Andrzej Wiśniewski - Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań.pdf - Logika - abi77

Andrzej Wiśniewski

Logika II

Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki

rok akademicki 2007/2008

Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych

modalnych rachunków zdań

Struktury modelowe

Przedstawimy teraz pewien wariant semantyki typu Kripkego (zwa-

nej też semantyką światów możliwych , lub semantyką relacyjną ) dla

normalnych modalnych rachunków zdań (zob. poprzedni wykład).

Podstawowym pojęciem będzie struktura modelowa (ang. frame ).

Definicja 10.1. Strukturą modelową n azywamy dowolną parę uporządko-

waną < W , R >, gdzie W jest niepustym zbiorem , natomiast R jest binar-

ną relacją w W .

Terminologia. Gdy < W , R > jest strukturą modelową, to zbiór W nazywamy zbio-

rem światów możliwych ( ang. possible worlds ), natomiast relację R nazywamy

relacją alternatywnośc i lub relacją dostępności ( ang. alternativeness , accessi-

bility ).

Komentarz : Zapraszam na wykład :)

Terminologia. Napis wRw * czytamy „ świat w * jest alternatywny względem świa-

ta w ” lub „ świat w* jest dostępny ze świata w ”.

Wartościowanie na strukturze modelowej

Kolejne pojęcie to wartościowanie określone na strukturze modelowej.

Definicja 10.2. Niech < W , R > będzie strukturą modelową . Wartościowaniem

określonym na strukturze modelowej < W , R > nazywamy dowolną funkcję V ,

której argumentami są formuły języka MRZ i elementy zbioru W , natomiast

wartościami – prawda 1 i fałsz 0 , spełniającą następujące warunki:

(1) dla dowolnej zmiennej zdaniowej p i , dla każdego w ∈ W : V ( p i , w ) = 1

lub V ( p i , w ) = 0 ;

(2) dla dowolnej formuły A języka MRZ, dla każdego w ∈ W : V ( ¬ A , w ) = 1

wtw V ( A , w ) = 0 ;

(3) dla dowolnych formuł A, B języka MRZ, dla każdego w ∈ W :

• V ( A ∧ B , w ) = 1 wtw V ( A , w ) = 1 oraz V ( B , w ) = 1 ;

• V ( A ∨ B , w ) = 1 wtw V ( A , w ) = 1 lub V ( B , w ) = 1 ;

• V ( A → B , w ) = 1 wtw V ( A , w ) = 0 lub V ( B , w ) = 1 ;

• V ( A ↔ B , w ) = 1 wtw V ( A , w ) = V ( B , w );

(4) dla dowolnej formuły A języka MRZ, dla każdego w ∈ W :

• V ( ◊ A , w ) = 1 wtw istnieje w* ∈ W takie, że wRw* oraz V ( A , w* ) = 1 ;

• V ( □ A , w ) = 1 wtw dla każdego w* ∈ W takiego, że wRw* : V ( A , w* ) = 1 .

Modele Kripkego (modele relacyjne)

Możemy teraz określić pojęcie modelu Kripkego, zwanego też modelem

relacyjnym.

Definicja 10.3. Modelem Kripkego nazywamy trójkę uporządkowaną

< W , R , V >, gdzie < W , R > tworzy strukturę modelową , natomiast V jest

wartościowaniem określonym na strukturze modelowej < W , R >.

Uwaga: Interesują nas tutaj wyłącznie normalne modalne rachunki zdań i mo-

dele Kripkego dla tych rachunków. Semantyki „typu Kripkego” istnieją także

dla innych modalnych rachunków zdań, z tym, że w tych semantykach nieco

inaczej należy określić pojęcie modelu i/lub pewne dalsze pojęcia semantycz-

ne. Modele takie są jednak również nazywane „modelami Kripkego”. Należy

zatem pamiętać, że pojęcia modelu Kripkego używamy tutaj w jednym z jego

możliwych znaczeń, związanym z rozpatrywaną klasą logik.

Terminologia. Gdy < W , R > jest strukturą modelową, a V jest wartościowaniem

określonym na tej strukturze modelowej, to powiemy, że model Kripkego

< W , R , V > jest modelem Kripkego opartym na strukturze modelowej < W , R >.

Prawdziwość formuły w świecie danego modelu i w modelu

Terminologia. Dalej zamiast „model Kripkego” będziemy mówili po prostu „mo-

del” (zawsze jednak rozumiejąc to pojęcie w sensie definicji 10.3). Podobnie

mówiąc o formułach, będziemy mieli zawsze na myśli formuły języka MRZ .

Pod pojęciem światów modelu M = < W , R , V > rozumiemy elementy zbioru W .

Tak więc w jest światem modelu M = < W , R , V > wtw w ∈ W . Analogicznie ro-

zumiemy pojęcie świata struktury modelowej < W , R >.

Definicja 10.4. Mówimy, że formuła A jest prawdziwa w świecie w modelu

< W , R , V > wtw V ( A , w ) = 1 .

Definicja 10.5. Mówimy, że formuła A jest prawdziwa w modelu < W , R , V >

wtw formuła A jest prawdziwa w każdym świecie modelu < W , R , V >.

To, że formuła A jest prawdziwa w modelu M = < W , R , V >, zapisujemy:

M ╞ A .

Andrzej Wiśniewski - Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: