9. Osiowe rozciąganie i ściskanie.pdf

(384 KB) Pobierz
Microsoft Word - 09osroz.doc
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Osiowe rozci Ģ ganie i Ļ ciskanie
9. OSIOWE ROZCI ġ GANIE I ĺ CISKANIE
9.1. Napr ħŇ enia i odkształcenia
Osiowe rozci Ģ ganie pr ħ ta pryzmatycznego wyst ħ puje wówczas, gdy układ sił zewn ħ trznych
po jednej stronie przekroju poprzecznego pr ħ ta redukuje si ħ do wypadkowej prostopadłej do
przekroju, zaczepionej w jego Ļ rodku ci ħŇ ko Ļ ci i skierowanej zgodnie z normaln Ģ zewn ħ trzn Ģ .
Wypadkow Ģ t ħ N nazywamy sił Ģ osiow Ģ lub podłu Ň n Ģ i w przypadku gdy jej zwrot jest
zgodny ze zwrotem normalnej zewn ħ trznej nazywamy sił Ģ rozci Ģ gaj Ģ c Ģ a jej współrz ħ dnej N
przypisujemy znak dodatni. Naszym zadaniem b ħ dzie wyznaczenie elementów macierzy
napr ħŇ e ı i odkształce ı w dowolnym punkcie pr ħ ta, bo te wielko Ļ ci okre Ļ laj Ģ w nim stan
napr ħŇ enia i odkształcenia oraz współrz ħ dnych wektora przemieszczenia.
Rozwa Ň my wi ħ c, pokazany na rys. 9.1 pr ħ t pryzmatyczny o polu przekroju poprzecznego A,
okre Ļ lony w układzie osi ( X, Y ,Z ), w którym o Ļ X jest osi Ģ pr ħ ta, a osie ( Y, Z ) s Ģ osiami
centralnymi jego przekroju poprzecznego. Pr ħ t wykonany jest z izotropowego, jednorodnego,
liniowo spr ħŇ ystego materiału o stałych materiałowych E oraz n.
Z
v
( )
,
0
Z
Y
Y
t
xz
t
xy
X
s
N
N
N
X
I
II
I
A
A
x
Rys. 9.1
x
, zaczepione w dowolnie wybranym punkcie przekroju poprzecznego.
Z twierdzenie o równowa Ň no Ļ ci odpowiednich układów sił wewn ħ trznych i zewn ħ trznych
wynika, Ň e:
s
x
t
xy
,
t
xz
Ë
S
x
{ }
W
I
=
S
x
{ }
Z
II
,
S
y
{ }
I
=
S
y
{ }
Z
II
,
S
z
{ }
W
I
=
S
z
{ }
II
,
(9.1)
Ì
M
{ }
W
=
M
{ }
Z
,
M
{ }
W
=
M
{ }
Z
,
M
{ }
W
=
M
{ }
Z
,
0
x
I
0
x
II
0
y
I
0
y
II
0
z
I
0
z
II
rzuty sum i momentów zredukowanego układu sił wewn ħ trznych przyło Ň onych do cz ħĻ ci I
oraz układu sił zewn ħ trznych przyło Ň onych do cz ħĻ ci II , s Ģ sobie równe.
Zgodnie z powy Ň szym mo Ň emy w rozwa Ň anym przypadku napisa ę poni Ň sze zwi Ģ zki:
71
1 ,
Dokonajmy my Ļ lowego przekroju pr ħ ta na dwie cz ħĻ ci, odrzu ę my cz ħĻę II a do cz ħĻ ci I
przyłó Ň my układ sił wewn ħ trznych, który symbolicznie zaznaczymy przez jego miary tzn.
napr ħŇ enia
W
Z
Ê
88670273.048.png 88670273.049.png 88670273.050.png 88670273.051.png
 
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Osiowe rozci Ģ ganie i Ļ ciskanie
Í
Ë
ÐÐ
s
x
dA
=
N
,
ÐÐ
t
xy
dA
=
0
ÐÐ
t
xz
dA
=
0
A
A
A
(9.2)
(
)
Í
ÐÐ
−
t
z
+
t
y
dA
=
0
ÐÐ
s
z
dA
=
0
ÐÐ
−
s
y
dA
=
0
xy
xz
x
x
Ì
A
A
A
, , gdy Ň to funkcje trzech zmiennych i aby je
okre Ļ li ę , zajmiemy si ħ analiz Ģ deformacji bryły po przyło Ň eniu obci ĢŇ e ı . W oparciu o
przyj ħ te zało Ň enia odno Ļ nie materiału, jak i hipotez ħ płaskich przekrojów Bernoulliego
przyjmiemy, Ň e obraz deformacji pr ħ ta po przyło Ň eniu obci ĢŇ e ı jest taki jak to pokazuje rys.
9.2.
s
x
t
xy
,
t
xz
konfiguracja
pocz Ģ tkowa
Z
Y
b
b 1
konfiguracja
aktualna
A
B
C
D
A ’
B ’
X
D ’
C ’
h
h 1
l
D l
l 1
Rys. 9.2
Analizuj Ģ c ten obraz deformacji pr ħ ta po przyło Ň eniu obci ĢŇ e ı przyjmiemy, Ň e:
• pole przemieszcze ı jest w nim jednorodne,
• odkształcenia k Ģ towe włókien równoległych do osi układu odniesienia s Ģ równe zero,
• odkształcenia liniowe zwi Ģ zane s Ģ zale Ň no Ļ ci Ģ :
e
y
=
e
z
=
−
n
x
.
Powy Ň sze obserwacje pozwalaj Ģ napisa ę nast ħ puj Ģ ce zale Ň no Ļ ci:
e
=
D
l
=
l
1
−
l
,
e
=
D
b
=
b
1
−
b
,
e
=
D
h
=
h
1
−
h
,
x
l
l
y
b
b
z
h
h
g
xy
=
0
g
yz
=
0
g
zx
=
0
.
Nazwiemy je równaniami geometrycznymi gdy Ň s Ģ wynikiem analizy geometrii pr ħ ta po
deformacji.
Maj Ģ c odkształcenia mo Ň emy, korzystaj Ģ c z równa ı fizycznych Hooke’a, wyznaczy ę
elementy macierzy napr ħŇ e ı :
72
Ê
Równania (9.2) mo Ň emy nazwa ę równaniami równowagi, gdy Ň wynikaj Ģ z twierdzenia o
równowa Ň no Ļ ci układów sił wewn ħ trznych i zewn ħ trznych udowodnionego na podstawie
warunków równowagi układu sił działaj Ģ cych na ciało.
Z równa ı (9.2) nie mo Ň na wyznaczy ę
88670273.001.png 88670273.002.png 88670273.003.png 88670273.004.png 88670273.005.png 88670273.006.png 88670273.007.png 88670273.008.png 88670273.009.png 88670273.010.png 88670273.011.png 88670273.012.png
 
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Osiowe rozci Ģ ganie i Ļ ciskanie
s
=
E
É
e
+
n
(
e
+
e
+
e
)
Ù
®
s
=
E
e
,
x
1
+
n
x
1
−
2
n
x
y
z
x
x
s
=
E
É
e
+
n
(
e
+
e
+
e
)
Ù
®
s
=
0
,
y
1
+
n
y
1
−
2
n
x
y
z
y
s
=
E
É
e
+
n
(
e
+
e
+
e
Ù
®
s
=
0
,
z
1
+
n
z
1
−
2
n
x
y
z
z
t
xy G
=
g
xy
®
t
xy
=
0
;
t
yz G
=
g
yz
®
t
yz
=
0
;
t
zx G
g
®
t
=
0
.
Nale Ň y teraz wróci ę do równa ı równowagi (9.2) w celu sprawdzenia czy otrzymane w
oparciu o przypuszczone pole przemieszcze ı napr ħŇ enia spełniaj Ģ te obiektywne zale Ň no Ļ ci i
aby wyrazi ę siły wewn ħ trzne poprzez siły zewn ħ trzne.
Zerowanie si ħ napr ħŇ e ı stycznych powoduje, Ň e równania drugie, trzecie i czwarte s Ģ
spełnione. Z równania pierwszego otrzymamy
ÐÐ
s
x
dA
=
N
®
ÐÐ
E
e
x
dA
=
N
, a poniewa Ň pole odkształce ı jest jednorodne, to
A
A
odkształcenia liniowe s Ģ równe:
e
=
N
,
(9.3)
x
E
A
i napr ħŇ enia normalne wynosz Ģ :
s
x =
N
.
(9.4)
A
Wstawiaj Ģ c powy Ň sze do dwóch ostatnich równa ı równowagi otrzymujemy:
ÐÐ
s
z
dA
=
0
®
N
ÐÐ
z
dA
=
0
x
A
A
A
ÐÐ
−
s
y
dA
=
0
®
N
ÐÐ
y
dA
=
0
x
A
A
A
bo osie ( Y, Z ) s Ģ osiami centralnymi i momenty statyczne przekroju poprzecznego liczone
wzgl ħ dem nich s Ģ równe zero. Tak wi ħ c ostatecznie macierze napr ħŇ e ı i odkształce ı przy
osiowym rozci Ģ ganiu maj Ģ posta ę :
Ä
N
A
0
0
Ô
Ä
N
EA
0
0
Ô
T s
=
0
0
0
,
T
=
0
−
n
N
EA
0
.
(9.5)
Å
Õ
Å
Õ
e
Å
Õ
Å
Õ
Æ
0
0
0
Ö
Æ
0
0
−
n
N
EA
Ö
W praktyce in Ň ynierskiej bardzo wa Ň ne jest okre Ļ lenie wydłu Ň enia pr ħ ta, czyli
przemieszczenie jego ko ı ca D l . Je Ļ li pole przemieszcze ı w pr ħ cie jest jednorodne to łatwo
wyznaczymy zmian ħ jego długo Ļ ci bez potrzeby całkowania odkształce ı :
e
=
D
l
=
N
®
D
l
=
N
l
.
(9.6)
x
l
E
A
E
A
73
Ç
×
Ç
×
×
Ç
)
=
zx
zx
Å
Õ
Å
Õ
88670273.013.png 88670273.014.png 88670273.015.png 88670273.016.png 88670273.017.png 88670273.018.png 88670273.019.png 88670273.020.png 88670273.021.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Osiowe rozci Ģ ganie i Ļ ciskanie
Podobnie mo Ň emy wyznaczy ę zmiany wymiarów (zmniejszenie) przekroju poprzecznego
pr ħ ta:
b n
N
b
oraz
D −
h n
=
N
h
.
E
A
E
A
Na ko ı cu tej cz ħĻ ci naszych rozwa Ň a ı nale Ň y powiedzie ę , Ň e wyprowadzone zale Ň no Ļ ci mog Ģ
by ę stosowane, w tej formie, zarówno dla przypadku rozci Ģ gania jak i Ļ ciskania osiowego.
W tym drugim przypadku wypadkowa N ma zwrot przeciwny do normalnej zewn ħ trznej, a
jej współrz ħ dnej N przypisujemy znak ujemny. Przy czym w przypadku Ļ ciskania, tj. gdy
N<0 konieczne jest dodatkowe sprawdzenie czy pr ħ t jest w stanie równowagi statecznej.
9.2. Analiza stanu napr ħŇ enia i odkształcenia
W analizowanym przypadku wyst ħ puje jednoosiowy i jednorodny stan napr ħŇ enia
scharakteryzowany jednym tylko napr ħŇ eniem normalnym w przekroju poprzecznym pr ħ ta,
które jest równocze Ļ nie maksymalnym napr ħŇ eniem głównym w przypadku rozci Ģ gania
(rys.9.3) i minimalnym w przypadku Ļ ciskania. Pozostałe dwa napr ħŇ enia główne s Ģ równe
zeru a ich kierunki to jakiekolwiek dwa prostopadłe do siebie i równocze Ļ nie prostopadłe do
osi pr ħ ta.
Z
Z
s=
s
2
s
=
s
=
0
z
min
45
A
t=
s
2
X
X
x s
max
s =
x s
max
t=
s
2
45
A
s
z
=
s
min
=
0
s=
s
2
Rys. 9.3
Ekstremalne napr ħŇ enia styczne wyst ħ puj Ģ w przekrojach nachylonych pod k Ģ tem 45 ° do osi
pr ħ ta (rys. 9.3) i równaj Ģ si ħ połowie napr ħŇ e ı normalnych w przekroju poprzecznym. Koło
Mohra dla rozwa Ň anego przypadku pokazane jest na rys. 9.4.
s =
v
s
x
2
t
s
=
s
=
s
=
0
t
v
=
t
max
=
s
x
2
v
min
z
s
=
s
max
=
s
O
O
s
s
t =
v s
x
2
s =
v s
x
2
Rys. 9.4
74
D −
=
s =
v
x
88670273.022.png 88670273.023.png 88670273.024.png 88670273.025.png 88670273.026.png 88670273.027.png 88670273.028.png 88670273.029.png 88670273.030.png 88670273.031.png 88670273.032.png 88670273.033.png 88670273.034.png 88670273.035.png 88670273.036.png 88670273.037.png 88670273.038.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Osiowe rozci Ģ ganie i Ļ ciskanie
Układ (rozkład) sił wewn ħ trznych w przekroju poprzecznym pr ħ ta pokazuje rys. 9.5.
Z
Y
N
X
I
s
x =
N
A
Rys. 9.5
Warto Ļ ci napr ħŇ e ı normalnych w tym przypadku nie zale ŇĢ o współrz ħ dnych y oraz z wi ħ c
mo Ň na ich rozkład, nie trac Ģ c czytelno Ļ ci, rysowa ę płasko, jak to zostało pokazane na rys.
9.6.
Z
s
x =
N
A
Z
s
x =
N
A
X
lub
X
Rys. 9.6
Stan odkształcenia jest te Ň jednorodny ale trójosiowy. Odkształcenia liniowe w kierunku
równoległym do osi pr ħ ta s Ģ maksymalne w przypadku rozci Ģ gania i minimalne w przypadku
Ļ ciskania. Pozostałe dwa odkształcenia główne s Ģ sobie równe, a ich kierunki to jakiekolwiek
dwa prostopadłe do siebie i równocze Ļ nie prostopadłe do osi pr ħ ta.
9.3. Energia spr ħŇ ysta pr ħ ta rozci Ģ ganego lub Ļ ciskanego osiowo
Znajomo Ļę elementów macierze napr ħŇ e ı i odkształce ı pozwala na wyznaczenie g ħ sto Ļ ci
energii spr ħŇ ystej i energii spr ħŇ ystej dla rozwa Ň anego przypadku obci ĢŇ enia pr ħ ta.
Podstawienie zale Ň no Ļ ci (9.5) do (8.18) daje:
2
1
Ä
N
Ô
F
=
Æ
Ö
, i st Ģ d energia spr ħŇ ysta pr ħ ta o długo Ļ ci l i polu przekroju poprzecznego A
2
E
A
rozci Ģ ganego ( Ļ ciskanego) osiowo stał Ģ sił Ģ o warto Ļ ci N wynosi:
1
Ä
N
Ô
2
l
1
Ä
N
Ô
2
l
N
2
N
2
l
U
=
ÐÐÐ F
dV
=
ÐÐÐ
Æ
Ö
dV
=
Ð
dx
ÐÐ
Æ
Ö
dA
=
Ð
dx
=
.
2
E
A
2
E
A
2
EA
2
EA
V
V
0
A
0
75
88670273.039.png 88670273.040.png 88670273.041.png 88670273.042.png 88670273.043.png 88670273.044.png 88670273.045.png 88670273.046.png 88670273.047.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin