polianaliza1bz.pdf

Liczbyrzeczywiste

1. Wykaza¢,»edladowolnych a,b,c 2 R:

1.1. a 2 + b 2 2 ab 1.2. a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca

1.3.( a + b + c ) 2 ¬ 3( a 2 + b 2 + c 2 ) 1.4.

p a 2 + b 2 + c 2 ¬| a | + | b | + | c |

1.5.( a + b + c ) 2 3( ab + bc + ca ) 1.6. a 3 + b 3 + c 3 3 abc ( a + b + c 0)

2. Wykaza¢,»enast¦puj¡celiczbynies¡liczbamiwymiernymi:

6 , 1+

2 , 3 p

4 , 3 p

3. Wykaza¢,»edladowolnych a,b 2 R ,a<b istnieje c 2 R

a<c<b ,takie»e

1) c 2 Q 2) c 2 R \ Q

4. Znale¹¢sup A, inf A

4.1. A = { x 2 R: x 2 − 4 x +3 < 0 }

4.2. A = { x 2 R: || x − 1 |− 1 | < 1 }

4.3. A = { x 2 R: x 3 − 2 x< 2 − x 2 }

4.4. A = { x 2 R: x =sin t +cos t,t 2 [0 , ] }

4.5. A = { x 2 R: x = a sin t + b cos t,a,b> 0 ,t 2 R }

4.6. A = { x 2 R: x = n

n +1 ,n 2 N }

3 ,

4.7. A = { x 2 R: x = ( − 1) n

n + 1+( − 1) n

2 ,n 2 N }

4.8. A = { x 2 R: x = n − 1

n cos 2 n

3 ,n 2 N }

4.9. A = { x 2 R: x = t

| t | +1 ,t 2 R }

t ,t 2 R ,t 6 =0 }

4.11. A = { x 2 R: x = m

n + n

m ,m,n 2 N ,m<n }

5. Sprawdzi¢,czy

5.1.sup( A [ B )=sup A +sup B

5.2.sup( A \ B )=sup A +inf B

5.3.sup( A + B )=sup A +sup B

5.4.sup A = − inf( − A )

5.5.sup A = sup A, ( > 0)

5.6.sup A = − inf A, ( < 0)

5.7.sup( A [ B )=max[sup A, sup B ]

5.8.sup( A \ B )=min[sup A, sup B ]

5.9.sup( A + b )=sup A + b

5.10.sup ; =inf ; =0

4.10. A = { x 2 R: x = sin t

Funkcje

6. Znale¹¢dziedzin¦naturaln¡funkcji f ( x 2 R z 2 C).

6.1. f ( x )=arcsin(1 − 2 x 2 ) 6.2. f ( x )=log p 1 − 2sin3 x

x +1

6.3. f ( x )=

lg 1 2

6.4. f ( x )=

lg x (2 − x )

6.5. f ( x )=arcsin 2 (2log x − 1) 6.6. f ( x )=arcsin( x +1)+ p x − x 2

6.7. f ( x )=

[ x ] − x 6.8. f ( x )=log x +log( − x )

6.9. f ( z )= 1

Rez + Imz + i 1

Rez − Imz 6.10. f ( z )= q Rez −| z |

7. Zbada¢parzysto±¢(nieparzysto±¢)funkcji f .

7.1. f ( x )= x sin 2 x 7.2. f ( x )= x log | x |

7.3. f ( x )=2 | x |

7.4. f ( x )=arccos x −

7.5. f ( x )=

p x

1+ x 2

7.6. f ( x )= x log 1 − x

1+ x

8. Wyznaczy¢funkcjeodwrotnedodanychfunkcji:

8.1. y = 3 p x +1 8.2. y =2arcsin x +1

8.3. y =lg x 2 8.4. y =32 x +1 +2

8.5. y =arcsin(log x +1)+2 8.6. y = x

1+ | x |

8.7. y = | x | +2 x 8.8. y =2 x − 2 − x

9. Naszkicowa¢wykresyfunkcji:

9.1. f ( x )= x + | x | 9.2. f ( x )=

9.3. f ( x )= p 1 − 2 x 9.4. f ( x )= p 1 − x 2

9.5. f ( x )=2sin3 x 9.6. f ( x )=sin x + | sin x |

9.7. f ( x )=arccos2 x − arcsin2 x 9.8. f ( x )=arcsin x +arcsin( x − 1)

9.9. f ( x )=cos(arccos x ) 9.10. f ( x )=arccos(cos x )

9.11. f ( x )=arctg 1

9.12. f ( x )=sin(arccos x )

9.13. f ( x )=log3 x 9.14. f ( x )=lg 2 x +lg 1 2 x

9.15. f ( x )= | log x 2 | 9.16. f ( x )=lg x x

9.17. f ( x )= | 2 | x − 1 | − 1 | 9.18. f ( x )=2 − x 2

9.19. f ( x )= | lg | x | 2 | 9.20. f ( x )=lg 2 4 x +2 lg 4 x 2

10. Obliczy¢:

2 10.2. arccos( − 1

2 ) 10.3. arctg( − p

10.4. sin(arccos 3

4 )10.5. cos(2arcsin 1

5 )10.6. sin(arctg 1

2 )

10.1. arcsin 1

Ci¡gi

11. Korzystaj¡czdeﬁnicjigranicyzbada¢zbie»no±¢ci¡gu( a n ).

11.1. a n = n +2

2 n − 1 11.2. a n = 1+( − 1) n

n 11.3. a n = n

2 n + i n

n +1

2 + i 1

11.4. a n = n 2 − n 11.5. a n =cos n 11.6. a n =(

2 ) n

12. Obliczy¢granice:

12.1. lim

n !1

( n +1) 2

2 n 2

12.2. lim

n !1

( n +1) 3 − ( n − 1) 3

( n +1) 2 +( n − 1) 2

n 2 +1+ n ) 2

3 p

4 p

n 5 +2 − 3 p

n 2 +1

12.3. lim

n !1

12.4. lim

n !1

5 p

n 4 +2 − 2 p

n 6 +1

n 3 +1

12.5. lim

n !1

n +1 − n 3

n 2

12.6. lim

n !1

( n +2) 10 − n 10 − 20 n 9

n 8 − 2 n 4 +1

n 2 +1

n !1 ( p n +2 − p n − 1) 12.8. lim

n !1 ( p 2 n 2 − 3 n +1 − n p 2)

n ( n − p n 2 − 1) 12.10. lim

n !1 n p n ( p n +1+ p n − 1 − 2 p n )

12.9. lim

n !1

12.11. lim

n !1

log n 2

log n 3

12.12. lim

n !1

log 3 n 2

log 2 n 3

12.13. lim

n !1

lg 2 n

log 4 n

12.14. lim

n !1

lg n 2

lg 3 n

12.15. lim

n !1

n !

( n +1)! − n !

12.16. lim

n !1

n 2 (1+2+ ... + n )

1 − 2+3 − 4+ ... − 2 n

12.17. lim

n !1

p n 2 +1

(

12.7. lim

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: