A.pdf

(238 KB) Pobierz
PRZEDMOWA
Doda-
tek
A
ROZWIĄZANIE UKŁADU RÓWNAŃ LINIOWYCH ALGEBRAICZNYCH
1
ROZWIĄZANIE UKŁADU RÓWNAŃ LINIOWYCH ALGEBRAICZNYCH
A.
staci
W literaturze cytuje się wiele metod numerycznego rozwiązywania układów równań liniowych o po-
A =
⋅
X
B
(A.1)
Niektóre z nich są szczególnie nakierowane na szybkość operacji, najmniejszą zajętość pamięci, wykorzystu-
ją też dodatkowe cechy macierzy współczynników A , takie jak symetria czy pasmowość. Spośród tych wielu
dostępnych w literaturze procedur omówimy jedną, tzw. metodę rozkładu trójkątnego macierzy Choleskiego
- Banachiewicza. Metoda ta jest z powodzeniem stosowana dla macierzy A symetrycznych i dodatnio okre-
ślonych, a z takimi właśnie macierzami mamy do czynienia w zadaniach metody elementów skończonych
dotyczących liniowej analizy statycznej konstrukcji sprężystych. Macierz A można rozłożyć na dwie macie-
rze w ten sposób, by
A
= ,
U
T ⋅
U
(A.2)
gdzie U jest górną macierzą trójkątną. Macierz A można także rozłożyć do postaci
A
=
U
T
⋅
D
⋅
U
(A.3)
zwanej postacią zmodyfikowaną metody Choleskiego. U jest górną macierzą trójkątną z jedynkami na głów-
nej przekątnej. Symbol D reprezentuje macierz diagonalną, zawierającą kwadraty składowych diagonalych
macierzy U . Równania rekurencyjne U ij ., i D ij .., generowane kolumnami dla j=2,3,...,n , dają
= −
=
1
i
1
U
⋅
A
−
D
U
U
,
(1<i<j)
ij
D
ij
kk
ki
kj
ii
k
1
(A.4)
D ∑ −
=
j
1
2
jj
=
A
jj
−
D
kk
U
kj
(1<i=j)
k
1
Obydwa te równania zawierają wyrażenie D kk , .U kj . pod znakiem sumy.Jeżeli podstawimy :
U
kj =
*
D
kk
U
kj
,
(A.5)
wówczas
ij −
=
i
1
U
*
=
A
ij
−
D
kk
U
ki
U
kj
*
(1<i<j)
(A.6)
k
1
jj ∑ −
=
j
1
D
=
A
jj
−
U
kj
⋅
U
kj
*
(1<i=j)
k
1
gdzie j=2,3,...,n, oraz
(A.7)
1
U
kj =
U
*,
kj
D
kk
Zatem dla kolumny j osiąga się chwilowy wynik na U ij . dla każdej składowej spoza głównej diagonali we-
dług (A.6). Dalej na podstawie (A.6) oblicza się wyraz diagonalny D jj ., i równocześnie końcową wartość
każdego składnika poza główną przekątną.
Załóżmy, że chcemy rozwiązać układ równań liniowych typu
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
269457838.001.png
Doda-
tek
A
ROZWIĄZANIE UKŁADU RÓWNAŃ LINIOWYCH ALGEBRAICZNYCH
2
A =
⋅
X
B
(A.8)
w którym X jest kolumną n niewiadomych, zaś B jest wektorem stałych. Podstawmy (A.3) do (A.8):
U T
D
⋅
U
⋅
X
=
B
,
(A.9)
a podstawiając
U =
⋅
X
Y
(A.10)
oraz
D =
⋅
Y
Z
(A.11)
otrzymujemy układ
U T
⋅ .
Z
=
B
(A.12)
Teraz wektor niewiadomych X otrzymujemy w trzech krokach :
1. Ponieważ U jest dolną macierzą trójkątną, elementy wektora Z otrzymamy w procesie podstawienia
w przód :
−
=
i
1
Z
i
=
B
i
−
U
ki
Z
k
(1<i) .
(A.13)
k
1
2. Macierz D jest diagonalna, więc
Y
i = (1=1,2,…,n) .
Z
i
,
(A.14)
D
ii
3. W trzecim kroku znajdujemy wektor X, stosując podstawienie odwrotne (rozpoczynając od ostatniej
niewiadomej):
∑ +
n
X
i
=
Y
i
−
U
ik
X
k
(i<n)
(A.15)
k
=
i
1
Przykład
Posługując się metodą zmodyfikowaną Choleskiego, spróbujemy rozwiązać następujący układ równań li-
niowych typu
A·X= B
200
−
200
0
x
1
15
−
200
700
−
200
⋅
x
=
30
2
0
−
200
700
x
30
3
Dokonujemy rozkładu macierzy współczynników A na trzy macierze (A.3), korzystając z zależności (A.4).
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
269457838.002.png 269457838.003.png
Doda-
tek
A
ROZWIĄZANIE UKŁADU RÓWNAŃ LINIOWYCH ALGEBRAICZNYCH
3
Kolejno otrzymujemy :
D
11
=
A
11
=
200
.
00
U
11
=
1
00
U
=
1
(
A
)
=
1
0
=
0
00
12
D
12
200
11
U
=
1
(
A
)
=
1
0
=
0
00
13
D
13
200
11
U
22
=
1
00
D
=
A
−
D
U
2
=
400
−
200
=
200
.
00
22
22
11
11
U
=
1
(
A
−
D
U
U
)
=
1
(
−
200
−
200
(
−
1
)(
0
)
=
−
1
00
23
D
23
11
12
13
200
23
D
=
A
−
D
U
2
−
D
U
2
=
400
−
200
⋅
0
2
−
200
⋅
(
−
1
)
2
=
200
.
00
33
33
11
13
22
23
Macierz A można więc przedstawić w postaci :
1
0
0
200
0
0
1
−
1
0
T
A
=
U
⋅
D
⋅
U
=
−
1
1
0
⋅
0
200
0
⋅
0
1
−
1
0
−
1
1
0
0
200
0
0
1
Teraz już łatwo rozwiążemy układ równań, stosując (A. 13), (A. 14) i (A. 15):
Z
1
=
B
1
=
15
,
Z
2
=
B
2
−
U
12
Z
1
=
30
−
(
−
1
)
⋅
15
=
45
,
Z
3
=
B
3
−
U
13
Z
1
−
U
23
Z
2
=
30
−
(
0
)
⋅
15
−
(
−
1
)
⋅
45
=
75
,
Y
=
Z
1
=
15
=
0
075
,
1
D
200
11
Y
=
Z
2
=
45
=
0
225
,
2
D
200
22
Y
=
Z
3
=
75
=
0
375
,
3
D
200
33
i w końcu
X
3
=
Y
3
=
0
375
,
X
2
=
Y
2
−
U
23
X
3
=
0
225
−
(
−
1
)
⋅
0
375
=
0
600
,
X
1
=
Y
1
−
U
12
X
2
−
U
13
X
3
=
0
075
−
(
−
1
)
⋅
600
−
(
0
)
⋅
0
375
=
0
675
.
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
269457838.004.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin