Macierze i wyznaczniki (operacje na macierzach, rodzaje macierzy, odwracanie macierzy, własności wyznaczników, obliczanie wyznaczników).
Mamy dany zbiór {1,2,...,n}Í{1,2,...,m} par liczb naturalnych. Jeśli każdej spośród tych par przyporządkujemy np. liczbę rzeczywistą, to takie przyporządkowanie nazywa się macierzą o elementach rzeczywistych. Liczbę przyporządkowaną parze (i,j) oznaczamy symbolem aij (i,j nazywamy wskaźnikami (lub indeksami) elementu aij).
A) Rodzaje macierzy :
a) A = [23 –9 32] - macierz wierszowa (inaczej wektor wierszowy )
3
b) a = -12 - macierz kolumnowa (inaczej wektor kolumnowy), oznaczana małymi literami;
32
c) A= 11 12 23 - macierz prostokątna (o wymiarach 2·3);
-5 -7 11
2 3 4
d) A = 3 4 9 - macierz kwadratowa (o wymiarach 3·3);
2 5 89
e) Macierz transponowana macierzy A powstaje z macierzy A przez utworzenie wierszy z kolumn np. 11 -5
AT = 11 12 78 T = 12 -7
-5 -7 0 78 0
Powtórne transponowanie powoduje powrót macierzy do jej pierwotnej postaci tzn. (AT)T=A
f) Macierz zerowa – macierz której wszystkie elementy są zerami ;
g) Macierz symetryczna – macierz której nie zmienia transponowanie, tzn. AT=A
h) Macierz diagonalna – macierz kwadratowa której wszystkie elementy położone poza główną przekątną są zerami
i) Macierz jednostkowa – macierz kwadratowa której wszystkie elementy położone na głównej przekątnej są jedynkami.
B) Odwracanie macierzy:
Tw.1. Macierz A nazywamy odwracalną wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje macierz A-1 taka że :
A·A-1 = A-1 · A = I (I – macierz jednostkowa)
Macierz A-1 nazywamy macierzą odwrotną macierzy A
Tw.2. Jeśli macierz A odwracalna , to det A-1 = 1/det A (det A – wyznacznik macierzy A)
Przy założeniu det ≠ 0 możemy określić macierz odwrotną macierzy A .
`
Macierz A-1 = 1/det A · (adj A) T jest macierzą odwrotną macierzy A (adj A – macierz dołączona (adjoint of ) macierzy A)
C) Operacje na macierzach :
1. Dodawanie macierzy
Dwie macierze można dodać wtedy i tylko wtedy , gdy mają te same wymiary (dodajemy elementy na tych samych pozycjach) np.
Jeśli A= 11 12 32 ; B = 1 4 3
-5 -7 0 12 7 16
to A + B = 11+1 12+4 32+3 = 12 16 35
-5+12 -7+7 0+16 7 0 16
Twierdzenie
a) Dodawanie macierzy jest przemienne : A+B=B+A
b) Dodawanie macierzy jest łączne : (A+B)+C=A+(B+C)
c) Macierz zerowa jest elementem neutralnym dodawania macierzy : A+O=O+A=A
2. Mnożenie macierzy przez liczby ·
To działanie niema żadnych ograniczeń gdyż każdą liczbę można pomnożyć przez dowolną macierz; mnożymy wszystkie elementy macierzy przez daną liczbę.
Przykład :
Jeśli A = to 3A = 3· = =
3. Mnożenie macierzy
działanie to jest uzależnione od spełnienia wymagania dotyczącego wymiaru czynników a, mianowicie liczba kolumn czynnika pierwszego jest równa liczbie wierszy czynnika drugiego
Przykład. Obliczamy iloczyn macierzy A = B =
Pierwsza macierz jest wymiaru 2 Í 3 a druga wymiaru 3 Í 4, więc mnożenie A·B jest wykonalne. Natomiast iloczyn B·A nie istnieje gdyż pierwszy czynnik ma 3 kolumny a drugi czynnik ma 2 wiersze. Przy mnożeniu macierzy wygodnie jest stosować schemat Falka :
7 4 5
-1 2 7
2 -3 5 2·2+(-3)·7+5·(-1)= -22 2·3+(-3)·4+5·2= 4 2·4+(-3)·5+5·7= 28
3 4 -7 3·2+4·7+(-7)·(-1)= 41 3·3+4·4+(-7)·2=11 3·4+4·5+(-7)·7= -17
zatem A·B =
D) Własności wyznaczników :
1. transponowanie macierzy kwadratowej nie zmienia wyznacznika tej macierzy ( detA T = detA )
1. Zamiana dwu wierszy (kolumn) macierzy kwadratowej zmienia wartość wyznacznika tej macierzy na przeciwną.
2. Jeśli w macierzy dwa wiersze (dwie klumny) są identyczne , to wyznacznik tej macierzy jest zerem.
3. Jeżeli macierz B powstaje z macierzy A przez pomnożenie wszystkich elementów pewnego wiersza (kolumny) przez liczbę α, to detB = α·detA
4. Dodanie do wiersza (kolumny) macierzy kwadratowej wielokrotności innego wiersza (kolumny) nie zmienia wyznacznika tej macierzy.
5. Twierdzenie Couchy’ego – wyznacznik iloczynu dwu macierzy kwadratowych jest równy iloczynowi wyznaczników tych macierzy: det(A·B) = detA · detB
E) Obliczanie wyznaczników
1. Obliczanie wyznaczników macierzy 2. Stopnia.
Wyznacznikiem macierzy A = nazywamy liczbę
detA = = a11·a22 – a12·a21
2. Obliczanie wyznaczników macierzy 3. Stopnia
Ø Wzór Laplace’a
det = = a11-a12+a13
Ø Schemat Sarrusa = (a11·a22·a33+a12·a23·a31+a13·a21·a32)-
(a13·a22·a31+a12·a21·a33+a11·a23·a32)
Ø Reguła Chio = · , o ile a11 ≠ 0
Macierze i wyznaczniki(operacje na macierzach, rodzaje macierzy, odwracanie macierzy, własności wyznaczników, obliczanie wyznaczników)
MACIERZĄ nazywamy każdą funkcję określoną na takim zbiorze, którego elementami są pary liczb aij Ì R {1,2...n}*{1,2..m} .Elementami macierzy są poziome rzędy zwane wierszami i pionowe zwane kolumnami.
Rodzaje macierzy:
- diagonalna – macierz kwadratowa w której elementy stojące na głównej przekątnej są różne od zera, a pozostałe są zerami.
- Jednostkowa- macierz diagonalna , w której elementy na głównej przekątnej są równe jedności
- Zerowa – wszystkie elementy są zerami
- Kwadratowa-...
darius037