Metoda czynnościowa w nauczaniu matematyki

         Jedną z metod nauczania matematyki, które warto wykorzystać na lekcjach jest nauczanie czynnościowe. Stosowanie tej metody nie zależy od etapu kształcenia, ani od sekwencji zastosowanych na lekcji środków dydaktycznych, lecz od „ścisłego zdefiniowania zależności pomiędzy   istotą     wprowadzanych,     względnie      modyfikowanych i wzbogacanych,  pojęć matematycznych  oraz   charakterem i stylem metodycznego postępowania nauczyciela”.[1] Zależność  ta opiera  się na  dwóch   zasadach :  matematycznej  i  psychologicznej. Pierwsza z nich odwołuje się do istoty pojęć matematycznych i wymaga przeprowadzenia dokładnej analizy teoretycznej czynności, jakie tkwią w każdym pojęciu, twierdzeniu, rozumowaniu matematycznym. Druga natomiast  ma charakter  psychologiczny  i wymaga stworzenia w nauczaniu sytuacji problemowych prowadzących od czynności konkretnych, przez wyobrażone do pomyślanych (abstrakcyjnych).

Istota czynnościowego nauczania matematyki

         Bez wątpienia do idei wciąż żywych, aktualnych i ciągle podlegających rozwojowi należy metoda czynnościowa nauczania matematyki. Twórcą koncepcji czynnościowego nauczania matematyki jest profesor Zofia Krygowska. To ona po raz pierwszy zwróciła uwagę na znaczenie    i  konieczność powiązania wiedzy  psychologicznej z matematyką i jej nauczaniem. W miarę upływu lat koncepcja ta zyskiwała coraz pewniejsze podstawy i coraz większą popularność wśród dydaktyków i nauczycieli matematyki. Toteż jest ona dziś często wymieniana wśród wielce obiecujących strategii dydaktycznych, potencjalnie możliwych do bezpośredniego wykorzystania w szkole.

         Zatem koncepcja czynnościowego nauczania matematyki opiera się z jednej strony na podstawach metodologicznych matematyki jako nauki, z drugiej zaś strony na psychologii procesu kształtowania się  pojęć. Operatywny charakter pojęć i podstawy psychologiczne procesu kształtowania się pojęć przyjęła Z. Krygowska w „Zarysie dydaktyki matematyki” charakteryzując koncepcję czynnościowego nauczania: „Czynnościowe nauczanie matematyki jest postępowaniem dydaktycznym uwzględniającym stale i konsekwentnie operatywny charakter matematyki równolegle z psychologicznym procesem interioryzacji prowadzącym od czynności konkretnych i wyobrażeniowych do operacji abstrakcyjnych. Czynnościowe nauczanie matematyki opiera się więc :

a)        na wydobyciu przez analizę teoretyczną z materiału nauczania podstawowych operacji

       w każdej definicji, twierdzeniu, dowodzie,

b)        na świadomym organizowaniu sytuacji problemowych sprzyjających procesowi interioryzacji i kształtowaniu myślenia matematycznego ucznia jako specyficznego działania , jako swobodnego i świadomego posługiwania się przyswajanymi stopniowo operacjami, oraz na konsekwentnym stosowaniu zabiegów dydaktycznych mających na celu zapewnienie prawidłowości i efektywności tego procesu.”[2]

         Z powyższej charakterystyki wynika, że podczas przygotowywania propozycji dydaktycznego opracowania jakiegoś pojęcia w sposób czynnościowy należy dokonać matematycznej analizy operacji tkwiących w tym pojęciu (tzn. wyróżnić ciąg czynności prowadzących do konstrukcji jego desygnatów). Równolegle – uwzględniając prawidłowości psychologiczne – należy zaplanować różnego rodzaju ćwiczenia , które pozwolą uczniowi przebyć drogę od czynności konkretnych, poprzez wyobrażeniowe do abstrakcyjnych.

         Jedną z dwóch fundamentalnych zasad czynnościowego nauczania matematyki jest organizowanie sytuacji problemowych sprzyjających występowaniu trzech rodzajów operacji:  konkretnych,  wyobrażeniowych  i  abstrakcyjnych . I właśnie ta zasada jest umotywowana teorią operacyjno-interiorystyczną  J. Piageta, który jako podstawowy mechanizm ludzkiego myślenia przyjął interioryzację, uwewnętrznienie, czyli proces przebiegający od konkretnych czynności do abstrakcyjnych operacji.

Zabiegi dydaktyczne w nauczaniu czynnościowym

         Konfrontacja operatywnego charakteru    matematyki z psychologiczną koncepcją interioryzacji wskazuje dydaktyce matematyki specyficzną drogę „od konkretu do abstrakcji  matematycznej”. I właśnie tą drogą jest „czynnościowe nauczanie matematyki”. Zofia Krygowska proponuje szereg zabiegów dydaktycznych, które mają na celu zapewnienie prawidłowości i efektywności kształcenia z użyciem powyższej metody. Są to następujące zalecenia:

a)   Wiązanie  treści  matematycznych  z  wyraźnie  formułowanymi schematami

        postępowania ( np. definicje genetyczne,  reguły wynikające z twierdzeń, ujawnianie

     ogólniejszych metod w toku całego nauczania, pytanie:” jak to mogę wykorzystać?”, itp.).

b)    Wiązanie operacji z operacjami do nich odwrotnymi.

c)    Wiązanie  operacji  z  różnych  dziedzin matematyki w bardziej złożone schematy.

d)    Uwzględnianie różnych ciągów operacji prowadzących do tego samego rezultatu (np. czynnościowa interpretacja „dwustronna” wzorów algebraicznych i trygonometrycznych, ujawnianie równoważności pewnych definicji, ujawnianie różnych warunków wystarczających dla tej samej tezy, różnych dowodów tego samego twierdzenia, różnych sposobów rozwiązywania tego samego zadania, itp.).

e)    Stawianie ucznia w sytuacjach konfliktowych, w których przyswojone mu schematy postępowania zawodzą i w których uczeń musi bądź dokonywać przekształcenia (adaptacji) dawnego schematu lub wypracować nowy.

f)      Opis słowny operacji, którymi uczeń myśli, szczególnie w niższych klasach (co robię?).

g)    Algorytmizacja rozwiązania zadania z zastosowaniem różnych form zapisu (drzewa i inne organigramy) tam, gdzie to jest celowe i możliwe.

h)    Właściwe i celowe wiązanie czynności konkretnych (zapis symboliczny, rysunek, czynności rzeczywiste wykonywane na przedmiotach materialnych) z myślowymi operacjami przy czym czynność konkretna:

-może być źródłem procesu interioryzacji, w którym jako jej odbicie powstaje określona operacja myślowa,

-może być wykonywana równolegle z operacjami myślowymi, wspierać je i stabilizować – przez odbicie w konkrecie i równocześnie je pobudzać,

-może być weryfikacją w konkrecie efektywności pomyślanego ciągu operacji.

i)      Konsekwentne      uczenie    swobodnego     posługiwania       się poznanymi  operacjami i przyzwyczajanie ucznia do tego, że tylko określone działanie, a nie tylko bierna kontemplacja i oczekiwanie na „ natchnienie” prowadzi do rozwiązania zagadnienia, np. uczenie korzystania z lektury matematycznej zawsze z ołówkiem w ręku  i  kartką  papieru,  z tłumaczeniem  tekstu słownego na ciąg operacji konkretnie lub symbolicznie

      wykonywanych, a  nie bierne  i wielokrotne  czytanie tego tekstu przy zupełnym  jego

      nierozumieniu  , tak  często praktykowane przez uczniów).

j)      Zwrócenie uwagi na to, aby stosowana symbolika miała również charakter operatywny, aby wizualnie sugerowała operację (np. strzałki jako symbol przyporządkowania).[3]

         Uwagi te oczywiście nie wyczerpują bardzo złożonego zagadnienia dydaktycznego, wskazują tylko kierunek poszukiwań dydaktycznych otwartych dla każdego nauczyciela. Celem tych poszukiwań jest racjonalne uczenie myślenia matematycznego jako naturalnego ,   dobrze  zorganizowanego, ekonomicznego działania w abstrakcji.

         Podobnie jak działanie w praktyce jest oparte na systemie podstawowych prostych specyficznych czynności elementarnych, przyswajanych   dziecku   w toku jego doświadczeń i wychowania, tak  i działanie w abstrakcji matematycznej jest oparte na systemie podstawowych specyficznych operacji myślowych. Tych operacji trzeba świadomie

i planowo uczyć.

         Tak więc działanie i czynności mogą i powinny być punktem wyjścia w wielu zagadnieniach. Wykonując doświadczenia matematyczne ( konstrukcje, obliczenia ), uczeń może w wyniku tych czynności dojść do nowych pojęć i prawd matematycznych, a opisując tę czynność, może formułować definicje i twierdzenia w sposób poprawny, wystarczająco ścisły i naturalny.

Etapy w planowaniu pracy

     Czynnościowe nauczanie matematyki jest szczególnie bliskie  uczniom  Z. Krygowskiej.  Kontynuatorką  badań i  zagorzałą  zwolenniczką  tej  koncepcji  nauczania jest H. Siwek, która przekłada zasady czynnościowej metody nauczania na język praktyki pracy nauczycielskiej. Bazuje przy tym na materiale szkoły podstawowej.

         Stosowanie metody czynnościowej w planowaniu procesu kształtowania się pojęć matematycznych powinno polegać na kolejnym przejściu trzech etapów pracy:

Etap 1

         Najpierw nauczyciel musi sobie uświadomić jakie etapy rozumowania, jaki ciąg czynności i w jakiej kolejności należy przeprowadzić, aby skonstruować nowe pojęcie. Inaczej mówiąc musi on dokonać matematycznej analizy operacji tkwiących w tym pojęciu.

Etap 2

         Teraz musi on opracować ogólny plan kształtowania nowego pojęcia. Plan ten opiera się na przekonaniu, że aby pojęcie zostało prawidłowo i w pełni przyswojone przez dziecko należy zasymulować przechodzenie dziecka przez kolejne stadia rozwoju intelektualnego: przedoperacyjne, operacji konkretnych i operacji formalnych. Należy to robić w ten sposób, aby w każdym symulowanym stadium proces nauczania  przechodził  przez  trzy  systemy        przetwarzania i przyswajania informacji: system reprezentacji enaktywnej, ikonicznej, symbolicznej. Każdemu z tych trzech systemów odpowiadają innego rodzaju ćwiczenia,

są to odpowiednio: ćwiczenie czynności  konkretnych,  ćwiczenie  czynności wyobrażonych

i ćwiczenie czynności abstrakcyjnych.

Etap 3

         W zależności od poziomu nauczania: czynności konkretnych, wyobrażonych lub abstrakcyjnych, na którym nauczyciel kształtuje dane pojęcie, musi on dobrać konkretne zadania stymulujące pożądane czynności ucznia. Jednakże sposób doboru ćwiczeń nie może być przypadkowy.

Typy ćwiczeń

          H. Siwek bazując na pracach Z. Krygowskiej opracowała specyficzną  kolejność   typów ćwiczeń, które prowadzą w efekcie do ugruntowania pojęcia na  każdym z

powyższych trzech etapów. Oto ich lista:

1. Ćwiczenia „wprost”, w których uczeń ma wykonać prostą czynność bądź ciąg czynności prowadzących do konstrukcji na przykład desygnatów pojęcia.
2. Ćwiczenia odwrotne do poprzednich, a więc wymagające wykonania czynności odwrotnej lub ciągu czynności odwrotnych do poprzednich.
3. Ćwiczenia tej samej czynności myślowej na różnych materiałach, w różnych położeniach, z zastosowaniem różnych zmiennych, w różnych sytuacjach.
4. Ćwiczenia  prowadzące do  różnych  ciągów  czynności  o tym samym rezultacie, różne sposoby rozwiązania,   racjonalny wybór schematu jako najbardziej odpowiedniej i najbardziej ekonomicznej drogi wiodącej do rozwiązania zagadnienia.
5. Ćwiczenia w słownym opisie czynności danego rodzaju, konstruowanie planów postępowania opisujących schematy czynności prowadzących do tworzenia przykładów definicji, zastosowania twierdzeń, tworzenie schematów sprawozdawczo – antycypacyjnych, opisywanie przedmiotu abstrakcyjnego za pomocą ciągu myślowych czynności, jako wyniku czynności konkretnych i wyobrażonych.
6. Ćwiczenia prowokujące konflikt myślowy takiego poziomu, że dziecko chce i może go pokonać, kontrprzykłady, skrajne przypadki, zadania z błędami uwypuklające istotne warunki definicji, założenia twierdzeń, itp.
7. Ćwiczenia w różnych formach przedstawiania, ilustrowania lub zapisu tego samego zadania, opisy tradycyjne, organigramy, drzewka, itp.[4]

         Zaproponowanego ciągu ćwiczeń nie należy traktować w sposób sztywny. Nie można też wymagać, aby koniecznie w projektowanym opracowaniu metodycznym pojawił się każdy z wymienionych typów ćwiczeń.   W   zależności   od   sytuacji należy je stosować elastycznie i rozsądnie, jednak zgodnie z koncepcją nauczania czynnościowego planując ćwiczenia wymienionych typów na poziomie operacji konkretnych, następnie wyobrażonych i abstrakcyjnych. Tak więc   pracę   można   zorganizować  według   planu   ujętego w poniższej schematycznej tabeli:

         Nauczyciel matematyki nie musi sam tworzyć zadań do każdego wprowadzanego pojęcia według powyższego schematu. Musi jednak każde zagadnienie dogłębnie przeanalizować  i   tak dobrać  dostępne materiały z podręczników, zbiorów zadań, zeszytów ćwiczeń, tak je pogrupować, aby praca ucznia stała się konsekwentnym procesem kształtowania nowego pojęcia.

         Dla zilustrowania zasad czynnościowego nauczania matematyki wykorzystam przykładową listę zadań kształtujących pojęcie prostopadłościanu w klasie IV.

1.      Ćwiczenia „wprost”

2.      Ćwiczenia odwrotne

3.      Ćwiczenia na różnych materiałach

4.      Ćwiczenia z różnymi ciągami operacji

5.      Słowny opis czynności

6.      Ćwiczenia konfliktowe

           Czynności, które są istotne do powstania danego pojęcia w umysłach uczniów powinny być zawarte na wszystkich trzech poziomach, tzn. poziomie  czynności konkretnych,  wyobrażonych i abstrakcyjnych.

         Na  poziomie pierwszym czynności ucznia  związane  są z konkretnymi przedmiotami, z modelami figur. Uczeń poprzez manipulacje poznaje właściwości prostopadłościanu.

          Na drugim z poziomów uczeń operuje rysunkami, schematami figur.  Rozumowanie   ucznia  jest tutaj całościowe,  oparte na uogólnieniach czynności manipulacyjnych

z pierwszego poziomu. Z kolei zadania z prowokujące czynności wyobrażone stanowią podstawę do tworzenia się schematów potrzebnych do rozwiązywania zadań z punktu widzenia metody czynnościowej nazywanych abstrakcyjnymi.

         Na trzecim poziomie zmienia się materiał, którym uczeń operuje. Teraz są to głównie określenia dotyczące właściwości prostopadłościanów. Uczeń je przekształca, analizuje,  porównuje i w ten sposób szuka między nimi związków, określa ich prawdziwość, uzasadnia formułowanie hipotezy.

         Z każdym zestawem zadań doświadczenie ucznia się coraz bardziej wzbogaca, język opisu zmienia się z konkretnego, poprzez obrazowy, intuicyjny na ścisły, matematyczny, operujący pojęciami abstrakcyjnymi.