współrzędne biegunowe.pdf

Wydział:WILi,BudownictwoiTransport,sem.2

drJolantaDymkowska

Uogólnionewspółrz¦dnebiegunowe

Niech a i b b¦d¡stałymidodatnimi.Współrz¦dne( r,' ),dlaktórychzwi¡zkizewspółrz¦dnymi

kartezja«skimi( x,y )s¡danewzorami:

(

x = ar cos ' r 2 [0 , + 1 )

y = br sin ' ' 2 [0 , 2 ]

nazywamy uogólnionymiwspółrz¦dnymibiegunowymi .

Przykład Równanieelipsyopółosiach a i b

b 2 =1

zapisa¢wuogólnionychwspółrz¦dnychbiegunowych.

Rozwi¡zanie: Dorównaniaelipsy x 2

a 2 + y 2

b 2 =1wstawiamyzale»no±ci x = ar cos ' i

y = br sin ' :

a 2 + b 2 r 2 sin 2 '

b 2 =1

r 2 cos 2 ' +sin 2 ' =1

r 2 =1 .

Zatemrównanieelipsyopółosiach a i b wuogólnionychwspółrz¦dnychbiegunowych(zestałymi

a i b )maposta¢: r =1dla ' 2 [0 , 2 ).

Przekształcenie

( r,' ) −! ( x ( r,' ) ,y ( r,' ))

gdzie

x ( r,' )= ar cos ' y ( r,' )= br sin '

nazywamy uogólnionymprzekształceniembiegunowym .

Jakobianuogólnionegoprzekształceniabiegunowegojestrówny:

@r ( r,' ) @x

@' ( r,' )

a cos ' − ar sin '

b sin ' br cos '

J ( r,' )=

@r ( r,' ) @y

@' ( r,' )

abr cos 2 ' + abr sin 2 ' = abr.

Całkapodwójnawuogólnionychwspółrz¦dnychbiegunowych

TwierdzenieNiechobszar D 0 danywuogólnionychwspółrz¦dnychbiegunowych(zestałymi

a i b )b¦dzieregularnyorazniechfunkcja f ( x,y )b¦dzieciagłanaobszarze D b¦d¡cymobrazem

D 0 wuogólnionymprzekształceniubiegunowym.Wówczas

x 2

a 2 r 2 cos 2 '

f ( x,y ) dxdy =

f ( ar cos ',br sin ' ) · abrdrd'.

D 0

Przykład Stosuj¡cuogólnionewspółrz¦dnebiegunoweobliczpoleobszarupłaskiegoograniczonego

elips¡opółosiach a i b .

Rozwi¡zanie: Zpoprzedniegoprzykładuwiemy,»eelipsaopółosiach a i b mawuogólnionych

współrz¦dnychbiegunowych(zestałymi a i b )równanie r =1dla ' 2 [0 , 2 ).St¡dwprowadzaj¡c

uogólnioneprzekształceniebiegunowemamy:

(

0 6 ' 6 2

0 6 r 6 1

D − D 0 :

Zatempoleobszaru D ograniczonegoelips¡opółosiach a i b jestrówne:

1 Z

|D| =

dxdy =

abrdrd' =

A ·

abrdr

A =

D 0

2 r 2

2 · ab

r =1

= ab.

r =0

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: