Trójkąty i kwadraty A4.pdf
(
444 KB
)
Pobierz
130020931 UNPDF
A to ciekawe
przygodę. Przygodę, która przytrafiła
się wówczas, gdy usiłowano obliczyć
przekątną kwadratu o boku długo-
ści 2. Co otrzymano w wyniku? Liczbę
monstrum. Dziwadło, które nie dało
się przedstawić w postaci żadnego
ułamka!
Odkrycie to było szokiem dla pita-
gorejczyków, którzy czcili liczby ja-
ko doskonałość. Odebrali je jako za-
mach na koncepcję filozoficzną świata,
którym miały rządzić liczby natural-
ne oraz ich proporcje i w którym nie
było miejsca na takie dziwolągi jak
√
2. Legenda głosi, że Pitagoras, który
nie potrafił zaakceptować odkrycia
swojego ucznia, skazał go na śmierć
przez utopienie. Inna wersja podaje,
że Hippasus poniósł śmierć, ponieważ
złamał przysięgę i wyjawił publicznie
straszliwą tajemnicę istnienia liczb
niewymiernych.
Z twierdzeniem Pitagorasa związane
są również tzw. księżyce Hipokratesa.
Na trójkącie prostokątnym opisujemy
koło (rysunek A). Następnie budu-
jemy półkola, których średnicami są
przyprostokątne. Suma pól księżyców
zielonego i granatowego jest równa
polu trójkąta.
Nawiasem mówiąc, Hipokrates od
księżyców nie ma nic wspólnego z Hi-
pokratesem uważanym za prekursora
medycyny. Ten od księżyców pochodził
z Chios i w latach 450–420 działał
w Atenach, udowodnił również, że
suma pól księżyców zbudowanych
na bokach czworokąta wpisanego
w okrąg jest równa polu tego czwo-
rokąta (rysunek B).
Pomnik Pitagorasa na wyspie Samos
związane brzemienne w skutki
odkrycie liczb niewymiernych. Zwy-
kle dokonanie to jest przypisywane
Hippasusowi z Mezopotamii. Temu
niewątpliwie doniosłemu odkryciu nie
towarzyszył jednak ryk zwierząt ofiar-
nych. Więcej – rzecz całą starano się
utrzymać w tajemnicy, niby wstydliwą
a
c
b
Rysunek A
Rysunek B
Więcej doświadczeń
W internecie
Trójkąty i kwadraty
stawimy te dane do wzoru a
2
+b
2
=c
2
, okaże się, że zgodnie z twierdze-
niem Pitagorasa jest to trójkąt prostokątny. Czy liczby 3, 4, 5 to jedyne liczby
naturalne spełniające twierdzenie Pitagorasa? Spróbujmy znaleźć inne. Dla
zachęty podajemy kilka przykładów:
Inne dowody twierdzenia Pitagorasa
www.matmaserwis.scholaris.pl/
serwis_m/index1.html
a
2
+b
2
=c
2
to jedno z nielicznych twierdzeń matematycz-
nych, jakie zapamiętujemy ze szkoły.
Ale czy wiecie, że
wcale nie odkrył go Pitagoras? Albo że można je udo-
wodnić na ponad 500 sposobów? A może chcecie je
zastosować do obliczania pola… księżyców?
5
2
+12
2
=13
2
7
2
+24
2
=25
2
44
2
+117
2
=125
2
693
2
+1924
2
=2045
2
Wiecej o Pitagorasie
www.matkram.republika.pl/
pitagoras.htm
Pitagoras i Pitagorejczycy
http://history.hanover.edu/texts/
presoc/pythagor.html
Czy poszukiwanie takich liczb można jakoś zautomatyzować? Oczywiście!
Po podstawieniu do wzoru:
(2n+1)
2
+ (2n
2
+2n)
2
= (2n
2
+2n+1)
2
Dowody, dowody
www.cut-the-knot.org/pythagoras/
index.shtml
w miejsce n dowolnej liczby naturalnej otrzymamy w nawiasach liczby będące
długościami boków trójkąta prostokątnego.
CENTRUM NAUKI
KOPERNIK
CENTRUM NAUKI
KOPERNIK
www.kopernik.org.pl
Z
twierdzeniem Pitagorasa było
N
a poprzedniej stronie mówiliśmy o trójkącie o bokach 3, 4 i 5. Jeśli pod-
Trochę teorii
O historii
b
a
a
b
N
ie można wykluczyć, że Pitagoras
za autora koncepcji harmonii kosmosu
i prekursora teorii liczb.
Odnalezione przez archeologów
tabliczki z pismem klinowym świad-
czą, że już Babilończycy wiedzieli,
iż „suma pól kwadratów zbudowa-
nych na przyprostokątnych trójkąta
prostokątnego jest równa polu kwa-
dratu zbudowanego na jego przeciw-
prostokątnej”. Jednak dopiero Grecy
włączyli to twierdzenie do matema-
tyki, to znaczy dostrzegli potrzebę
przeprowadzenia ścisłego dowodu,
prawdziwego dla każdego trójkąta
prostokątnego. Ujmując rzecz mniej
poważnie, możemy powiedzieć, że
Babilończycy mówili: „zgadzało się
tyle razy, to chyba i następnym razem
się zgodzi”. Grecy natomiast raz na
zawsze stwierdzili, że nie „chyba”, ale
„na pewno”.
Pitagoras przekazywał wiele ze swo-
ich nauk w postaci maksym, z których
znaczna część – z uwagi na kontekst
historyczny – jest dzisiaj trudna do
zrozumienia. Są jednak i takie, które
zachowały aktualność do dzisiaj.
Oto kilka przykładów:
• Kto mówi, sieje, kto słucha, zbiera.
2
b b
c
2
b
b
w ogóle nie istniał i jest jedynie
postacią legendarną. Do naszych cza-
sów nie zachowały się bowiem żadne
pisma świadczące o jego geniuszu.
Wszystko, co wiemy o Pitagorasie,
pochodzi od żyjącego w III wieku n.e.
Diogenesa Laertiosa, autora dzieła
„Żywoty i poglądy słynnych filozofów”
oraz z „Żywotów Pitagorasa” napisa-
nych przez Jamblichosa i Porfiriusza
na przełomie III i IV wieku n.e.
Na ogół przyjmuje się jednak, że
Pitagoras urodził się w Samos około
572 roku p.n.e. W wieku 40 lat wyemi-
grował do kolonii jońskich i zamieszkał
w Krotonie. Zmarł około 497 roku
p.n.e. w Metaponcie (kolonii achajskiej
na południu Italii). Był matematykiem
i filozofem (jako pierwszy użył terminu
filozofia w rozumieniu „miłość mądro-
ści”), założył też związek religijno-po-
lityczny zwany później szkołą pitago-
rejską. Twierdzenie sformułował około
530 roku p.n.e. i wówczas to głośny
ryk stu wołów oznajmił światu, jak
bardzo grecki matematyk wdzięczny
jest bogom za przychylność i natchnie-
nie. Pitagoras jest również uważany
1
1
c
a
b
a
c
b
c
a
4
c
a
a
a a
c
b
c
3
3
4
a
b
a
b
Rysunek 1
Rysunek 2
Rysunek 4
– „W obie strony jednakowe
spodnie Pitagorasowe”. Faktycznie,
jeżeli c jest długością przeciwprosto-
kątnej trójkąta prostokątnego oraz
a i b są długościami jego przypro-
stokątnych, to a
2
+b
2
=c
2
. W języku
geometrii oznacza to, że jeżeli trój-
kąt jest prostokątny, to suma pól
kwadratów zbudowanych na jego
przyprostokątnych równa jest polu
kwadratu zbudowanego na jego
przeciwprostokątnej.
Prześledźmy teraz jeden z dowodów
twierdzenia, ten, który – najprawdo-
podobniej – znany był samemu Pita-
gorasowi. Narysujmy kwadrat o dłu-
gości boku a+b i na każdym z jego
boków odmierzmy odcinek długości
b – jak na rysunku 1. Połączmy punkty
podziału, otrzymując cztery trójkąty
prostokątne o bokach a, b, c. Trójkąty
te można zgrupować też w sposób
pokazany na rysunku 2.
Porównajmy oba rysunki. Patrząc
na rysunek po lewej, widać, że jeśli
od pola dużego kwadratu odejmie-
my pola czterech trójkątów, otrzy-
mamy pole kwadratu o boku c.
Patrząc na rysunek po prawej,
widzimy, że jeśli od pola dużego
kwadratu odejmiemy pola czte-
rech trójkątów, otrzymamy pole
dwóch kwadratów: o boku
a i o boku b.
Stąd wniosek, że kwadrat o boku c
ma pole identyczne z sumą pól kwa-
dratów o boku a i b.
A co będzie, gdy na bokach trój-
kąta prostokątnego zbudujemy nie
kwadraty, ale trójkąty równobocz-
ne? (rysunek 3). Bardzo podobnie.
Czerwony trójkąt ma pole równe
a
2
3
4
, niebieski
b
2
3
4
,
wykorzystaniu podobieństwa trój-
kątów. W istocie znane są dziesiąt-
ki różnych dowodów tego chyba
najsławniejszego na świecie twier-
dzenia. W 1894 roku czasopismo
„American Mathematical Monthly”,
wydawane przez Amerykańskie Sto-
warzyczenie Matematyczne (
The Ma-
thematical Assosiation of America
),
rozpoczęło publikację serii dowo-
dów, ale po setnym odcinku zabawę
zawieszono. Jedna z zawiedzionych
czytelniczek – Elisha S. Loomis, na-
uczycielka z Ohio – zebrała więc na
własną rękę kolekcję 230 dowodów,
którą wydała w postaci książeczki
w 1927 roku. Druga edycja tego
dzieła, z 1940 roku, zawierała już
370 dowodów. „Księga rekordów
Guinessa” („Guinness Book of World
Records”) podaje nazwisko człowie-
ka, który skompletował ich aż 520.
W prezentowanym na wystawie
doświadczeniu mamy do czynienia
z bardzo nietypowymi, bo płaskimi
akwariami. Ale twierdzenie Pitago-
rasa można sformułować także dla
figur trójwymiarowych (rysunek 4):
suma objętości prostopadłościanów
o równych wysokościach, których
podstawami są kwadraty zbudo-
wane na przyprostokątnych trójkąta
prostokątnego, jest równa objęto-
ści prostopadłościanu o tej samej
wysokości, którego podstawą jest
kwadrat zbudowany na przeciwpro-
stokątnej tego trójkąta.
Kto ma trochę czasu i wagę szalko-
wą, może zbudować szczelne prosto-
padłościany i napełnić je wodą. Dwa
mniejsze, postawione na jednej szalce
wagi, zrównoważą trzeci stojący na
drugiej szalce.
Pitagoras zajmował się nie tylko
matematyką, był też filozofem i aktyw-
nym politykiem
żółty
c
2
3
4
. Skoro a
2
+b
2
=c
2
to i
a
2
3
4
+
b
2
3
4
=
c
2
3
4
.
• Liczba jest istotą wszystkich rzeczy.
• Muzyka budzi w sercu pragnienie
dobrych czynów.
• Nic w nadmiarze.
• Trudno jest iść przez życie wieloma
drogami jednocześnie.
• Trzeba milczeć albo mówić rzeczy
lepsze od milczenia.
Jeżeli na bokach trójkąta prostokąt-
nego będziemy budowali nie trójkąty
czy czworokąty, ale pięciokąty, sze-
ściokąty i inne wielokąty – ich pola
również spełnią pitagorejską zależ-
ność. Co więcej, nie musimy się nawet
ograniczać do wielokątów – mogą
to być zupełnie dowolne figury, byle
były podobne (różniące się wielkością,
ale nie kształtem). Pole figury opartej
na przeciwprostokątnej, to suma pól
figur zbudowanych na przyprosto-
kątnych.
Współczesne zastosowania
to trójkąt ten jest prostokątny. Na
przykład, ponieważ 3
2
+4
2
=5
2
, to
trójkąt o bokach długości 3, 4, 5,
jest prostokątny. Wynika to nie
z twierdzenia Pitagorasa, ale właśnie
z twierdzenia odwrotnego. Można
je wykorzystać praktycznie, np. do
precyzyjnego wyznaczania kąta pro-
stego w terenie.
Przeprowadźmy eksperyment. Wy-
starczy zaopatrzyć się w kawałek
sznurka o długości 12 m. Następnie
odmierzmy i zaznaczmy od jednego
z jego końców 3 m, a od drugie-
go 4 m. Pozostanie nam odcinek
o długości 5 m. Z naszego sznur-
ka utwórzmy teraz trójkąt. Jest on
z całą pewnością prostokątny. Ten
sposób jest prosty i dokładny, a zna-
ny był już w starożytnym Egipcie
i w Babilonii. Zasada ta jest dzisiaj
wykorzystywana m.in. w pomiarach
geodezyjnych.
a
b
c
Rysunek 3
R
ównie ważne jak samo twierdze-
Przedstawiony przez nas dowód
różni się od tego, który najczęściej
można znaleźć w szkolnych pod-
ręcznikach, a który opiera się na
nie Pitagorasa jest twierdzenie
odwrotne do niego. Jeżeli suma pól
kwadratów zbudowanych na dwóch
krótszych bokach trójkąta jest równa
polu kwadratu zbudowanego na je-
go najdłuższym boku, to ten trójkąt
jest prostokątny. Lub – jak kto woli:
jeżeli a, b, c są długościami boków
trójkąta i prawdą jest, że a
2
+b
2
=c
2
,
S
tary szkolny wierszyk głosi
Plik z chomika:
majaremi
Inne pliki z tego folderu:
Znikające kolory A4.pdf
(219 KB)
Znikające kolory A3.pdf
(492 KB)
Wyścigi walców A4.pdf
(428 KB)
Wyścigi walców A3.pdf
(191 KB)
Wysokie napięcie A4.pdf
(497 KB)
Inne foldery tego chomika:
Artykuły różne
ASPERGER
AUTYZM
Eksperymenty
Galeria
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin