)
nachylonych pod
X
Rys. 6.5
52
Å
Õ
Å
Õ
Å
Õ
w których: e , x
1
88670254.018.png 88670254.019.png 88670254.020.png 88670254.021.png 88670254.022.png 88670254.023.png 88670254.024.png 88670254.025.png 88670254.026.png 88670254.027.png 88670254.028.png 88670254.029.png 88670254.030.png 88670254.031.png 88670254.032.png 88670254.033.png 88670254.034.png
 
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Teoria stanu odkształcenia.
dowolnym k Ģ tem a do osi układu ( X, Y) .
Odkształcenie liniowe e nachylonego pod k Ģ tem a do osi X włókna AB , jak i odkształcenia
k Ģ towe g włókien CAB wyznaczymy korzystaj Ģ c ze wzorów (6.6) i (6.7):
Ä
e
1
g
Ô
l
x
xy
Ä
Ô
Ä
1
Ô
Ä
1
Ô
1
( )
2
2
2
e a
=
l
,
m
Å
Õ
Å
Æ
Õ
Ö
=
Æ
e
l
+
g
m
Ö
l
+
Æ
g
l
+
s
m
Ö
m
=
e
l
+
e
m
+
2
g
lm
x
xy
yx
y
x
y
xy
1
Å
Õ
m
2
2
2
g
e
yx
y
Æ
2
Ö
Ä
e
1
g
Ô
1
( )
x
2
xy
Ä
l
Ô
Ä
1
Ô
( )
Ä
1
Ô
g a
=
−
m
l
Å
Õ
Å
Õ
=
Æ
e
l
+
g
m
Ö
−
m
+
Æ
g
l
+
s
m
Ö
l
=
x
xy
yx
y
1
2
Å
Õ
Æ
m
Ö
2
2
g
e
yx
y
Æ
2
Ö
=
(
e
−
e
)
lm
+
1
g
(
l
2
−
m
2
)
.
y
x
2
xy
Je Ļ li w powy Ň szych zwi Ģ zkach uwzgl ħ dnimy, Ň e
l =
cos
a
,
m =
sin
a
oraz zale Ň no Ļ ci
trygonometryczne:
sin
2
a
=
2
sin
a
cos
a
,
cos
2
a
=
cos
2
a
−
sin
2
a
,
cos
2
a
=
(
1
+
cos
2
a
)
2
,
sin
2
a
=
(
1
−
cos
2
a
) ,
2
to odkształcenia liniowe i k Ģ towe dowolnie zorientowanych włokien wyra Ň one poprzez
współrz ħ ne macierzy odkształce ı przedstawiaj Ģ si ħ nast ħ puj Ģ co:
e a
=
e
x
+
e
y
+
e
x
−
e
y
cos
2
a
+
1
g
sin
2
a
,
(6.10)
xy
2
2
2
1
g a
=
−
e
x
−
e
y
sin
2
a
+
1
g
cos
2
a
.
(6.11)
xy
2
2
2
Zale Ň no Ļ ci te pokazuj Ģ , Ň e macierz odkształce ı w punkcie okre Ļ la w nim stan odkształcenia,
gdy Ň pozwala na wyznaczenie odkształce ı liniowych i k Ģ towych dowolnych włókien
przechodz Ģ cych przez ten punkt.
Z równania (6.10) łatwo mo Ň na zobaczy ę , Ň e:
90 co dowodzi twierdzenia, Ň e suma odkształce ı liniowych dwóch
prostopadłych włókien przechodz Ģ cych przez dowolny punkt jest wielko Ļ ci Ģ stał Ģ , tzn. nie
zale Ň y od układu odniesienia. Bardziej formalnie mo Ň emy powiedzie ę , Ň e suma odkształce ı
na przek Ģ tnej głównej macierzy odkształce ı jest niezmiennikiem. Twierdzenie to jest równie Ň
prawdziwe w przypadku przestrzennego stanu odkształcenia.
6.5. Ekstremalne odkształcenia liniowe i k Ģ towe
Pozostaniemy przy analizie stanu odkształcenia płaskiej tarczy. Zale Ň no Ļ ci (6.10) i (6.11)
pokazuj Ģ , Ň e znajomo Ļę macierzy odkształce ı w dowolnym jej punkcie pozwala wyznaczy ę
warto Ļ ci odkształce ı liniowych i k Ģ towych dowolnie zorientowanych włókien przeze ı
przechodz Ģ cych. W tej sytuacji naturalne jest postawienie dwóch wa Ň nych zagadnie ı :
a
+
e
a
+ A
=
e
x
+
e
y
• wyznaczy ę włókna których odkształcenia liniowe s Ģ ekstremalne i wyliczy ę warto Ļ ci tych
odkształce ı liniowych,
• wyznaczy ę włókna których odkształcenia k Ģ towe s Ģ ekstremalne i wyliczy ę warto Ļ ci tych
odkształce ı k Ģ towych.
53
Å
Õ
,
Å
Õ
e
88670254.035.png 88670254.036.png 88670254.037.png 88670254.038.png 88670254.039.png 88670254.040.png 88670254.041.png 88670254.042.png 88670254.043.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin