Ściskanie słupów prostych.pdf

(140 KB) Pobierz
Microsoft Word - WYBOCZ.DOC
ŚCISKANIE SŁUPÓW PROSTYCH
1
1. ANALIZA SŁUPA MIMOŚRODOWO ŚCISKANEGO
ZADANIE : przeanalizować zachowanie słupa wolnopodpartego mimośrodowo ściskanego siłą P
(obciążenie konserwatywne). Mimośród e mierzony jest od środka ciężkości przekroju do linii
działania siły P.
P
Mx Pe wx
( )
=
[
+
( )
]
e
M,w
EIw x
( )
=−
M x
( )
=−
P e w x
[
+
( )
]
x
k
2
def
P
EI
w
L
wx kwx ke
( )
+
2
( )
= −
2
wx w x w x
( )
=
oRJ
( )
+
sRN
( )
P
e
wx
oRJ
( )
=
Ckx C kx
1
sin
+
2
cos
wx
sRN
( )
=−
e
wx C kx C kx e
( )
=
1
sin
+
2
cos
warunki brzegowe dla wyznaczenia stałych całkowania C 1 i C 2
(
wx
==
00
)
;
wx L
(
==
)
0
Ce
=
;
Ce
=
1
cos
sin
kL
kL
=
e
tan
kL
2
1
2
wx e
( )
=
tan
kL
sin
kx
+
cos
kx
1
2
wwx
=
=
L
=
e
sec
kL
1
2
2
P
P kr
e=0
e 1
we
=
sec
kL
1
max
e 2
2
e 3
k
=
P
EI
e 3 > e 2 > e 1
w max
=
max
180838567.006.png
ŚCISKANIE SŁUPÓW PROSTYCH
2
związek w max z siłą P jest nieliniowy, mimo że wykorzystano zlinearyzowane równanie linii
ugięcia (zlinearyzowany wzór na krzywiznę), jak również liniowy związek fizyczny (w oparciu o
niego otrzymano równanie linii ugięcia). Jest to wynikiem „sprzężenia” momentu zginającego z
ugięciami (moment zginający nie da się określić bez znajomości ugięć). Mówiąc inaczej - jest to
wynik odstępstwa od zasady zesztywnienia (mówi ona, że wpływ przemieszczeń na wielkości
sił przekrojowych jest pomijalny)
ugięcie rośnie nieograniczenie, gdy siła zmierza do pewnej wartości, którą nazwano siłą
krytyczną P kr .
w
→ ∞ ⇔
cos
kL
0
max
2
kL n
=
n
=
13 5
, , ....
22
2
EI
2
EI
Pn
=
2
P
=
kr
L
2
L
2
jeżeli mimośród e=0, ugięcie w max wynosi:
dla skończonej i dodatniej wartości
sec
kL
czyli
kL
<
;
w
=
0
max
2
22
dla
kL
=
czyli P P
=
;
w
max jest nieokreślone i możeprzyjmować dowolną wartość
kr
22
Tak długo, jak P<P kr pręt zachowuje się w sposób „stateczny”, tzn. znajduje się w stanie
początkowej równowagi prostoliniowej. Wówczas, gdy siła osiągnie wartość krytyczną P kr pręt
traci stateczność (ulega wyboczeniu), a jego ugięcia mogą być dowolnie duże.
Wyboczenie jest to zatem utrata przez ściskany pręt stanu równowagi statecznej na rzecz
równowagi obojętnej lub niestatecznej .
P < P kr
P
P kr
P > P kr
równowaga
stateczna
równowaga
obojętna
równowaga
niestateczna
1
180838567.007.png 180838567.008.png 180838567.009.png
ŚCISKANIE SŁUPÓW PROSTYCH
3
1.1. Naprężenie w słupie z odstępstwem od zasady zesztywnienia
w
z
P
x
P
M
y
e
e
x
P
Me
=
sec
kL
max
2
max
=− −
P
A
M
max
z
max
=
P
A
+
1
Ae
W
sec
LP
EI
I
2
( I człon opisuje osiowe ściskanie pręta, zaś drugi - zginanie słupa )
max
=
P
A
1
+
Ae
W
sec
L
r
P
EA
<
R
naprężenie maksymalne przy wykorzystaniu zasady zesztywnienia (postępowanie
analogiczne, jak w przypadku mimośrodowego rozciągania)
max
=− −
P
A
M
max
z
max
=− −
P
A
Pe
I
z
=
P
A
1
Ae
W
<
R
I
Przykład liczbowy
Obliczyć nośność pręta ściskanego P, wykonanego z dwuteownika 120, o długości L=5 m.
y
I
x
=×
328 10
84
m
A
=
14 2 10
.
×
42
x
E
=
210
Pa
R
=
200
MPa
e
=
005
.
m
Rozwiązanie:
bez zasady zesztywnienia (teoria II rzędu)
P
II
=
91.
kN
z zasadą zesztywnienia
P
I
=
123 .
kN
P = 26 %
2. SIŁA KRYTYCZNA DLA SŁUPA
2.1. Zakres liniowo sprężysty
analizowany jest tzw. słup idealny , tzn. idealnie prosty i obciążony centralnie przyłożoną siłą
ściskającą P
materiał słupa jest liniowo sprężysty (materiał Hooke’a)
2
+
max
m
180838567.001.png
ŚCISKANIE SŁUPÓW PROSTYCH
4
pręt swobodnie podparty
P
Mx Pwx
( )
=
kr
( )
( )
( )
( )
M,w
EIw x
=−
M x
=−
P w x
kr
x
def
P
EI
k
2
=
kr
wx kwx
( )
+
2
( )
=
0
w
L
wx A kxB kx
( )
=
sin
+
cos
wx
(
==
00
)
⇒
B
=
0
wx L
(
==
)
0
⇒
0
=
A kL
sin
P
kL n
=
;
n
=
12 3
, , .....
wx A
( )
=
sin
nx
L
P
EI
=
n
L
⇒
P
kr
=
nI
L
22
2
(
)
2
EI
minP
=
P n
=
1
=
P
=
kr
kr
E
L
2
pręt wspornikowy
f
Mx
( )
=−
P f wx
kr
[
( )
]
P kr
M,w
EIw x
( )
=−
M x
( )
x
k
2
def
=
P
EI
kr
w
wx A kxB kx f
( )
=
sin
+
cos
+
L
wx
(
==
0
)
f
⇒
B
=
0
wx L
(
==
)
0
⇒
0
=
A kL f
sin
+
wxL
(
==
)
0
⇒
0
=
kA kL
cos
kL n
=
π 2
;
n
=
13 5
, , .....
P
EI
=
n
⇒
P
kr
=
nI
L
22
2
2
L
( )
2
(
)
EI
L
minP P n
=
= =
1
P
=
kr
kr
E
( )
2
2
kr
kr
2
180838567.002.png 180838567.003.png
ŚCISKANIE SŁUPÓW PROSTYCH
5
ogólna postać siły krytycznej (siły Eulera 1707-1783)
L
L
L
L
długości wyboczeniowe L w
L w = L
L w = 2 L
L
w
1
2
L
L
w
=
1
2
L
== π
2
EI
L
min
PP
kr
E
2
w
podstawowe zasady kształtowania słupów
¬ siła krytyczna , jako obciążenie powodujące wyboczenie słupa (z reguły wyboczenie oznacza
utratę przez konstrukcję zdolności do prawidłowej pracy), powinna być jak największa
¬ siła krytyczna jest proporcjonalna do sztywności giętnej słupa E I min i odwrotnie proporcjonalna
do długości wyboczeniowej L w - tak więc zwiększenie siły P kr może nastąpić jedynie w
drodze odpowiedniego ukształtowania przekroju poprzecznego lub/i schematu
statycznego słupa. Nie zwiększa siły krytycznej zastosowanie materiału o bardzo wysokiej
wytrzymałości !
¬ w przypadku słupów przez odpowiednie ukształtowanie przekroju rozumie się taki dobór
jego geometrii, który z określonej ilości materiału pozwala uzyskać przekrój o
maksymalnej sztywności , czyli maksymalnym momencie bezwładności. Można to osiągnąć
poprzez rozmieszczenie materiału tak daleko od środka ciężkości przekroju, jak to tylko
możliwe.
Przykład.
Pole przekroju słupa ma wynosić A=50 cm 2 . Porównać siły krytyczne dla słupa o przekroju
prostokątnym, kołowym i rurowym.
h
hb k
=
;
k
>
1 ; A k b
=
2 ; I
=
hb
3
=
A
2
min
b
12 12
k
R
AR I
2
;
=
R
4
; R
=
3989
.
cm
; I
=
198 944
.
cm
4
4
k
=
R
r
;
ARr
=
(
22
)
r
2 2
2
R
r
1
=
rk
( )
1
r
R
I
=
(
Rr
44
)
44
( )
1
4
4
=
22
=
=
r k
180838567.004.png 180838567.005.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin