intro5.pdf
(
91 KB
)
Pobierz
381442640 UNPDF
WSTE¸PDOMATEMATYKI
Lista5
1.
Wypisa¢wszystkiemo»liwerelacje
R
{
1
,
2
,
3
}
2
,
któres¡(równocze±nie)zwrotneisymetryczne.
2.
.Policzy¢ilejestwszystkichrelacjizwrotnychnazbiorze10-elementowym.
3.
Załó»my,»erelacje
R
1
,R
2
s¡symetryczne.Czywłasno±¢t¦maj¡równie»relacje:
R
1
\
R
2
,R
1
[
R
2
,R
1
\
R
2
,R
1
÷
R
2
?
Zbada¢analogicznewłasno±cidlainnychtypówrelacji.
4.
Zakładamy,»e
R
R
2
.
Jakuło»onyjestwstosunkudoosizbiór
{
(
x,y
):
xRy
}
,
je»eli
R
jest:
cm(a)symetryczna, (b)antysymetryczna, (c)zwrotna.
5.
Sprawdzi¢,czyponi»szerelacje
f
X
×
X
s¡funkcjami:
(a)
X
=R
,xfy
$
(
y
=
x
2
^
x
1)
_
(
y
=2
^
x
¬
1)
.
(b)
X
=R
,xfy
$
((
xjestniewymierna
)
^
y
=1)
_
((
xjestwymierna
)
^
y
=0)
(c)
X
=N
,xfy
$
(
9
n
2
N)(
9
k
2
N((
y
=
n
+
k
^
x
=
n
·
k
)
.
6.
Zakładamy,»e
f
:
X
!
Y
jestfunkcj¡,
A
t
X,B
t
Y.
Udowodni¢prawdziwo±¢nast¦puj¡cych
równo±ciiinkluzji:
(a)
f
(
A
1
\
A
2
)
f
(
A
1
)
\
f
(
A
2
)iogólniej
f
(
T
t
2
T
A
t
)
T
t
2
T
f
(
A
t
)
.
(b)
f
(
A
1
)
\
f
(
A
2
)
f
(
A
1
\
A
2
)
.
7.
Załó»my,»efunkcja
f
:
X
!
X
spełniarównanie
f
f
=
id
X
.
Wykaza¢,»e
f
jestinjekcj¡.
8.
Zakładamy,»e
f
:
X
!
Y,g
:
Y
!
X.
Pokaza¢,»e:
(a)Je»eli
g
f
=
id
X
,
tofjestró»nowarto±ciowaagjestsurjekcj¡.
(b)Je»eli
g
f
jestró»nowarto±ciowaafjestsurjekcj¡,togjestró»nowarto±ciowa.
(c)Je»eli
g
f
jestsuriekcj¡agjestró»nowarto±ciowa,tofjestsurjekcj¡.
9.
Wyznaczy¢funkcjeodwrotnedo
f
1
i
f
2
,
gdzie:
f
1
:R
2
3
(
x,y
)
!
(2
x
+3
y,
−
x
+3
y
)
2
R
2
, f
2
:C
3
a
+
b
i
!
(
a
+1
,
−
b
)
2
R
2
.
ZADANIEDOMOWE
Lista5
1.
Sprawdzi¢,czyponi»szerelacje
f
X
×
X
s¡funkcjami:
(a)
X
=R
,xfy
$
x
=
y
2
.
(b)
X
=R
,xfy
$
(
yjestcałkowitaorazy
¬
x<y
+1
.
)
2.
Zakładamy,»e
f
:
X
!
Y
jestfunkcj¡,
A
t
X,B
t
Y.
Udowodni¢prawdziwo±¢nast¦puj¡cych
równo±ciiinkluzji:
(b)
f
−
1
(
B
1
\
B
2
)=
f
−
1
(
B
1
)
\
f
−
1
(
B
2
)iogólniej
f
−
1
(
T
t
2
T
B
t
)=
T
t
2
T
f
−
1
(
B
t
)
.
(c)
f
−
1
(
B
1
\
B
2
)=
f
−
1
(
B
1
)
\
f
−
1
(
B
2
)
.
(d)Je»eli
A
X
to
A
f
−
1
(
f
(
A
))
.
Sprawdzi¢,dlajakichfunkcjizachodziwdrówno±¢.
3.
Zbada¢,czyzdefiniowaneni»ejfunkcje
f
1
,f
2
,f
3
,f
4
s¡ró»nowarto±cioweiczys¡surjekcjamina
podaneprzeciwdziedziny.(a)
f
1
:N
!
N
,f
1
(
n
)=
n
2
.
(b)
f
2
:N
×
N
!
N
,f
2
(
k,l
)=najmniejszawspólnawielokrotno±¢liczb
k,l.
(c)NiechPoznaczazbiór(dodatnich)liczbpierwszych.Rozwa»y¢restrykcj¦
f
3
=
f
2
|
P
×
P
.
(d)Zakładamy,»e
X
6
=
;
.
Dlaka»dego
A
2
P
(
X
)definiujemyjegofunkcj¦charakterystyczn¡
A
:
A
:
X
!{
0
,
1
}
,
(
A
(
x
)=0
$
x/
2
A
)
.
Funkcj¦
f
4
okre±lamywzorem
f
4
:
P
(
X
)
3
A
!
A
2{
0
,
1
}
X
.
4.
Wykaza¢,»edladowolnych(niepustych)zbiorów
X,Y
istnienieinjekcji
f
:
X
!
Y
jestrównowa»ne
istnieniusurjekcji
g
:
Y
!
X.
9.
Sprawdzi¢,czydlafunkcji
f
1
i
f
2
istniej¡funkcjeodwrotne.Je»elitak,wyznaczy¢je.
f
1
:C
2
3
(
x
1
+
y
1
i
,x
2
+
y
2
i)
!
(
x
1
,x
1
+
x
2
,y
1
,y
1
+
y
2
)
2
R
4
,
f
2
:N
3
k
!
(c)
f
−
1
(
B
1
[
B
2
)=
f
−
1
(
B
1
)
[
f
−
1
(
B
2
)iogólniej
f
−
1
(
S
t
2
T
B
t
)=
S
t
2
T
f
−
1
(
B
t
)
.
(d)Je»eli
B
f
(
X
)to
f
(
f
−
1
(
B
))=
B.
Sprawdzi¢,dlajakichfunkcjizachodz¡wa,brówno±ci.
(a)
f
(
A
1
[
A
2
)=
f
(
A
1
)
[
f
(
A
2
)iogólniej
f
(
S
t
2
T
A
t
)=
S
t
2
T
f
(
A
t
)
.
2
k
je»eli(
9
l
2
N)(
k
=2
l
);
k
wprzeciwnymprzypadku.
2
N
\{
1
}
.
Plik z chomika:
Jaszczomp
Inne pliki z tego folderu:
intro1.pdf
(93 KB)
intro10.pdf
(80 KB)
intro11.pdf
(125 KB)
intro2.pdf
(78 KB)
intro3.pdf
(88 KB)
Inne foldery tego chomika:
inne
PG
PP
PW
PWJSTK
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin