rachunek całkowy.pdf

(107 KB) Pobierz
MATWcałki.doc
13. RACHUNEK CAŁKOWY
13.1.
Całka nieoznaczona
• Poszukiwanie funkcji F(x), gdy znana jest jej pochodna ( ) ( )
¢ , czyli działanie
odwrotne do różniczkowania nazywa się całkowaniem , a funkcję szukaną F(x) nazywa
się funkcją pierwotną funkcji f(x).
Np. Funkcją pierwotną funkcji
F
x
=
f
x
f
( =
1
jest funkcja ( ) x
F = , bo () =
x
¢
, ale też
F
( )
x
= x
+
45
, ()
F
x
= x
-
3
1
, ( )
F
x
=
x
+
C
2
• Tw.
Jeżeli F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x), czyli ( ) ( )
F
¢
x
=
f
x
, to F(x)+C, gdzie C
jest dowolną stałą, też jest funkcją pierwotną funkcji f(x)
• Def.
Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych danej funkcji f(x), tzn. takich, że ich pochodna jest
równa funkcji podcałkowej (
F
(
x
)
+
C
)
¢
=
f
(
x
)
nazywamy całką nieoznaczoną funkcji
( ,
gdzie f(x)dx nazywamy wyrażeniem podcałkowym, f(x) – funkcją podcałkową, a x-
zmienną całkowania
f
x
dx
=
F
x
)
+
C
13.2.
Podstawowe wzory rachunku całkowego
PODSTAWOWE WZORY RACHUNKU CAŁKOWEGO
a)
af
(
x
)
dx
=
a
f
(
x
)
dx
,
gdzie
a
˛
R
,
a-stała 7.
sin
xdx
=
-
cos
x
+
C
b) [
f
(
x
)
–
g
(
x
)
dx
=
f
(
x
)
dx
–
g
(
x
)
dx
8.
cos
xdx sin
=
x
+
C
1.
dx
=
x
+
C
9.
tgxdx
=
-
ln
cos
x
+
C
2.
adx
=
ax
+
C
10.
ctgxdx
=
ln
sin
x
+
C
x
n
+
1
1 2
3.
x
n
dx
=
+
C
,
n
„
-
1
11.
dx
=
tgx
+
C
,
cos
x
„
0
cos
x
n
+
1
4.
dx
=
ln
x
+
C
12.
1
2
dx
=
-
ctgx
+
C
,
sin
x
„
0
x
sin
x
a
x
1
5.
a
x
dx
=
+
C
13.
dx
=
arcsin
x
+
C
ln
a
1
-
x
2
6.
e
x
dx
=
e
x
+
C
14.
2
1
dx
=
arctgx
+
C
1
x
13.3.
Podstawowe reguły całkowania
1. Całka nieoznaczona z iloczynu funkcji przez stałą:
( )
af
x
dx
=
a
f
( )
x
dx
,
gdzie
a
˛
R
Opracowała: K. Sokołowska
43
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
x
f(x) i oznaczamy:
( )
]
285043594.022.png
2. Całka nieoznaczona z sumy (różnicy) funkcji
( ) ( )
[
f
x
–
g
x
]
dx
=
f
( )
x
dx
–
g
( ) ,
x
dx
PRZYKŁAD 34
(
)
1
x
3
+
5
x
-
2
x
dx
=
x
3
dx
+
5
xdx
-
2
x
dx
=
x
3
dx
+
5
xdx
-
2
x
2
dx
=
3
x
4
x
2
x
2
1
5
4
3
+
C
+
5
+
C
-
2
+
C
=
x
4
+
x
2
-
x
2
+
C
4
1
2
2
3
3
4
2
3
2
3. Całkowanie przez podstawienie (przez zamianę zmiennej)
W wielu przypadkach obliczenie całki z funkcji f(x) może być zastąpione obliczeniem
innej całki, która powstała z poprzedniej przez znalezienie nowej zmiennej t, takiej, że
)
w
( x
, co powoduje, że wyrażenie podcałkowe może być zapisane w postaci
g )
(
t
dt
,
gdzie g(t) jest funkcją łatwiejszą do scałkowania, niż f(x). Wówczas mamy:
[ ]
f
(
x
)
dx
=
g
(
t
)
dt
=
g
w
(
x
)
w
¢
(
x
)
dx
, gdzie
t =
w
( x
)
,
dt
=
w
¢
(
x
)
dx
PRZYKŁAD 34
Obliczyć całkę
sin 6
x cos
xdx
Wykonujemy podstawienie
sin
x = skąd różniczkując obie strony mamy:
t
,
cos
xdx = czyli
dt
,
dx =
dt
,
, a więc:
cos x
sin
x
=
t
dt
t
7
sin
7
x
sin
6
x
cos
xdx
=
cos
xdx
=
dt
=
t
6
cos
x
=
t
6
dt
=
+
C
=
+
C
cos
x
7
7
dt
dx
=
cos
x
4. Całkowanie przez części:
Niech funkcje f(x) i g(x) mają w pewnym przedziale ciągłe pochodne pierwszego rzędu.
Wzór na całkowanie przez części łatwo wyprowadzić z reguły różniczkowania iloczynu
funkcji. Zauważmy, że:
[
f
(
x
)
g
(
x
)
]
¢
=
f
¢
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
¢
(
x
)
f
(
x
)
g
(
x
)
=
[
f
¢
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
(
x
)
]
dx
f
(
x
)
g
(
x
)
=
f
¢
(
x
)
g
(
x
)
dx
+
f
(
x
)
g
¢
(
x
)
dx
Stąd
f
(
x
)
g
¢
(
x
)
dx
=
f
(
x
)
g
(
x
)
-
g
(
x
)
f
¢
(
x
)
dx
Niech :
f
(
x
)
=
u
f
¢
(
x
)
dx
=
du
g
(
x
)
=
v
g
¢
(
x
)
dx
=
dv
udv
=
uv
-
vdu
lub
u
¢
=
uv
-
v
u
¢
Opracowała: K. Sokołowska
44
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
t =
¢
285043594.023.png 285043594.024.png 285043594.025.png 285043594.001.png 285043594.002.png 285043594.003.png 285043594.004.png 285043594.005.png
Zakładamy, że x>0 i całkujemy przez części przyjmując:
x ln
5
xdx
5
u
=
ln
x
,
V
¢
=
x
6
u
¢
=
1
,
V
=
x
x
6
Korzystając ze wzoru:
u
v
¢
=
uv
-
v
u
¢
otrzymujemy:
x
6
x
6
1
x
6
x
5
x
6
x
6
x
5
ln
xdx
=
ln
x
-
dx
=
ln
x
-
dx
=
ln
x
-
+
C
6
6
x
6
6
6
36
5. Całkowanie niektórych funkcji wymiernych
­ Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka z funkcji wymiernej
będzie więc miała postać:
( )
( dx
W
1
x
.
W
x
2
­ Przy obliczaniu całki należy postępować w następujący sposób:
1} Jeżeli stopień wielomianu znajdującego się w liczniku ( )
W 1
x
jest wyższy od stopnia
wielomianu znajdującego się w mianowniku ( )
W 2
x
, to licznik ( )
W 1
x
dzielimy przez
mianownik ( )
W 2 i funkcję podcałkową przedstawiamy jako sumę wielomianu ( )
x
P oraz
funkcji wymiernej
M
( )
()
x
, w której już stopień licznika jest mniejszy niż stopień
W
x
2
mianownika:
( )
()
1
x
=
P
()
x
+
M
( )
()
x
W
x
W
x
2
2
2) Jeżeli stopień wielomianu znajdującego się w liczniku jest niższy od stopnia
wielomianu znajdującego się w mianowniku , to funkcję podcałkową rozkładamy na tzw.
ułamki proste , tj. na sumę wyrażeń postaci:
A
,
A
,
A
,
...,
A
,
oraz
ax
+
b
(
ax
+
b
) (
2
ax
+
b
)
3
(
ax
+
b
)
k
Bx
+
C
,
Bx
+
C
,
Bx
+
C
,
...,
Bx
+
C
,
gdzie
b
2
- ac
4
<
0
(
) (
) (
)
ax
2
+
bx
+
c
2
3
k
ax
2
+
bx
+
c
ax
2
+
bx
+
c
ax
2
+
bx
+
c
METODY CAŁKOWANIA
a) Jeżeli licznik funkcji wymiernej jest pochodną mianownika np.
ax
2
+
bx
+
c
=
t
2
ax
+
b
dx
, to całkę obliczamy dokonując podstawienia: (
2
ax
+
b
)
dx
=
dt
.
ax
2
+
bx
+
c
dt
dx
=
2
ax
+
b
Wówczas mamy:
Opracowała: K. Sokołowska
45
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
PRZYKŁAD 35
Obliczyć całkę :
W
285043594.006.png 285043594.007.png
 
2
ax
+
b
dx
=
2
ax
+
b
dt
=
dt
=
ln
t
+
C
=
ln
ax
2
+
bx
+
c
+
C
ax
2
+
bx
+
c
t
2
ax
+
b
t
Podobnie postępujemy, gdy pochodna mianownika jest proporcjonalna do licznika.
PRZYKŁAD 36
Obliczyć całkę:
4
x
-
14
dx
.
x
2
-
7
x
+
10
Obliczamy D trójmianu znajdującego się w mianowniku, aby wyznaczyć dziedzinę:
5
D
=
9
x
1
=
2
,
x
1
=
, stąd wniosek, że
D =
R
\
{ 2
. Stosujemy podstawienie:
x
2
-
7
x
+
10
=
t
,
gdyż
zauważamy, że (
x
2
-
7
x
+
10
)
¢
=
2
x
-
7
oraz, że
4
x
-
14
=
2
(
2
x
-
7
)
. Mamy więc:
x
2
-
7
x
+
10
=
t
4
x
-
14
dx
= (
2
x
-
7
)
dx
=
dt
=
x
2
-
7
x
+
10
dt
dx
=
2
x
-
7
2
(
2
x
-
7
)
dt
=
2
dt
=
2
ln
t
+
C
=
2
ln
x
2
-
7
x
+
10
+
C
t
2
x
-
7
t
b) Jeżeli licznik funkcji wymiernej nie jest pochodną mianownika (ani nie jest do niej
proporcjonalny), to sposób obliczania całek zależy od znaku D trójmianu kwadratowego
znajdującego się w mianowniku funkcji podcałkowej. Rozpatrzymy dwa przypadki
(gdy
D
>
0
D
=
0
). Przypadek D <0 pominiemy:
- D >0
PRZYKŁAD 37
Obliczyć całkę:
12
2
x
-
11
dx
2
x
-
7
x
+
3
Obliczamy D trójmianu znajdującego się w mianowniku, aby wyznaczyć dziedzinę:
D
=
25
,
x
=
1
,
x
=
3
, stąd wniosek, że
D
=
R
\
1
,
. Następnie przedstawiamy
1
2
2
2
mianownik
w
postaci
iloczynu
czynników:
2
x
2
-
7
x
+
3
=
2
Ł
x
-
1
ł
(
x
-
3
) (
=
2
x
-
1
)(
x
-
3
)
i rozkładamy funkcję podcałkową na
2
ułamki proste:
12
x
-
11
=
A
+
B
(
)(
) (
) ( 3
2
x
-
1
x
-
3
2
x
-
1
x
-
Doprowadzając prawą stronę do wspólnego mianownika, otrzymujemy:
12
x
-
11
=
A
( ) (
x
-
3
+
B
2
x
-
1
)
,
(
)(
)
(
)(
3
2
x
-
1
x
-
3
2
x
-
1
x
-
stąd
12
x
-
11
=
A
( ) (
x
-
3
+
B
2
x
-
1
12
x
-
11
=
(
A
+
2
B
) (
x
+
-
3
A
-
B
)
Opracowała: K. Sokołowska
46
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
285043594.008.png 285043594.009.png 285043594.010.png 285043594.011.png 285043594.012.png 285043594.013.png 285043594.014.png
Z powyższej tożsamości (czyli związku, który jest prawdziwy dla każdego x) po
przyrównaniu współczynników przy tych samych potęgach x dostajemy:
12=A+2B -11=-3A-B,
stąd po rozwiązaniu tego układu równań mamy, że:
A=2, B=5.
Zatem ułamek (
12
x
-
11
rozłożony na ułamki proste ma postać:
)(
)
2
x
-
1
x
-
3
12
x
-
11
=
2
+
5
.
(
)(
) (
) (
)
2
x
-
1
x
-
3
2
x
-
1
x
-
3
Obliczenie całki
12
2
x
-
11
dx
sprowadza się więc do obliczenia całki z sumy
2
x
-
7
x
+
3
ułamków prostych:
º
2
+
5
ß
dx
=
2
dx
+
5
dx
=
2
1
ln
2
x
-
1
+
5
ln
x
-
3
+
C
(
) ( )
(
)
( )
2
x
-
1
x
-
3
2
x
-
1
x
-
3
2
- D =0
PRZYKŁAD 38
Obliczyć całkę:
7
-
2
x
dx
4
x
2
-
12
x
+
9
Obliczamy D trójmianu znajdującego się w mianowniku, aby wyznaczyć dziedzinę:
D
=
0
x
=
12
=
3
, stąd wniosek, że
D
=
R
\
3
. Następnie przedstawiamy mianownik
0
8
2
2
3
2
(
) 2
w postaci iloczynu czynników:
4
x
2
-
12
x
+
9
=
4
Ł
x
-
ł
=
2
x
-
3
i rozkładamy
2
funkcję podcałkową na ułamki proste:
7
-
2
x
=
A
+
B
4
x
2
-
12
x
+
9
(
2
x
-
3
) (
2
2
x
-
3
)
Doprowadzając prawą stronę do wspólnego mianownika, otrzymujemy:
(
7
-
2
x
=
A
+
B
2
x
-
3
)
,
4
x
2
-
12
x
+
9
(
2
x
-
3
) 2
stąd
7
-
2
x
=
A
+
B
(
2
x
-
3
)
-
Z powyższej tożsamości po przyrównaniu współczynników przy tych samych potęgach x
dostajemy:
7=A-3B -2=2B,
stąd po rozwiązaniu tego układu równań mamy, że:
A=4, B=-1.
Zatem:
2
x
=
2
Bx
+
(
A
-
3
B
)
7
-
2
x
=
4
+
-
1
.
4
x
2
-
12
x
+
9
(
2
x
-
3
) (
2
2
x
-
3
)
Opracowała: K. Sokołowska
47
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
Ø
ø
7
285043594.015.png 285043594.016.png 285043594.017.png 285043594.018.png 285043594.019.png 285043594.020.png 285043594.021.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin