zadania z mechaniki 2.doc

(4735 KB) Pobierz

Zadanie 1

Ćwiczenie 1 i 2 (wykład: 1)

Kinematyka punktu

Zadanie 1

Wyznaczyć równanie toru punktu, gdy: x = hcos2ωt, y = hcosωt. h[m], ω[1/s] - stałe,
t[s] - czas.

Ze wzoru trygonometrycznego: cos2wt = cos2wt - sin2wt

z „1 - ki” trygonometrycznej: sin2wt + cos2wt = 1 → sin2wt = 1 - cos2wt

czyli: cos2wt = cos2wt - (1 - cos2wt) = 2cos2wt - 1 → x = h(2cos2wt - 1)

y = hcoswt → coswt → cos2wt i podstawiamy do wzoru na x:

x = h(2 - 1) - równanie toru.

Zadanie 1a

Równanie ruchu punktu A ma postać: x(t) = t3 - 2t2 - 4t + 10; x[m], t[s]. Wyznaczyć położenie punktu na osi x i jego przyspieszenie w chwili, gdy jego prędkość V = 0[m/s].

3t2 - 4t - 4

V = 0 → 3t2 - 4t - 4 = 0 , Δ = (-4)2 - 4×3×(-4) = 64 →

Oczywiście przyjmujemy pierwszą odpowiedź i liczymy :

= 23 - 2×22 - 4×2 + 10 = 2 [m].

Zadanie 2

Z danych równań ruchu punktu: x = (1/2)t2, y = (1/3)t3, wyprowadzić równanie toru i narysować go oraz wyznaczyć równanie ruchu punktu po torze (równanie drogi), licząc drogę od początku położenia punktu.

Podnosimy obustronnie do potęgi trzeciej równanie x(t), a równanie y(t) do potęgi drugiej:

Dzieląc jedno równanie przez drugie, bądź wyliczając z jednego t6 i podstawiając do drugiego eliminujemy czas i otrzymujemy równanie toru - y(x):

→

Równanie ruchu punktu po torze (równanie drogi): s = + C

V - prędkość punktu, C - stała zależna od położenia początkowego

, , → [m/s]

s = + C = + C

W położeniu początkowym = 0, czyli: →

Równanie drogi: [m].

Zadanie 2a

Ruch punktu A jest dany w postaci: x = 3cos2t, y = 3sin2t, x[m], y[m], t[s]. Wyznacz:

a) tor punktu,
b) współrzędne prędkości, wektor prędkości i moduł (wartość) prędkości.
c) współrzędne przyspieszenia, wektor przyspieszenia i moduł (wartość) przyspieszenia.
d) równanie ruchu po torze.

korzystamy z „1 - ki” trygonometrycznej, co daje równanie:

wobec tego: → →

torem jest okrąg o środku w punkcie (0,0) i promieniu r = 3.

b) [m/s] , [m/s]

c) [m/s2], [m/s2]

d) Równanie ruchu punktu po torze (równanie drogi): s = + C

C - stała zależna od położenia początkowego

podstawiamy: V = 6 [m/s] i otrzymujemy: s = + C = 6t + C

= 0 → C = 0, stąd ostatecznie: s = 6t [m].

Zadanie 3

Prędkość lądowania samolotu wynosi Vo = 144[km/h]. Obliczyć jego opóźnienie a w [m/s2] przy zatrzymywaniu się oraz czas t1 w [s], jaki upłynie od początku lądowania do zatrzymania się, jeżeli jego droga lądowania jest równa s1 = 200[m]. Zakładamy, że opóźnienie jest stałe.

Ruch jest jednostajnie opóźniony wobec tego: czyli

C - stała zależna od warunku początkowego,

a jest stałe (nie zależy od czasu) stąd: czyli:

= Vo → C = Vo →

czyli , C1 - stała zależna od warunku początkowego,

= 0 → C1 = 0 →

= 0 → 0 = -at1 + Vo → , = s1 →

Podstawiając t1 do wzoru na s1 mamy: stąd: (Vo = 40 [m/s])

Podstawiając dane liczbowe otrzymujemy: a = 4 [m/s2] oraz t1 = 10 [s].

Zadanie 4

Prosta m porusza się prostopadle do swego kierunku ze stałym przyspieszeniem ao, przy czym jej prędkość w chwili początkowej wynosiła Vo. Prosta ta przecina się z nieruchomą prostą n pod stałym kątem a. Wyznaczyć prędkość i przyspieszenie punktu A przecięcia się prostych.

Oznaczmy przez sA drogę jaką przebędzie punkt A w pewnym czasie t, zaś przez s drogę jaką przebył w tym samym czasie punkt znajdujący się na prostej m. Sytuację tą oraz związek między drogami sA i s pokazuje poniższy rysunek.

Różniczkujemy po czasie związek między drogami sA i s i otrzymujemy związek między prędkościami VA i V:

czyli: V = VAsinα , stąd: (1)

Ruch prostej m jest jednostajnie przyspieszony z przyspieszeniem ao czyli:

→ V = aot + Vo, podstawiając do równania (1) mamy:

Różniczkując po czasie równanie (1) otrzymujemy związek między przyspieszeniami aA i ao:

Zadanie 5

Tulejka A jest przesuwana po pręcie za pomocą linki przerzuconej przez mały krążek B odległy od pręta o wielkość OB = b. Wyznaczyć wzór na prędkość i przyspieszenie tulejki w funkcji odległości OA = x, jeśli swobodny koniec linki jest ciągnięty ze stałą prędkością V0.

Zadanie 6

Ruch punktu określony jest równaniem x(V) = bV2 - c. Po jakim czasie prędkość punktu będzie dwa razy większa od prędkości początkowej. W chwili początkowej punkt znajdował się w położeniu x = 0.