intro6.pdf
(
90 KB
)
Pobierz
381442643 UNPDF
WSTE¸PDOMATEMATYKI
Lista6
1.
Zakładamy,»e
A
=
{
A
n
:
n
2
N
}
jestrodzin¡paramirozł¡cznychpodzbiorówzbioruwszystkichliczb
naturalnych,którychsumamnogo±ciowajestrównacałemuN
.
Definiujemyrelacj¦
k,l
2
N
,k
l
$9
n
k,l
2
A
n
.
Czytarelacjajestrównowa»no±ci¡?
2.
Dlapodanychzbiorów
X
irelacji
R
X
×
X,
sprawdzi¢,czy
R
jestrelacj¡równowa»no±ci:
(
a
)
X
=N
kRl
$
5
|
k
−
l
;
(
b
)
X
=R
xRy
$
x
+
y
=5;
(
c
)
X
=R
xRy
$
x
−
y
2
Q;
(
d
)
X
=R
×
R(
x
1
,y
1
)
R
(
x
2
,y
2
)
$
x
1
−
y
1
=
x
2
−
y
2
;
(
e
)
X
=
P
(
Y
)
A
R
B
$
istniejebijekcjaf
:
A
−!
B
;
(
f
)
X
=
P
(R)
A
R
B
$9
M>
0
A
÷
B
[
−
M,M
];
(
g
)
X
=Z
kRl
$|
k
−
l
|¬
1
.
3.
Wzbiorze
P
(N)wprowadzamyrelacj¦:
A,B
2
P
(N)
,A
=
?
B
$
A
÷
Bjestzbioremsko«czonym.
Pokaza¢,»erelacjatajestrelacj¡równowa»no±ci.
4.
.Poni»ejprzedstawiones¡podziaływyznaczoneprzezpewnerelacjerównowa»no±ci.Poda¢prostszy
opistychrelacji.
(
a
)
Elementamipodziałus¡dwazbiory:wszystkichliczbparzystychiwszystkichliczbnieparzystych.
(
b
)
Elementamipodziałus¡przedziałypostaci[k,k+1),gdziekjestliczb¡całkowit¡.
(
c
)
Elementamipodziałujestzbiór
{
(0
,
0)
}
orazokr¦gio±rodkuwtympunkcie.
5.
Pokaza¢,»ezdefiniowneponi»ejrelacjes¡równowa»no±ciami:
(a)
f,g
s¡funkcjamiN
$
N;
f
=
?
g
wtedyitylkowtedy,gdy
9
n
8
m
n
f
(
m
)=
g
(
m
)
.
(b)
f,g
s¡funkcjamiR
!
R
,
oraz
A
=
{
a
n
:
n
2
N
}
R;
f
=
A
g
wtedyitylkowtedy,gdy
8
n
2
N
f
(
a
n
)=
g
(
a
n
)
.
(1)
;62
F
;
(2) je»eli
A
2
F
oraz
A
B
to
B
2
F
;
(3) je»eli
A,B
2
F
to
A
\
B
2
F.
Je»eliponadtodladowolnego
A
2
P
(
X
)
A
2
F
lub
X
\
A
2
F,
to
F
nazywamy
ultrafiltrem
.
Zakładamy,»e
F
jestultrafiltremna
P
(
X
)a
f,g
funkcjamiz
X
!
Y.
Udowodni¢»e,relacja
okre±lonawzorem:
f
=
F
g
wtedyitylkowtedy,gdy
{
x
2
X
:
f
(
x
)=
g
(
x
)
}2
F
jestrównowa»no±ci¡.
(c)Mówimy,»e
F
jest
filtremnaP
(
X
)
,
je»eli
ZADANIEDOMOWE
Lista6
1.
Zakładamy,»e
X,Y
s¡zbioraminiepustymi.Niech
f
:
X
!
Y
b¦dziedowoln¡funkcj¡.Czyrelacja
na
X
zdefiniowanawzorem:
x
y
$
f
(
x
)=
f
(
y
)jestrównowa»no±ci¡?
2.
Dlapodanychzbiorów
X
irelacji
R
X
×
X,
sprawdzi¢,czy
R
jestrelacj¡równowa»no±ci:
(
a
)
X
=N
kRl
$
5
|
k
+
l
;
(
b
)
X
−
dowolnyzbi
´
or xRy
$
x
=
y
;
(
c
)
X
=R
×
R (
x
1
,y
1
)
R
(
x
2
,y
2
)
$
x
1
=
x
2
;
(
d
)
X
=N
nRm
$9
l,k>
0
n
l
=
m
k
;
(
e
)
X
=
P
(
Y
)
A
R
B
$
istniejebijekcjaf
:
A
−!
B
;
(
f
)
X
=N
×
N (
n,m
)
R
(
k,l
)
$
n
+
l
=
k
+
m
;
(
g
)
X
=Z
×
(Z
\{
0
}
) (
n,m
)
R
(
k,l
)
$
nl
=
km
;
(
h
)
X
=Z
kRl
$|
k
−
l
|¬
1
.
3.
Wzbiorze
P
(R)wprowadzamyrelacj¦:
A,B
2
P
(R)
,A
=
??
B
$
A
÷
Bjestzbioremsko«czonymlubprzeliczalnym.
Pokaza¢,»erelacjatajestrelacj¡równowa»no±ci.
4.
Zakładamy,»e
R
X
×
X,S
Y
×
Y
s¡relacjamirównowa»no±ci.Pokaza¢,»erelacja
T
(
X
×
Y
)
×
(
X
×
Y
)zdefiniowanawzorem:(
x
1
,y
1
)
T
(
x
2
,y
2
)
$
x
1
Rx
2
^
y
1
Sy
2
jestrównowa»no±ci¡.
Zbada¢,jakwygl¡daj¡jejklasyabstrakcji.
5.
Zakładamy,»e
R,S
X
×
X
s¡relacjamirównowa»no±ci.Czy
R
\
S
jestrównowa»no±ci¡?Je»eli
tak,tojakmo»naopisa¢jejklasyabstrakcji?
6.
Rozwa»myprzestrze«wszystkichci¡gówowyrazachrzeczywistych
C
(N)=
N
R
.
Wtymzbiorze
wprowadzamyrelacj¦:(
a
n
)
n
2
N
(
b
n
)
n
2
N
$
lim
n
!1
(
a
n
−
b
n
)=0
.
Pokaza¢,»ejesttorelacja
równowa»no±ci.
Plik z chomika:
Jaszczomp
Inne pliki z tego folderu:
intro1.pdf
(93 KB)
intro10.pdf
(80 KB)
intro11.pdf
(125 KB)
intro2.pdf
(78 KB)
intro3.pdf
(88 KB)
Inne foldery tego chomika:
inne
PG
PP
PW
PWJSTK
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin