Ćwiczenie nr 2
WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA PRZEZ ZGINANIE
Cel ćwiczenia:
1. Wyznaczenie modułu Younga dla stali, aluminium i mosiądzu metodą zginania płaskownika za pomocą pomiaru strzałki ugięcia.
2. Porównanie otrzymanych wartości z wartościami tablicowymi.
Stanowisko badawcze:
Urządzenie do wykonania pomiaru modułu Younga metodą ugięcia składa się z dwóch podpór oraz płaskowników wymiennych wykonanych z różnych materiałów o różnych przekrojach prostokątnych. W środku między punktami podparcia zawieszamy szalkę na strzemiączku. Szalkę obciążamy odważnikami.
Strzałkę ugięcia mierzymy przy pomocy odpowiedniej śruby mikrometrycznej, której ostrze stykamy z górną częścią strzemiączka.
1. Wymienny płaskownik podparty w dwóch punktach.
2. Czujnik zegarowy 10/0,01 mm.
3. Strzemiączko z zawieszoną na nim szalką.
4. Płaskowniki ze stali, aluminium i mosiądzu.
5. Taśma miernicza.
6. Odważniki 10 g i 50 g.
Przebieg ćwiczenia:
1. Zestawić układ według przedstawionego opisu urządzenia.
2. Wykonać trzykrotnie pomiary odstępów między środkami podpór l, szerokości b oraz grubości a w różnych miejscach pręta i obliczyć wartości średnie.
3. Obciążać płaskownik od 0 do 500 g obciążnikami, co 50 g i dokonać pomiaru strzałki ugięcia (uwzględniając masę szalki i strzemiączka).
4. Pomiary z punktu 3 powtórzyć zmniejszając obciążenie.
5. Sporządzić wykres l = f(m), m - masa szalki, strzemiączka i obciążników.
6. Pomiary z punktów 2, 3, 4 powtórzyć używając innych płaskowników.
7. Obliczyć moduł Younga dla różnych materiałów, korzystając ze wzoru:
8. Błąd maksymalny obliczyć metodą pochodnej logarytmicznej.
Przeprowadzić dyskusję błędów.
9. Wyciągnąć wnioski. Porównać otrzymane wartości E dla badanych materiałów z wartościami tablicowymi.
Po zakończeniu pomiarów uporządkować stanowisko.
Sprawozdanie studenckie powinno zawierać:
1. Cel i zakres ćwiczenia laboratoryjnego,
2. Opis stanowiska badawczego,
3. Opis przebiegu realizacji eksperymentu,
4. Zestawienie wyników w tabeli oraz ich analizę (wszystkie obliczenia),
5. Wnioski.
Zasady BHP obowiązujące podczas wykonywania ćwiczenia:
1. Przed przystąpieniem do zajęć należy zapoznać się z instrukcją do wykonywanego ćwiczenia.
2. Dokonać oględzin narzędzi pomiarowych używanych w trakcie ćwiczenia.
3. Bezzwłocznie powiadomić prowadzącego o nieprawidłowościach zauważonych podczas
oględzin stanowiska oraz w czasie wykonywania ćwiczenia (nie naprawiać we własnym
zakresie).
4. Zabrania sie samodzielnego rozpoczęcia wykonywania ćwiczenia bez zgody
prowadzącego
5. Po wykonaniu ćwiczenia grupa zgłasza to prowadzącemu ćwiczenia. Po sprawdzeniu
poprawności wykonanego ćwiczenia przez prowadzącego należy dokonać czynności
porządkowych na stanowisku laboratoryjnym.
Wiadomości teoretyczne:
Pręt umocowany na końcach pod wpływem własnego ciężaru lub pod obciążeniem ulega
wygięciu.
W górnej warstwie pręta następuje ściśnięcie, a w dolnej rozciągnięcie materiału pręta. Cienka warstwa środkowa nie ulega ani ściskaniu ani rozciąganiu i tworzy warstwę "neutralną". Przy dostatecznie małym obciążeniu wydłużenia dolnej warstwy i ściśnięcia górnej podlegają prawu Hooke'a. Załóżmy, że pręt nieobciążony nie ulega ugięciu.
Strzałka ugięcia λ powstaje pod wpływem obciążenia zewnętrznego. Weźmy pod uwagę
element ΔV pręta odległy o x od jego środka. Przed obciążeniem powierzchnie przekroju pręta wycinające element ΔV są równoległe, po obciążeniu i ugięciu pręta tworzą kąt Δφ. Przez punkt A należący do płaszczyzny przekroju P2 i warstwy neutralnej W prowadzimy powierzchnię równoległą do powierzchni przekroju P1. Odległość między tymi płaszczyznami wynosi Δx.
W wyniku ugięcia warstwa W1 odległa o y od warstwy neutralnej W ulega wydłużeniu o Δφy.
Weźmy pod uwagę element pręta o wymiarach
ΔV’ = Δx Δy b
odległy o y od warstwy neutralnej W.
Przekrój jego powierzchni prostopadłej do długości pręta wynosi bΔy.
Prawo Hooke'a: F = - k x można zapisać w równoważnej postaci:
F - siła działająca prostopadle do powierzchni S.
- wydłużenie względne
E – moduł Younga
Siła powodująca odkształcenie pręta:
W naszym przypadku powierzchnia elementu ΔV’, na który działa siła odkształcająca ΔF:
DS = bDy
Wydłużenie względne:
Siła odkształcająca:
Moment siły odkształcającej względem warstwy W wynosi:
Elementarny moment skręcający:
Całkowity moment skręcający wywołany siłami sprężystymi wyraża całka:
Siła F powodująca zginanie pręta zaczepiona jest w jego środku. Zgodnie z zasadami
rozkładania sił działających na ciało sztywne można ją zastąpić dwiema siłami o wartości
F/2 przyczepionymi do końców pręta działających zginająco ku górze, wówczas punkt
końca strzałki ugięcia można traktować, jako minimalny.
Moment siły odpowiedzialny za odkształcenie pręta pochodzi od siły zewnętrznej.
Dla dowolnej odległości x od środka pręta otrzymujemy:
Oba momenty są sobie równe można, więc zapisać:
Łatwo zauważyć, że stosunek elementu strzałki ugięcia dλ do odległości od środka x
dλ/ x = dφ
Po podstawieniu otrzymujemy:
Elementarna strzałka ugięcia:
Całkowitą strzałkę ugięcia wyraża całka oznaczona w przedziale od 0 do l/2:
Moduł Younga E wyznaczony przez pomiar strzałki ugięcia wyrażony jest wzorem:
F – siła odkształcająca [ N ]
l – długość płaskownika [ m ]
b – szerokość płaskownika [ m ]
a – grubość płaskownika [ m ]
λ – strzałka ugięcia [ m ]
Literatura:
1. D. Halliday, R. Resnick, J. Walker - “ Podstawy fizyki “ PWN 2006
2. T. Dryński – „ Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki ” PWN 1967
3. H. Szydłowski – „ Pracownia fizyczna ” PWN 1994
raku2592