układ równań liniowych wykład.pdf

(85 KB) Pobierz
MATWukł.równań.DOC
16. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
16.1. Podstawowe pojęcia
• Ogólna postać układu m równań liniowych o n niewiadomych jest następująca:
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
...
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
x
+
a
x
+
...
+
a
x
=
b
21
1
22
2
2
n
n
2
( 1
..........
..........
..........
..........
..
,
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
+
...
+
a
mn
x
n
=
b
m
gdzie:
x j - niewiadome (j=1,2,...,n)
a ij - współczynniki przy niewiadomych, są dowolnymi liczbami rzeczywistymi (i=1,2,..,m;
j=1,2,...,n)
b i - wyrazy wolne, są dowolnymi liczbami rzeczywistymi (i=1,2,..,m)
• Postać macierzowa układu (1) jest następująca:
Ø
a
11
a
12
.
..
a
1
n
ø
Ø
x
1
ø
Ø
b
1
ø
Œ
a
a
...
a
œ
x
b
Œ
21
22
2
n
œ
•
Œ
2
œ
=
Œ
2
œ
( AX=B )
...
...
...
...
M
M
Œ
œ
Œ
œ
Œ
œ
Œ
a
a
...
a
œ
1
4
1
m
2
2
4
mn
3
ß
º
x
ß
º
b
ß
{ X
{ B
n
m
A
macierz
macierz kolumnowa kolumna wyrazów
współczynników
niewiadomych
wolnych
PRZYKLAD 79
x
x
x x
+
4
=
8
Ø
Œ
1 0 4
5 1 0
ø
œ
Œ
Œ
Œ
x
x
x
1
œ
œ
œ
Ø
Œ
8
1
ø
œ
1
3
=
.
-
5
+ =-
1
-
2
-
1
2
14 4
{
º
ß
{
3
A
B
X
Ø
a
11
a
12
.
..
a
1
n
b
1
ø
a
a
...
a
b
Macierz
U
=
Œ
21
22
2
n
2
œ
nazywamy macierzą uzupełnioną układu
Œ
...
...
...
...
...
œ
Œ
œ
a
a
...
a
º
b
ß
m
1
m
2
mn
m
równań
PRZYKLAD 80
x
1
x
x x
+
4
3
=
8
U
=
Ø
1
0
4
8
ø
.
º
ß
-
5
+ =-
1
-
5
1
0
-
1
1
2
Opracowała: K. Sokołowska
78
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
Œ
œ
Œ
œ
º
m
Ø
ø
Œ
œ
285044367.013.png
 
• Postać wektorowa układu (1) jest następująca:
Ø
a
11
ø
Ø
a
12
ø
Ø
a
1
n
ø
Ø
b
1
ø
Œ
œ
Œ
œ
Œ
œ
Œ
œ
M
x
+
M
x
+
...
+
M
x
=
M
Œ
œ
1
Œ
œ
2
Œ
œ
n
Œ
œ
Œ
a
œ
Œ
a
œ
Œ
a
œ
Œ
b
œ
º
m
1
ß
º
m
2
ß
º
mn
ß
º
m
ß
• Układ (1) nazywamy układem niejednorodnym, gdy co najmniej jedna z liczb
b
1 2
,b,...,b „ . Gdy
n
0
b
=
b
2
=
...
=
b
n
=
0
, układ ten nazywamy układem jednorodnym.
• Ze względu na ilość rozwiązań układy równań klasyfikujemy następująco
1.układ sprzeczny - nie istnieje żadne rozwiązanie,
2.układ oznaczony - istnieje dokładnie jedno rozwiązanie,
3.układ nieoznaczony - istnieje nieskończenie wiele rozwiązań.
16.2. Metody rozwiązywania układów równań
16.2.1.
Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Cramera
• Układ (1) jest układem Cramera wtedy i tylko wtedy gdy
- m=n - liczba równań jest równa liczbie niewiadomych
- detA „ 0 - macierz A jest macierzą nieosobliwą
• Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie , które można wyrazić wzorem
x
=
W
W
k
k
= 1 ,..., ,
n
k
gdzie W - wyznacznik macierzy A
W k - wyznacznik utworzony z wyznacznika W przez zastąpienie k - tej kolumny
kolumną wyrazów wolnych b
1 2
,b,...,b .
n
PRZYKLAD 81
Rozwiążmy układ
x y z
x y z
x y z
+ - =-
- + =
+ - =
2
3
2
2
1
1 1 2
1 1 1
2 1 1
-
Ponieważ W =
-
=-„
3 0 , n=m=3, więc układ jest układem Cramera.
-
Obliczmy W WW
x
, ,
y z
:
-
3 1 2
2 1 1
1 1 1
-
1 3 2
1 2 1
2 1
- -
1 1 3
1 1 2
2 1 1
-
W x
=
-
=-
3, W y
=
=-
6, W z
=
-
=-
-
-
1
Opracowała: K. Sokołowska
79
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
1
,
9
285044367.014.png 285044367.015.png 285044367.001.png 285044367.002.png 285044367.003.png
 
Mamy więc x
=
W
W
x
=
-
-
3
3
=
1, y
=
W
W
y
=
-
-
6
3
=
2 , z
=
W
W
z
=
-
-
9
3
=
3 .
• Ilość rozwiązań układu Cramera :
-
W - istnieje dokładnie jedno rozwiązanie układu,
- W=0, W x , W y nie są jednocześnie równe zeru – brak rozwiązań
- W=W x =W y =0 – nieskończenie wiele rozwiązań (lub brak rozwiązań).
„
0
16.2.2.
Rozwiązywanie układu równań metodą macierzową
• Jeżeli układ równań
AX = jest układem Cramera, to układ ten ma dokładnie jedno
rozwiązanie dane wzorem
B
.
- Rozwiązanie to wynika stad, ze dla układu Cramera istnieje macierz odwrotna
X
=
A
- 1
B
A .
- Mnożąc zatem obie strony układu lewostronnie przez macierz
A otrzymamy:
A
-
1
A
X
=
A
-
1
B
- Ponieważ
A
-1
A
=
I
oraz
I
X
=
X
, otrzymujemy wiec rozwiązanie układu:
X
=
A
-1
B
.
PRZYKLAD 82
Rozwiąż układ:
2
x
1
-
3
x
2
=
1
-
x
1
+
2
x
2
=
1
Zapiszmy powyższy układ w postaci macierzowej:
Ø
2
-
3
ø
Ø
x
1
ø
=
Ø
1
ø
º
ß
º
ß
º
ß
-
1
2
x
1
2
A
X
B
Ponieważ
det
A
=
1
„
0
, to istnieje macierz odwrotna do macierzy A:
A
-
1
=
º
2
3
ß
1
2
Mnożąc obie strony układu lewostronnie przez macierz
A otrzymamy:
Ø
2
3
ø
Ø
2
-
3
ø
Ø
x
1
ø
=
Ø
2
3
ø
Ø
1
ø
º
ß
º
ß
º
ß
º
ß
º
ß
1
2
-
1
2
x
1
2
1
2
A
-
1
A
X
=
A
-
1
B
1
42
43
I
Ø
x
1
ø
=
Ø
2
3
ø
Ø
1
ø
=
Ø
5
ø
º
ß
º
ß
º
ß
º
ß
x
1
2
1
3
2
X
=
A
- 1
B
Układ ma zatem dokładnie jedno rozwiązanie x 1 =5, x 2 =3.
Opracowała: K. Sokołowska
80
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
Ø
ø
285044367.004.png
16.2.3. Ogólny przypadek układu równań liniowych - rozwiązywanie z
wykorzystaniem twierdzenia Kroneckera-Capelliego
• Twierdzenie (Kroneckera-Capelliego)
Na to aby układ (1) nie był sprzeczny potrzeba i wystarcza, aby R(A)=R(U), gdzie
Ø
a
...
... ... ...
...
11
a
1
n
ø
Ø
...
... ... ... ...
...
11
a
1
n
b
1
ø
Œ
Œ
Œ
œ
œ
œ
Œ
Œ
Œ
œ
œ
œ
A
=
U
=
.
º
a
m
1
a
mn
ß
º
a
m
1
a
mn
b
m
ß
( to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od
n-R(A) parametrów.
• Jeżeli
R
A
)
=
R
(
U
)
<
n
R
(
A
)
„
R
(
U
)
to układ równań jest układem sprzecznym ( brak rozwiązań ).
PRZYKLAD 83
Zbadamy i rozwiążemy układ równań
x
+
y
=
8
4
x
-
y
=
2
x
+
2
y
=
14
Ø
1 1
4 1
1 2
ø
Œ
Œ
œ
œ
Rząd macierzy A =
-
jest równy 2, gdyż np. minor utworzony ze współczynników przy
º
ß
x i y występujących w dwóch pierwszych równaniach
1
1
=
-
5
„
0
, oraz R(U)= 2, gdyż
4
-
1
detU=
1 1 8
4 1 2
1 2 14
-
=
1 1 8
0 5 30
0 1
- - =
0
6
a ten sam minor
1
1
=
-
5
„
0
występuje w macierzy U . Dany układ ma dwie niewiadome
4
-
1
(n=2). Zatem mamy R(A)=R(U)=n . Stąd na mocy twierdzenia Kroneckera-Cappelliego układ
posiada dokładnie jedno rozwiązanie. Aby uzyskać je, zapisujemy dany układ bez trzeciego
równania (bez równania nieobjętego niezerowym minorem)tzn.
x y
x y
+ =
- =
2
4
stąd dostajemy rozwiązanie x= 2, y= 6, które spełnia także trzecie równanie układu.
Opracowała: K. Sokołowska
81
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
a
Jeżeli R(A)=R(U)=n , gdzie n jest liczbą niewiadomych, to układ równań ma
dokładnie jedno rozwiązanie .
Jeżeli
8
285044367.005.png 285044367.006.png 285044367.007.png 285044367.008.png 285044367.009.png
PRZYKLAD 84
Zbadamy rozwiązalność układu
x y
- + =
+
z
x
y z
+ =
x
-
y
+ =-
z
5
Ustalmy rzędy macierzy
Œ
Œ
1 1 3
2 7 5
2
-
œ
œ
Œ
Œ
1 1 3 2
2 7 5 1
2
-
œ
œ
A
=
i
U
=
º
-
2 6
ß
º
-
2 6
-
5
ß
Zauważmy, że detA= 0, zatem R(A) <3, a ponieważ dowolny minor drugiego stopnia tej
macierzy jest różny od zera, więc R(A)= 2. Natomiast w macierzy U łatwo jest znaleźć minor
trzeciego stopnia różny od zera np.
1 1 2
2 7 1
2 2
-
,
- -
5
zatem R(U)= 3. Mamy więc, że RA RU
() ()
„
. Stąd na mocy twierdzenia Kroneckera-
Cappelliego otrzymujemy, że układ jest sprzeczny.
PRZYKLAD 85
Znajdziemy wszystkie rozwiązania układu
x
+ - =
- + =
y z
x y z
2
3
2
5
1
Zbadajmy rzędy macierzy
A
=
Ø
Œ
1 2 3
5 1 1
-
ø
œ
i
U
=
Ø
Œ
1 2
-
3 2
ø
œ
-
5
-
1 1 1
Obliczamy minor
1 2
5 1
-
=- „
11 0
Mamy więc, że R(A)=R(U)= 2. Zatem rozwiązanie zależy od n-R(A)= 3-2 = 1 parametru.
Przenosimy niewiadomą nie objętą obliczonym minorem tzn. niewiadomą z, na prawą stronę i
rozwiązujemy układ traktując z jako parametr (tj. przyjmując, że z t R
= ˛ ). Wtedy układ
przyjmuje postać:
x
+
2
= +
- = -
y
2 3
t
5
x y
1
t
W celu otrzymania rozwiązania zastosujmy metodę Cramera
W =
1 2
5 1
-
=-- =-
1 10
11 ,
Opracowała: K. Sokołowska
82
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
3 2
2 7 5 1
2 2 6
Ø
ø
Ø
ø
285044367.010.png 285044367.011.png 285044367.012.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin