„Nauczanie matematyki w klasach 1-3 szkoły specjalnej” Janina Wyczesany
4.2. POJĘCIE DZIAŁANIA ARYTMETYCZNEGO
Działania na liczbach przy użyciu znaków matematycznych(+,-,·,:) dzieci poznają w klasach początkowych szkoły specjalnej. Przedtem powinny przygotować się stopniowo w czasie różnorodnych zajęć. Służyć temu mogą zadania tekstowe zawiązane z tematyką ośrodka, dotyczące sytuacji życiowych, w których działania arytmetyczne, np. dodawanie, są wyrażone różnymi czynnościami fizycznymi znanymi dzieciom jako pojęcia: dołożyć, dobrać, dosunąć, dosypać itp. Pojęcia te kształtować się będą w trakcie odpowiedniej działalności dziecka na podstawie materiału poglądowego.
4.2.1. Dodawanie i odejmowanie
Pojęcia dodawania i odejmowania kształtować się będą w czasie działalności dziecka na podstawie konkretnych doświadczeń. Dziecko dostaje 4 cukierki, nauczyciel dokłada 2 cukierki. Teraz dziecko stwierdza, że ma ich więcej. Przelicza: „mam 6 cukierków”.
Takie i podobne ćw. Powinny doprowadzić do zrozumienia, że liczby można powiększać lub zmniejszać przez odpowiednie działania. Mają one charakter konkretny: dziecko dokłada, dorysowuje, wydaje, wydziera itp.
Np. nauczyciel poleca dzieciom siedzącym przy pierwszym stoliku ustawić się w jednym rzędzie, a dzieciom siedzącym przy drugim stolik- w drugim rzędzie. Pozostali uczniowie liczą dzieci w rzędach i wspólnie stwierdzają, że jest ich w pierwszym rzędzie 4, a w drugim 3. Nauczyciel poleca: „Połóżcie na ławce tyle klocków, ile jest dzieci w dwóch rzędach”. Potem nauczyciel podaje treść zadania tekstowego: „Adam miał 4 żołnierzy. Dostał od tatusia jeszcze trzech innych żołnierzy. Ile ma razem żołnierzy?” Najpierw zgodnie z treścią zadania nauczyciel pokazuje 4 żołnierzy. Adam dostał jeszcze 3 żołnierzy. Ma teraz 7 żołnierzy. Wykonana czynność dodawania na konkretach zostaje ujęta w słowa. Nauczyciel pyta: „Jak to zapisać?”.
Po kilkakrotnym powtórzeniu zadania przez poszczególnych uczniów można przystąpić do przedstawienia czynności w postaci rysunku. W tym celu wykorzystujemy podręcznik matematyki dla klasy pierwszej. Dzieci odczytują treść zadania na podstawie ilustracji, potem bez treści: „miał 4 dostał 3, jest 7”. Dzieci przedstawiają zadanie graficzne.
Zaznajomienie dzieci z formułą dodawanie wymaga starannego stopniowania trudności. Najpierw wykonują czynności na przedmiotach, następnie- na ich zastępnikach, aby wreszcie zapisać je za pomocą symboli matematycznych w postać: 4+3=7.
Rolę konkretu w wyobraźni spełniają zadania tekstowe tak dobrane, aby występujące w nich działania arytmetyczne miały charakter czynności materialnej.
Odejmowanie powinny dzieci poznać wtedy, gdy dodawanie wykonują za pomocą czynności. Punktem wyjścia do wprowadzenia odejmowania będzie zadanie na dodawanie.
Przykład: Mama kupiła 4 bułki. Staś kupił 2 bułki. Ile bułek kupili razem? W czasie wypowiadania przez nauczyciela zadania, dzieci dokładają do 4 bułek 2. Następnie przedstawiają zadanie graficznie i zapisują wzór: 4+2=6.
Nauczyciel przekształca teraz zadanie. „Mama kupiła 6 bułek. Dzieci zjadały na śniadanie 2 bułki. Ile bułek zostało?” Dzieci ilustrują zadanie za pomocą klocków małych i dużych imitujących bułki. Układają 6 klocków, następnie odsuwają 2 klocki i stwierdzają, że 2 bułki zjadły dzieci.
Nauczyciel ukierunkowuje dzieci na zrozumienie, że w tym zadaniu występuje czynność odwrotna do treści poprzedniego zadania. „Uprzytomnienie sobie tego jest niezbędnym warunkiem przyjęcia znaku odejmowania ze zrozumieniem jego znaczenia”.
Przykłady zadań-przygotowują uczniów do zrozumienia działań na liczbach przy użyciu znaków „+” „-„
Nie może być mowy o prawidłowym rozumieniu przez ucznia pojęcia sumy i różnicy bez opanowania ćw. w rozkładaniu danej liczby na składniki. Umiejętność rozkładu liczby jest nieodzownym warunkiem do opanowania działań w szerszym zakresie liczbowym. Do ćw. związanych z rozkładem nadają się obok konkretnych przedmiotów, takich jak: kasztany, żetony, klocki Cuisenaire’a-Gategno( liczby w kolorach- klocki reprezentujące 10 różnych długości) oraz oś liczbowa.
Oś liczbowa może być wykorzystana przy porównywaniu liczb oraz w ćwiczeniach polegających na wstawieniu jakiś liczb między dwie dane liczby. Z pojęciem osi liczbowej wiążą się pojęcia: linia prosta, punkt, półprosta, odcinek, jednostka miary, odwzorowywanie, zbiór liczb. Zapoznaniu uczniów z pojęciem osi liczbowej towarzyszą czynności manualne, wzrokowe i umysłowe.
W podręczniku dla kl.I oś liczbową wprowadza się wcześnie, już po opracowaniu liczby 5, zapoznane z liczbami większymi i mniejszymi na osi. Punktom podporządkowano jednocześnie zbiory. Od każdego punktu na osi dziecko ma poprowadzić strzałki wg wzoru, stanowiącego ćw. do opracowania liczby 6.
Oś liczbowa wykorzystana jest także przy opracowaniu dodawania i odejmowania oraz przy rozszerzaniu zakresu liczby do 100.
Realizując nowy program matematyki można stosować łatwą do wykonania pomoc:
W celu utrwalenia wiadomości nauczyciel wykorzystuje różne zadania- przykłady
1)W puste kartki zaznaczone na osi wpisz brakujące liczby
Dla opanowania umiejętności dodawania i odejmowania stosujemy większą liczbę ćwiczeń i powtórzeń niż w szkole normalnej. Należy unikać monotonii, której zapobiec może nauczyciel przez stosowanie różnych gier i rozrywek matematycznych.
2) Połącz punkty oznaczone kolejnymi cyframi
3)
Przyswojenie działań na dodawanie i odejmowanie liczb w zakresie pierwszej dziesiątki ma duże znaczenie dla uczniów, ponieważ warunkuje dalsze postępy w zdobywaniu wiedzy matematycznej.
Przeprowadzono badania. Wnioski: Uczniowie klas początkowych szkoły specjalnej podają zbyt dużo błędnych odpowiedzi na dodawanie i odejmowanie, co świadczy o słabych nawykach liczenia w obrębie 10. Dwa razy częściej stwierdzono u nich błędy w odejmowaniu niż dodawaniu, co wskazuje na potrzebę częstego organizowania ćwiczeń na odejmowanie i dodawanie ilustrowane rysunkami.
„Chcąc nauczyć dziecko w danym wieku określonych treści, należy ich strukturę przedstawić w dostępnych dla niego kategoriach”(J.S.Bruner) ->modele, obrazki i zajęcia prowadzone w formie zabawowej.
Nauczyciele często obserwują, iż niektórzy uczniowie nie potrafią wykonać zadania w klasie, ale podczas indywidualnych zajęć wykonują zadanie prawidłowo ( związane ze sferą emocjonalną-> niezdolność do sterowania działalności w warunkach życia szkolnego). Można tego uniknąć poprzez stwarzanie możliwości swobodnego wyboru zadania i rozwiązania go przez dziecko.
Przy wykonywaniu działań arytmetycznych dzieci z n.i. słabo opanowały rozkład liczb od 2 do 10. Nie mogą go sobie przypomnieć i powracają do przeliczania przedmiotów, wykorzystując palce rąk, kreski.
U dzieci z n.i. wytworzenie trwałych związków skojarzeniowych wymaga licznych powtórzeń i trwa dłuższy czas. Rozkładanie liczby odbywa się na przykładzie konkretów. Bardzo często źródłem niepowodzeń w matematyce są przyczyny psychologiczne i szkolne. Należy dostosować formy i metody nauczania matematyki do indywidualnych możliwości uczniów.
Program matematyki szkoły specjalnej przewiduje wyodrębnienie działu: zastosowanie praktyczne.
Klasa I: Nazwa pieniędzy. Liczenie pieniędzy w zakresie 20. Nazwy dni tygodnia, ich kolejność. Rozpoznawanie figur geometrycznych.
Klasa II: Liczenie pieniędzy i płacenie w zakresie 100. Nazwy miesięcy i ich liczba w roku. Zegar- godzina. Praktyczne wykorzystanie poznanych jednostek długości: m, cm. Rozpoznawanie w otoczeniu kształtów poznanych figur geometrycznych.
Klasa III: Liczenie i płacenie. Cena i wartość przedmiotu. Wykonywanie prostych zadań związanych z taryfą pocztową. Znaczki pocztowe. Cyfry rzymskie do XII. Data. Ważenie w kilogramach. Mierzenie w litrach. Skróty: kg, l.
Już przy opracowywaniu liczb od 0 do 5 należy zapoznać uczniów z monetami: 1 zł, 2 zł, 5 zł. Ćwiczenia w podręczniku łączą rozkład liczb na składniki z utrwaleniem znajomości monet. Tego typu ćw. można przeprowadzać z dziećmi praktycznie, rozmieniając monety na drobne. Jednocześnie z rozszerzeniem zakresu liczbowego należy podejmować próby dokonywania przez uczniów zakupów. Przy rozszerzeniu zakresu liczbowego należy pamiętać o wprowadzeniu banknotów oraz przerobieniu ćw. związanych z liczeniem pieniędzy i płaceniem.
Przykłady: jakie masz monety?, ile to razem? (oblicz) 10 zł+5 zł+ 2 zł.
Od samego początku dodawania należy ćwiczyć operację odwrotną- rozkład danej liczby na składniki. Rozumienie przez dzieci przemienności dodawania oznacza, że np. liczby 5+4 i 4+5 są sobie równe. Dobry poglądowy sposób interpretowania przemienności dodawania: umieszczenie 5 jabłek w czerwonym worku i 4 jabłek w żółtym worku, a następnie wysypywanie jabłek najpierw z worka czerwonego, a potem z worka żółtego. Stwierdzenie faktu, że liczba jabłek nie zależy od kolejności wysypywania z worków oznacza tu wyciągnięcie wniosku, że suma nie zależy od kolejności składników, bez względu na to, jakimi liczbami są składniki sumy.
W wypadku dodawania i odejmowania stosowane są formy zapisu symbolicznego: strzałki, drzewka, tabelki działań. Przykład
Dodawanie z zakresu do 20 należy rozpocząć od numeracyjnych wypadków dodawania i odejmowania: 10+5= 10-5=
5+10= 15-10=
W następnym etapie rozwiązujemy zadania typu: 12+5, 17-5, po czym wprowadzamy dopełnienie do 20, np. 16+ =20, i odejmowanie od 20, np. 20-6=
Przekroczenie progu dziesiątkowego nastręcza uczniom trudności. Dlatego to zagadnienie należy opracować dokładnie i doprowadzić do pełnego zrozumienia przez dziecko.
Podręcznik proponuje rozpocząć od dodawania do 9, a następnie do 8,7,6, wraz z odpowiednimi wypadkami odejmowania. Rozwiązanie takie powinno ułatwić uczniom zrozumienie zasady działania: najpierw dopełnić do 10, a potem dodać resztę, np. 9+2= ,9+1+1= ,10+1=11. W początkowej fazie wskazane jest używanie takiego zapisu.
Odejmowanie z przekroczeniem progu dziesiątkowego rozpoczynamy od przykładów: 11-2, 12-2 itp.
Przy rozszerzeniu zakresu liczbowego do 20 trzeba wyraźnie wyodrębnić dziesiątkę jako jednostkę wyższego rzędu. Sprzyja temu zapisywanie dodawania i odejmowania sposobem pisemnym w tabelach D J, które przejrzyście oddzielają jedności od dziesiątek.
Rozszerzenie zakresu liczbowego do 100 rozpoczyna się od ćw. w liczeniu pełnych dziesiątek. Przygotowaniem do takiego liczenia było szeregowanie przedmiotów przez dzieci przy liczeniu w zakresie do 20 w szeregach dziesiątkowych, np. patyczków. Każda liczba od 11 do 20, poznawana w klasach I i II, była wyrażana jako suma dziesiątki i drugiego, zmieniającego się składnika. Oba te składniki są już dzieciom znane z poprzednich okresów nauczania matematyki.
Zaczynamy pracę od znanych i łatwych zbiorów, a potem wprowadzamy nowe nazwy liczb. Kładąc dwie wiązki patyczków do 10 sztuk, mówimy: „mam 20 patyczków”, dosuwam 1: „ mam 21 patyczków” itp.
Przeliczanie elementów zbiorów bardziej licznych można przeprowadzić za pomocą grupowania ich w dziesiątki. Rozsypujemy np. 40 kloców i polecamy je przeliczyć. Dzieci mają odliczyć po 10 klocków i ułożyć z nich grupy dziesiątkowe. Każdą grupę klocków uczniowie nazywają dziesiątką. Porównując wyniki liczenia stwierdzają, że czterdzieści do 4 dziesiątki.
W ćw. związanych z rozszerzeniem zakresu liczbowego do 100 szerokie zastosowanie może znaleźć oś liczbowa.
Można ją wykorzystać do wskazania liczb większych lub mniejszych od podanej.
Każdy uczeń powinien mieć własne liczydło o 100 gałkach.
Zrozumienie układu dziesiątkowego i pozycyjnego odczytywanie i poznanie licz można ułatwić dzieciom, wykorzystując liczydło i tabelkę z rubrykami. Dzieci mając np. 112 koralików łączą je w dziesiątki, następnie dziesięć dziesiątek w setkę. (tabelka)
Ostatnia rubryka powstaje w wyniku odpowiedzi na pytanie: ile mamy jedności, ile dziesiątek, ile setek.
Każdy typ działania w zakresie setki powinno poprzedzić poznanie jej w odpowiednim rozkładzie, np.:
100=50+50
100=50+30+20
100=60+30+10
100=80+20
100=90+10
100=20+20+20+20+20
100=10+10+10+10+10+10+10+10+10+10
4.2.2. Mnożenie i dzielenie
Mnożenie dzieci poznają w klasie II jako skrócone dodawanie jednakowych składników. Odwołanie się do czynności konkretnych np. dzieci wkładają odpowiednią liczbę tulipanów do wazoników, tak aby w każdym były 2 kwiatki.
Wkładając kwiatki do wazonów upewniają się, że zbiór kwiatów jest dwa razy większy od zbioru wazonów. Następne pytanie: ile tulipanów jest we wszystkich wazonach?
2+2+2+2+2=10
5·2=10
Umiejętność przedstawienia zadania na rysunku wymaga zrozumienia przez dzieci warunku matematycznego zadania.
Przykład
Mnożenie początkowo zostało wyróżnione czynnościami fizycznymi. Pomocą w wykonywaniu zadania jest ilustracja. Patrząc na rysunek dzieci wykonują działania zapisując dodawanie jednakowych składników normalnie, a potem za pomocą mnożenia. W ten sposób poznają nowe działanie. Konkretne doświadczenie w odniesieniu do kilku innych wypadków mnożenia pozwala dzieciom na dokonanie uogólnienia formuły mnożenia. Następnie nauczyciel proponuje zadanie tekstowe, który służy utrwaleniu mnożenia. (przykład)
Rozwiązanie zadania w jednym zapisie jest możliwe dopiero w czwartej klasie.
Rozwiązanie powyższego zadania poprzedziły ćw. na mnożenie na kartonikach lub w postaci tabelki z hasłem.
Wzory ćw:
Nauczyciel w pierwszym etapie opracowania tabeli mnożenia przygotowuje dzieci do poszukiwania metody ułatwiającej szybkie znalezienie wyniku, a potem dopiero przystępuje do pamięciowego opracowania tabeli. Np. obliczając, ile jest 3·4, dzieci pomagają sobie dodawaniem 4+4+4.
Występuje związek dawnych wiadomości z nowymi. Oprócz ćw. zmierzających do utrwalenia pamięciowego tabeli mnożenia i dzielenia należy rozwiązywać zadania tekstowe z zastosowaniem tych wypadków działań, których dzieci nauczyły się na pamięć.
Z powtarzaniem serii wypadków na mnożenie ze stałą mnożną można łączyć serie wypadków na dzielenie ze stałym dzielnikiem. Pozwala to uczniom zrozumieć związki zachodzące między liczbami w mnożeniu i dzieleniu. 2·4=8 8:2=4
2·2=4 4:2=2
Dzielenie wprowadzamy w klasie II- jest to działanie odwrotne do mnożenia.
Uczniowie rozwiązują zadania na mieszczenie i podział, posługując się konkretami.
W celu zainteresowania uczniów ćw. na mnożenie stosujemy obok zadań rachunkowych także zabawy i gry dydaktyczne
6. Zadania tekstowe
W klasach I-III rozwiązujemy zadania tekstowe proste, tzn. takie, w których mamy tylko jedno działanie. W klasie III można czynić próby rozwiązywania zadań tekstowych złożonych – np. „Mama upiekła 20 naleśników. 4 osoby zjadły po 3 naleśniki. Ile naleśników zostało?” Najpierw pytamy uczniów, co wiemy o tym zadaniu i zapisujemy dane:
20 naleśników, 4 osoby,
Jedna osoba zjadła 3 naleśniki
Ilustrujemy zadanie rysunkiem lub posługujemy się liczmanami.
Czego nie wiemy w zadaniu: - ile naleśników zjadły 4 osoby?
- ile naleśników zostało?
Jak obliczymy ile naleśników zjadły 4 osoby:
3·4=12
Jak obliczymy ile naleśników zostało:
20-12=8
Rozwiązanie zadania z treścią wymaga przede wszystkim zrozumienia treści.
Operacje dziecko powinno najpierw wykonywać w sytuacjach realnych i podczas zabawy. Rozwiązanie zadań z podręcznika powinno być trzecim etapem przy zapoznawaniu ucznia z pojęciami matematycznymi. Pierwsze pojęcia matematyczne powinny wyrastać z rzeczywistych sytuacji.
Ważną czynnością uczniów jest nie tylko rozwiązywanie zadań, lecz także układanie zadań do sytuacji matematycznej ilustrowanej konkretami czy rysunkami(rys.56), lub układanie zadań do ilustracji (rys.57), przy czym może to być zadanie na dodawanie, mnożenie, dzielenie. Można np. polecić uczniom ułożenie zadania do rachunku: 10+8+1, czy 4·2. Stosując układanie zadań nauczyciel sprawdza, czy uczniowie poprawnie rozumieją działania arytmetyczne, a także ma okazję do eliminowania błędnych pojęć.
Przykłady
sbwa