28_PODSTAWOWE METODY ROZWIĄZYWANIA USTROJÓW PRĘTOWYCH STATYC.doc

28./IV PODSTAWOWE METODY ROZWIĄZYWANIA USTROJÓW PRĘTOWYCH STATYCZNIE NIEWYZNACZALNYCH (MS, MP)

METODA SIŁ - MS

Ustrój statycznie niewyznaczalny – więcej niewiadomych niż równań równowagi.

Płaszczyzna – trzy równania równowagi (moment i dwa przesunięcia)

Przestrzeń – sześć równań równowagi (3 obroty, 3 przesunięcia)

Koncepcja metody sił i kanoniczny układ równań.

Tok postępowania:

a)       określenie SSN = n

SSN =r + 3a – 3 -∑b

r – liczba reakcji

a – liczba pól zamkniętych

b – równania wynikające z wprowadzenia przegubów

b = n – 1              n

niewyznaczalność zewnętrzna nz = r-3

niewyznaczalność wewnętrzna nw = SSN-nz

dla kratownic :

r – liczba reakcji

p – ilość prętów

w – ilość węzłów

nz = r – 3

nw = SSN - nz

b)       dobór statycznie wyznaczalnego układu podstawowego UPMS, w którym zaczepia się n niewiadomych hiperstatycznych (nadliczbowych).

x1……xn

c)       ułożenie układu równań kanonicznych metody sił

11x1 + 12x2 + ... + 1nxn + D1p = 0

21x1 + 22x2 + ... + 2nxn + D2p = 0

    :            :                  :         :                        n- równań

n1x1 + n2x2 + ... + nnxn + Dnp = 0                n- niewiadomych

                                                               wektor obciążeń

                        [F]  {X} + {D} = {0}

macierz podatności      wektor hiperstatyczny

d)       obciążenie układu podstawowego kolejno siłami jednostkowymi na kierunkach niewiadomych hiperstatycznych .Otrzymujemy stany

, stąd otrzymujemy wykresy ;

to samo ze stanem P → Mp

e)       obliczenie współczynników równań kanonicznych i rozwiązanie układu równań z którego otrzymujemy x1…….xn

f)        obliczenie momentu ostatecznego

g)       wykonanie sprawdzenia

1. S ò

2. w każdym węźle ma być równowaga 

3. To samo dla sił     

Całkowanie graficzne:

Przykład.

EJ = const

SSN = 5 – 3 = 2

UPMS

z zasady superpozycji:

Wyznaczamy siły poprzeczne Q

QBA= - 4,86

∑Y = 0

QBC = QCB

QCD = QDC = 4,75

W sprawdzeniu należy przyjąć nowy układ podstawowy i przecałkować go z Most.

Musi wyjść zero.

METODA PRZEMIESZCZEŃ MP

I.                   koncepcja metody

Tok postępowania

1. Określenie stopnia kinematycznej niewyznaczalności ustroju – SKN

2. Przyjęcie układu podstawowego MP poprzez wprowadzenie dodatkowych więzów unieruchamiających ustrój

3. Zwalnianie kolejno więzów nadając na ich kierunku jednostkowe przemieszczenie, sporządzamy wykresy oraz sporządzamy wykres od obciążenia zewnętrznego Mp

4. Obliczenie współczynników układu równań kanonicznych Mp to jest: reakcji w więzach rij oraz od obciążenia Rip

5. Ułożenie układu równań kanonicznych w których niewiadomymi są przemieszczenia zj

6. Na podstawie wzorów transformujemy

II.                SKN – nazywamy sumę obrotów węzłów oraz niezależnych przesunięć tych węzłów (liczba dodatkowych niezależnych więzów, które trzeba wprowadzić, aby ustrój się nie mógł odkształcić).

- łączna liczba obrotów węzłów sztywnych łączących, co najmniej dwa pręty układu

- łączna liczba niezależnych przesunięć węzłów

Przy wyznaczaniu SKN nie bierze się pod uwagę statycznie wyznaczalnych części konstrukcji np. wsporniki czy słupy podparte – przegubowoprzesuwne. W przypadku gdy ∑∆ = 0 należy sprawdzić czy układ przegubowy nie jest chwilowo zmienny i wrazie potrzeby wprowadzić odpowiednie więzy fikcyjne. Jeżeli układ jest przesztywniony tzn. ∑∆ < 0 to wówczas nie dodajemy ∑∆ + tylko SKL = .

Dla ułatwienia liczenia SKN wprowadza się łańcuch kinematyczny. Wprowadza się przeguby w miejscach łączeń a podpory zastępuje się w następujący sposób:

w – liczba węzłów łącznie z podporowymi

p – liczba prętów występujących w łańcuchu kinematycznym

SKN = 1

III.             Równania transformacyjne MP: