31_Siły przekrojowe w prętowych ustrojach statycznie wyznacz.doc

IV.1.Siły przekrojowe w prętowych ustrojach statycznie wyznaczalnych.

Definicje:

Pręt – bryła, której jeden wymiar (długość) jest nieporównywalnie duży w stosunku do pozostałych.

Oś pręta – miejsce geometryczne punktów, będących środkami ciężkości przekrojów pręta dowolnymi płaszczyznami przecinającymi jego tworzące

Przekrój poprzeczny pręta – przekrój płaszczyzną prostopadłą do osi pręta

Układ statycznie wyznaczalny – układ, dla którego można jednoznacznie wyznaczyć reakcje na podstawie równań równowagi sił =>  

·         liczba reakcji równa jest liczbie niezależnych równań równowagi

·         liczba stopni swobody zapewniających geometryczną niezmienność układu równa się 0

Układ statycznie niewyznaczalny – układ, dla którego z równań równowagi otrzymuje się nieskończenie wiele rozwiązań na siły reakcji =>

·         liczba reakcji jest większa od liczby niezależnych równań równowagi

·         liczba stopni swobody zapewniających geometryczną niezmienność układu równa się 0

Układ chwiejny – układ, dla którego równania równowagi stanowią sprzeczny układ algebraicznych równań

·         liczba reakcji jest mniejsza od liczby niezależnych równań równowagi

·         liczba stopni swobody jest większa od 0

Siły przekrojowe

Założenia:

1. Założenie o continuum materialnym – każdy punkt geometryczny ciała ma przypisaną masę, która jest w sposób ciągły rozłożona w objętości konstrukcji.
2. Założenie o równowadze statycznej – zdolność powracania ustroju do położenia równowagi, z którego został wyprowadzony przez działanie dowolnej przyczyny.
3. Zasada zesztywnienia – wpływ przemieszczeń na obliczanie reakcji i sił wewnętrznych jest pomijalnie mały.

Weźmy pod uwagę bryłę sztywną pozostającą w równowadze statecznej, poddaną oddziaływaniu pewnego układu sił zewnętrznych

Wewnątrz wybieramy dowolny punkt A i prowadzimy przez niego płaszczyznę p o wersorze normalnym n, która dzieli naszą bryłę na dwie części  I i II. Przyjmujemy, że punkt A należy do I. Na punkt A działa pęk wektorów sił z jakimi wszystkie punkty materialne części II oddziałują na niego. Tworzą one zbieżny układ sił, którego suma stanowi wypadkową tego układu zaczepioną w punkcie A – to jest właśnie owa siła wewnętrzna. Siła ta jest funkcją :

·         Położenia punktu – bo gdy inny punkt to inne siły

·         Wektora normalnego płaszczyzny podziału

Siła wewnętrzna – funkcja wektorowa określająca wypadkową sił międzycząsteczkowych.

    I tu pada pytanie jak ją wyznaczyć ? Skorzystamy z następujących twierdzeń:

Twierdzenie 1 ( o układach sił wewnętrznych i zewnętrznych ):

Układ sił wewnętrznych przyłożonych do części I jest równoważny układowi sił zewnętrznych przyłożonych do części  II

Twierdzenie 2 ( o układach równoważnych ):

          Jeżeli dwa układy są równoważne to :

·         Sumy obu układów są sobie równe

·         Momenty liczone względem tego samego punktu są równe

              Þ             jest to układ zredukowany w punkcie Q

                   Stąd otrzymujemy siły wewnętrzne w konstrukcjach prętowych

W konstrukcjach prętowych układ zredukowany sił wewnętrznych odnosić się będzie do przekroju poprzecznego pręta, ze środkiem redukcji w środku ciężkości przekroju poprzecznego.

       Układ zewnętrzny może zredukować się w szczególnych przypadkach do :

1. Wypadkowej prostopadłej do przekroju poprzecznego pręta – siła podłużna ( osiowa, normalna )   N
2. Wypadkowej leżącej w płaszczyźnie przekroju poprzecznego – siła poprzeczna ( tnąca, ścinająca )  Q
3. Pary sił leżących w płaszczyźnie przekroju – moment skręcający
4. Pary sił w płaszczyźnie prostopadłej do płaszczyzny przekroju – moment zginający

Przypomnieć sobie jeszcze należałoby jakie znamy układy prętowe płaskie i przestrzenne. Metody rozwiązywania danego układu, twierdzenia dotyczące danych układów ( np. kratownic )