w2podstawyEE.pdf

2Podstawy:zbiory,liczby,relacje

Wka»dejdziedziniewiedzypróbujesi¦sformułowa¢jejpodstawytoznaczypodstawowepoj¦ciai

podstawowetwierdzeniaowłasno±ciachtychpoj¦¢.Woparciuoniemo»natworzy¢(deﬁniowa¢)

nowepoj¦ciairozwija¢teoriezawieraj¡cenowehipotezyitwierdzenia.Poszukiwaniepodstaw

wiedzyzdajesi¦by¢naturalnymd¡»eniemczłowieka.Zjednejstronyimlepiejznamypodstawy

jakiej±teoriitymlepiejrozumiemyjejbardziejzaawansowanefragmenty.Zdrugiejstronysamo

zgł¦bienieiustalenietegocouznajemyzapodstaw¦jestwka»dejdziedziniewyzwaniemtrudnym

ikontrowersyjnym.

PodkoniecXIXinapocz¡tkuXXw.wiedzianoju»wieleoliczbachfunkcjachiﬁgurachgeo-

metrycznych.Poszukiwanopoj¦ciapodstawowego,zapomoc¡któregomo»nabyokre±li¢poj¦cia,

któreewidentnies¡przedmiotembada«matematyków.Chodzituoliczby,funkcje,ﬁgurygeo-

metryczne,czyogólniezbiory.Zapodstawowepoj¦ciewmatematyceuznajesiewła±niepoj¦cie

zbioru.Tegopoj¦cianiedeﬁniujesi¦formalnie,jesttotakzwanepojeciepierwotne,którego

znaczenieprzedstawiasi¦opisowoodnosz¡csi¦dointuicji.

Koncepcjazbioruwmatematycewyra»asi¦wstwierdzeniu,»ezbiórjestpewnymobiektem,

któryalbonicniezawieratoznaczynienale»¡doniego»adneelementyalbozawierajakie±

elementy,któretote»mog¡hierarchicznieskłada¢si¦zjaki±elementówi.t.d.

Jestrzecz¡podstawowejwagibyrozró»ni¢dwapoj¦cia-pojeciepierwotnenale»eniaelementu

dojakiego±zbiorualboinaczejbyciaelementemzbioru,odpoj¦ciainkluzjiczyliinaczejzawierania

si¦jednegozbioruwdrugimlubinaczejbyciapodzbioremzbioru.

Sensstwierdzenia,»ejaki± x nale»ydozbioru X toznaczy,»e x jestelementemzbioru X

uznajemyzapowszechniezrozumiały.Wtymsensiepoj¦cienale»eniaelementudozbioruuznajemy

zapierwotne.Powszechnieu»ywasi¦zapisu

x 2 X

cooznacza, x nale»ydo X .

Woparciuotopoj¦ciepierwotneipojecieimplikacjiokre±li¢mo»emypoj¦ciezawieraniasi¦

zbiorówtoznaczyinkluzjizbiorów.

Zbiór A jestzawartywzbiorze B cooznaczamy A B w.t.wgdyprawd¡jest,»e

( x 2 A ) ) ( x 2 B ) .

Zbiór A zawartywzbiorze B nazywamyjegopodzbiorem.Wszczególno±cika»dyzbiórjestswoim

własnympodzbiorem.Takipodzbiór,któryjestró»nyodcałegozbiorunazywamypodzbiorem

wła±ciwym.Nawiasyklamrowe { oraz } oznaczaj¡wzapisiepocz¡tekikonieclistyelementów

danegozbioru.Niech A b¦dziezbioremdwóchelementów A = { a,b } .Zbiórktóregojedynym

elementemjest a ,czyli { a } jestzawartywzbiorze A ,cozapisujemyjako

{ a } A.

Ka»dyzbiórzawartywdanymzbiorzenazywamyjegopodzbiorem.Widzimy,»e a 6 = { a } bo a 2 A

inieprawda,»e a A oraz { a } A .

J¦zykpotocznyniestetyniejesttuprecyzyjny.Zpunktuwidzeniamatematykijestniepoprawne

stwierdzenie,»eliczba2zawierasi¦wzbiorzeliczbparzystych.Powiemypoprawnie,»eliczba2

nale»ydozbioruliczbparzystych.Natomiastzbiór,któregojedynymelementemjestliczba2jest

zawartywzbiorzeliczbparzystych.

Naprzykładpodwzgl¦demadministracyjnym!Polskarozumianatujakozbiórnieskłada

si¦zgmintylkozwojewództw,tezkoleizpowiatów(pomijamyrozró»nienienapowiatyziemskie

igrodzkie)wskładktórychwchodz¡dopierogminy.Danagminanale»ydookre±lonegopowiatu

apowiatdowojewództwa.Sprawdanejgminyniezałatwiasi¦wedługzwykłychprocedurna

posiedzeniurz¡dutylkowurz¦dziepowiatowym.Podkre±lmy,»eu»ycieokre±lenia”Polskaskłada

si¦zgmin”jestzrozumiałeoilejasnyjestkontekstwypowiedzi,mo»ejednakprowadzi¢do

nieporozumie«.

2.1Matematykajestnauk¡aksjomatyczn¡

Poj¦ciapierwotnes¡niezb¦dneabywprowadzi¢podstawyteoriiuj¦tewpostaciaksjomatów.

Zapomoc¡aksjomatówpostulujesi¦istnieniepewnychzbiorówiwprowadzasi¦ichwłasno±ci

podstawowe.Posta¢tychaksjomatówzostałazaakceptowanaprzezzdecydowan¡wi¦kszo±¢mate-

matyków.Aksjomatylubinaczejpewnikitozdania,którychprawdziwo±¢godzimysi¦przyj¡¢bez

dowodu.Dopracowaniekoncepcjizbioruipodstawmatematykidokonałosi¦dopierowpierwszej

połowieXXwramachlogikiidyscyplinymatematykizwanejteori¡mnogo±ci.Przedewszystkim

aksjomatyniemog¡by¢wzajemniesprzeczne,alecowi¦cejjakiekolwiektwierdzeniewmate-

matyceniemo»eby¢sprzecznez»adnymzaksjomatówteoriimnogo±ci,tzn.niemo»eby¢ono

równowa»nezezdaniemb¦d¡cymzaprzeczeniemktórego±zaksjomatów.

Wartotupodkre±li¢ró»nic¦pomi¦dzynaukamiaksjomatycznymitakimijakmatematykalub

logikaoraznaukamiprzyrodniczymitakimijakbiologiaczyﬁzyka.Poj¦ciapodstawowetakie

jakgenlubmaterias¡wci¡»przedmiotemgruntownychbada«.Wtejczyinnejteoriiwramach

biologiilubﬁzykiprzyjmujesi¦deﬁnicjetychpoj¦¢takabywogólemo»nabyłosi¦nimiwmiar¦

precyzyjnieposługiwa¢.Takiedeﬁnicjeniemaj¡jednakrangiabsolutnychpewników,naktórych

podstawiemo»nabudowa¢dalszeteorietakjakwmatematyce.Tepoj¦ciawyznaczaj¡dopiero

kierunkibada«.Jeszczenietakdawnowydawałosi¦,»ecałamateriaskładasi¦zpodstawowych

elementówneutronów,protonówielektronów.Odkryciaﬁzykiostatniegopółwieczazaprzeczaj¡

temustwierdzeniugdy»wykazanoistnieniejeszczebardziejpodstawowychskładnikówneutronów

iprotonówmianowiciekwarków.Ostatecznaodpowied¹napodstawowepytaniecotojestmateria

jestwci¡»nieznana.

Podobniewbiologiiniemajeszczepowszechnieprzyj¦tejdeﬁnicjitegoconazywamy»yciem.

Dodajmytak»e,»enaukiprzyrodniczekorzystaj¡zmatematykiistymuluj¡jejrozwójalenie

próbuj¡jejna±ladowa¢gdy»innes¡zasadydzi¦kiktórymnowetwierdzeniaprzył¡czasi¦doju»

zaakceptowanejwiedzy.Wnaukachprzyrodniczychnapodstawienowychfaktówiju»przyj¦tych

poj¦¢proponujesi¦twierdzenia(hipotezy)maj¡cewyja±ni¢przebiegokre±lonychprocesów,awi¦c

zdaniastwierdzaj¡ce,»eprzydanychwarunkachprzebiegdanegoeksperymentulubobserwacji

winienda¢takiatakirezultat.

Je±linieudajesi¦takiegoopublikowanegotwierdzenia(hipotezy)obali¢zapomoc¡ekspe-

rymentówlubobserwacjitojegotre±¢poszerzazakreswiedzynadanymetapierozwojudanej

dyscyplinynaukprzyrodniczych.Dzi¦kinp.rozwojowimetodpomiarowychmo»esi¦popewnym

czasieokaza¢»edanetwierdzenietrzebazmodyﬁkowa¢albowr¦czodrzuci¢.Topoci¡gadalsze

badaniai.t.d.Zewzgl¦dunato,»etwierdzeniagłoszonewobr¦bienaukprzyrodniczychniemaj¡

charakteruprawdostatecznychzakreswiedzynimiobj¦tyjestdynamicznyinieprzypominagma-

chu,którywznosisi¦cegiełkapocegiełce.Wci¡»niektórecegiełkis¡usuwaneiwstawianenowe.

Zmatematyk¡jestinaczej.Pomi«my,sk¡din¡dciekawerozwa»ania,sk¡dsi¦bior¡twierdze-

niamatematyczneidlaczegozawieraj¡tak¡anieinn¡tre±¢.Noweopublikowanetwierdzenie

matematyczne,którezostałobezbł¦dnieudowodnionejestprawdziwebezwarunkowoistajesi¦

cz¦±ci¡wiedzymatematycznej.Dowódmauzasadni¢,»etezatwierdzeniawynikazjegozało»e«i

całejwcze±niejszejwiedzymatematycznej,zaksjomatamiwł¡cznie.Dozagadnie«tegotypupo-

wrócimywdalszejcz¦±cikursupo±wi¦conejmodelommatematycznym.Tymcoł¡czybadania

matematyczneiprzyrodniczejestrolaczynnikaoceny-badaniamog¡by¢ciekawelubnie,mar-

ginalnealboistotne.Okre±leniatemaj¡charakterwzgl¦dny,coniepowinnonikogodziwi¢gdy»

nauk¦tworz¡ludzie.

Wuproszczeniumo»nastwierdzi¢,»ematematykazajmujesi¦badaniemwłasno±ciró»nych

zbiorów,którezostałyzjaki±powodówzdeﬁniowanenp.kwadratu,dwunasto±cianuforemnego,

zbioruliczbnaturalnych.Przedmiotembadaniamatematykimo»eby¢te»okre±leniezbioruroz-

wi¡za«jakiego±równania,którewyprowadzonoabyopisa¢jaki±procesﬁzyczny,biologicznylub

ekonomiczny.Dodatkowodomatematykinale»ywskazaniejaktakierozwi¡zanieznale¹¢.Je±li

mo»liwejesttotylkoprzyu»yciukomputeratowtedydobrzeabyznale¹¢jeszybkoitanio.

Zwi¡zekpomi¦dzymatematyk¡inaukamiprzyrodniczymijestzdumiewaj¡cy.Wiadomo,»e

prawaﬁzykiujmujesi¦matematycznieinapewnoﬁzykamiałaimaogromnywpływnarozwój

matematykiwci¡guostatnich250lat.Ostatnionowewyzwaniastawiabiologiainaukispołeczne.

Zdrugiejstronyznajdujesi¦zaskakuj¡cezastosowania”czystejmatematyki”np.zastosowania

algebrywkryptologii.

2.2Aksjomaty-pewniki

Zwró¢mytuuwag¦naniektóreaksjomatyteoriimnogo±ciznanejakosystemZermelo-Fraenklaz

1905roku(patrznp.[36]str.307).Wi¦kszo±¢aksjomatówustanawia,jakbydekretuje,istnienie

pewnychzbiorów.Pierwszyzaksjomatówwyró»niajedenzbiórzwanyzbiorempustymgłosz¡c,

»eistniejezbiór,któryniezawiera»adnychelementów.Wyró»nienieka»degoinnegozbiorubyłoby

sporne,azbiórpustymawpewnymsensieminimalnyzbiórcech.

A1 Istniejezbiórpustyozn. ; toznaczytakizbiór,»e

¬ ( 9 xx 2; )

Cowi¦cejzdeﬁnicjiinkluzjizbiorówideﬁnicjiimplikacjiwynika,»ezbiórpustyjestzawarty

wdowolnymzbiorze,gdy»poprzednikimplikacji

x 2;) x 2 A

jestzdaniemfałszywym,zatemimplikacjatajestprawdziwa,awi¦cjakikolwiekzbiór A zawiera

zbiórpusty.

A2 Istniejezbiórzwanyzbiorempot¦gowymzbioru A .

Składasi¦onzewszystkichpodzbiorówzbioru A .ZaksjomatówA1iA2wynika,»emamyzatem

ju»przynajmniejdwazbiory,zbiórpustyizbiórjednoelementowy,któregojedynymelementemjest

zbiórpusty,mianowiciezbiórpot¦gowyzbioru ; czyli {;} .Jakzobaczymydalejtostwierdzenie

dajepodstaw¦dozbudowaniazbioruliczbnaturalnych.Zbiórwszystkichpodzbiorówzbioru A

oznaczasiejako P ( A ).Je±li A = { a,b } to

P ( A )= {; , { a } , { b } , { a,b }}

Wprzypadkuzbiorów,którychwszystkieelementymo»emywymieni¢pokoleiistnieniezbioru

wszystkichpodzbiorówniebudziw¡tpliwo±ci.Jesttojednakprzypadekszczególny.Kolejnyak-

sjomatpozwala,przezzaprzeczenie,stwierdzi¢kiedydwazbiorys¡ró»ne.

A3 Równo±¢zbiorów

A = B w.t.w.gdy 8 ( x 2 A ) x 2 A , ( x 2 B )

Kolejnyaksjomatmówi,»eistniej¡zbiorywprowadzonezapomoc¡funkcjizdaniowych.Umo»liwia

onokre±laniezbiorównietylkopoprzezwyliczanieichelementów,cowwieluprzypadkachniejest

mo»liwe.

A4 Dladowolnegozbioru A ifunkcjizdaniowej ' istniejezbiórtakich x 2 A dlaktórychzachodzi

' ( x )cozapisujesi¦nast¦puj¡co

{ x 2 A : ' ( x ) } .

Znak”:”czytamyjako”takich,»ezachodzi”lub”dlaktórychzachodzi”.

Np.je±lizbiórliczbnaturalnych,októrymmowawRozdz.2.4,oznaczymyprzezINtopisz¡c

{ x 2 IN: x 2 2 IN } okre±lamyzbiórliczbparzystych.Zaznaczmy,»ezbiórwprowadzonyzapomoc¡

tegoaksjomatumo»eby¢wkonkretnymprzypadkuzbiorempustymnp.niech A = { a,b } ,wtedy

zbiór { x : x 2 A i x 2P ( A ) } jestzbiorempustym.

A5 Aksjomatregularno±ci.

Wka»dymniepustymzbiorze A jestelement B taki,»e A i B s¡rozł¡czne.

Wynikazniegowa»nywniosek.Dladowolnego a , { a }6 = a ,bobior¡c A = { a } stwierdzamyna

mocytegoaksjomatu,»eistniejeelement B wtymprzypadkurówny a ,botojedynyelement

zbioruAitaki,»e a 6 = A.

Aksjomatyczniewprowadzasi¦tak»eistnieniezbiorów:sumy,przeci¦ciaiproduktuzbiorów.

S¡toaksjomatyokre±laj¡cenaturalneoperacjektórewykonujemynazbiorach

2.3Operacjenazbiorach

1.SumazbiorówSum¡zbioru A izbioru B nazywasi¦zbióroznaczanyjako A [ B któryskłada

si¦ztychelementów,którenale»¡dozbioru A lubdozbioru B cozapisujemynast¦puj¡co

x 2 A [ B , ( x 2 A ) _ ( x 2 B ) .

Rys.2.1.Sumazbiorów

2.Przeci¦ciezbiorów(inaczejcz¦±¢wspólnaalboiloczynzbiorów)Przeci¦ciemzbiorów

A i B nazywasi¦zbióroznaczanyjako A \ B ,któryskładasi¦ztychelementów,którenale»¡do

zbioru A idozbioru B cozapisujemynast¦puj¡co

x 2 A \ B , ( x 2 A ) ^ ( x 2 B )

Rys.2.2Przeci¦ciezbiorów

3.Ró»nicazbiorówDladanychzbiorów A i B ró»nic¡zbiorówozn.jako A \ B jestzbiórtych

wszystkichelementówzezbioru A ,którenienale»¡dozbioru B ,czyli

x 2 A \ B , ( x 2 A ) ^ ( x/ 2 B )

Rys.2.3Ró»nicazbiorów

Produktkartezja«skizbiorówew.iloczynkartezja«skizbiorówDladowolnychdwóch

zbiorów A i B istniejezbiórwszystkichuporz¡dkowanychparozn. A × B ,którynazywasi¦

produktemkartezja«skimlubiloczynemkartezja«skimzbiorów,

A × B = { ( a,b ): a 2 A,b 2 B } .

Cz¦stodlaskrótuu»ywasi¦poprostuokre±leniaproduktzbiorów.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: