struktury_algebraiczne.pdf

(201 KB) Pobierz
WYK£AD
STRUKTURY ALGEBRAICZNE
Definicja 1
Z: niech A oznacza zbiór, A ≠ ∅
Działaniem wewnętrznym (działaniem) określonym w zb. A nazywamy
każde odwzorowanie:
h: A × A A. Wartość tego odwzorowania h(a, b) nazywamy wynikiem
działania
→
D
Zamiast h(a, b) piszemy a D b
Uwaga:
Zapis a D b utożsamiamy z wynikiem działania.
Przykład 1
a).
h: ZZ
(n + k) ∈ Z
Piszemy: ( , +)
Ζ
b).
Z * h(n, k) = k
n
Powyższe działanie nie jest działaniem określonym w Z *.
F, ∅
Działaniem zewnętrznym w zbiorze X nazywamy każde odwzorowanie g:
X
×
Oznaczamy: a)
X
X
g(α , gdzie
,
α
F, ∈
a
X
g(
α
,
a)
=α
∗
a
.
Przykład 2
→
X zbiór wektorów zaczepionych na płaszczyźnie
F = R
*
działanie mnożenia wektora przez liczbę (wynikiem wektor).
Własności działania wewnętrznego:
Z:
(A, D D
1) Działanie jest łączne jeśli:
)
, - jest działaniem wewnętrznym w zbiorze A
D
∀
x,
y
∈
A
:
(x
D =
y)
D
z
x
D
(y
D
z)
2) Działanie jest przemienne jeśli:
D
∀
x,
y
∈
A
x
D =
y
y
D
x
3)
e∈
A
jest elementem neutralnym działania jeśli:
∀
x
∈
A
x
e
=
D
x
x
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 1 z 4
Część 3 - Struktury algebraiczne
Oznaczenia: (A, h) lub (A, )
×→ Z
h(n, k) = n + k
Definicja 2
Dane są zbiory F, X takie, że: ≠
F →
:
:
e
=
11843056.002.png
Twierdzenie 1
Jeżeli w zbiorze A z działaniem wewnętrznym istnieje element neutralny
to jest on jedyny.
D
4) Jeśli istnieje element neutralny e ∈ to elementem przeciwnym
(odwrotnym, symetrycznym) do A
x ∈ nazywamy taki element A
x'∈ ,
że:
x
D
x'
= D
x'
x
=
e
Uwaga:
Jeśli działanie jest łączne i istnieje element neutralny tego działania
to jeśli jakiś element posiada element odwrotny to jest on jedyny i
wówczas:
(x' =
)'
x
.
Przykład 2
Z: ( Z , +), e = 0
xk ' : x ' 0
Z
(każdy element x zb. Z posiada element
odwrotny –x)
Definicja. 3
Z:
)
, A ≠ ∅ , D - działanie wewnętrzne w zb. A.
(A, D
)
nazywamy GRUPĄ jeżeli spełnione są warunki:
1)
∀
x,
y,
z
∈
A
:
(x
D =
y)
z
x
D
(y
D
z)
2)
∃
e
∈
A
∧
∀
x
∈
A
:
x
DD
e
=
e
x
=
x
∀ DD
Jeżeli dodatkowo zachodzi warunek:
4)
3)
x
∈
A
∃
x'
∈
A
x
x'
=
x'
x
=
e
∀
to GRUPĘ nazywamy GRUPĄ PRZEMIENNĄ (ABELOWĄ).
x,
y
∈
A
:
x
D =
y
y
D
x
Przykład 3
(Z, +) jest grupą abelową ponieważ:
• + jest działaniem wewnętrznym w Z
• dodawanie jest łączne
• elementem neutralnym tego działanie jest e = 0
• każda liczba całkowita posiada liczbę przeciwną (całkowitą)
(Q*,⋅ jest grupą abelową ponieważ:
• mnożenie jest działaniem wewnętrznym w Q*
• elementem neutralnym tego działania jest e = 1
•
∀
x
∈
Q
*
∃
x'
=
1
x
⋅
1
=
1
x
x
• mnożenie jest przemienne
Przykład 5
Z: A = [-1,1], (A, +)
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 2 z 4
Część 3 - Struktury algebraiczne
∀=∈ ∃ = + =
(A, D
Strukturę
:
Przykład 4
)
:
11843056.003.png
W tym przypadku + nie jest działaniem wewnętrznym w A ponieważ
∃
x,
y
∈
A
:
(x
+
y)
∉
A
Np.
1
+
3
=
5
1
,
3
∈
A
5
∉
A
2
4
4
2
4
4
(P, ∗ D , *
Strukturę
,
)
, P ≠ ∅ , D - działania wewnętrzne w zbiorze A.
D
1) struktura
(P, ∗
,
)
nazywamy PIERŚCIENIEM jeśli spełnione są warunki:
(P, D
)
jest grupą abelową
2)
∀
x,
y,
z
∈
P
:
(x
∗
y)
∗
z
=
x
∗
(y
∗
z)
3)
∀
x,
y,
z
∈
P
:
(x
D
y)
∗
z
=
(x
∗
z)
D
(y
D
z)
∧
x
∗
(
y
D
z)
=
(x
∗
y)
D
(x
∗
z)
D
Działanie ze względu na które pierścień jest grupą abelową nazywamy
działaniem addytywnym i oznaczamy je +. Element neutralny tego
działania nazywamy zerem, oznaczamy 0 .
Drugie działanie nazywamy działaniem multiplikatywne, oznaczamy je „ ⋅ ”
(P, ∗
,
)
- pierścień
Przykład 6
Struktura ( , +, ⋅ )- jest pierścieniem ponieważ:
Z
• ( Z , +) – jest grupą abelową (sprawdziliśmy wcześniej)
• mnożenie jest łączne
• mnożenie jest rozdzielne względem dodawania
D
a). Jeżeli oprócz warunków z definicji 4 istnieje element neutralny ze
względu na działania multiplikatywne to element ten nazywamy jedynką,
oznaczamy 1 i mówimy, że mamy pierścień z jednością.
(P, , *)
- pierścień
∀
c). x, y nazywamy dzielnikami 0 :
x,
y
∈
P
:
x
⋅
y
=
y
⋅
x
to mówimy, że jest to pierścień przemienny.
x, .
d) Jeżeli istnieją dzielniki 0 w pierścieniu mówimy, że jest to pierścień z
dzielnikami zera.
e) Pierścień przemienny, z jednością i bez dzielników zera nazywamy
pierścieniem całkowitym.
∃
y
∈
P
:
x
⋅
y
=
0
∧
x
≠
0
∧
y
≠
0
Przykład 7
Z: ( Z , +, ⋅ ) pierścień
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 3 z 4
Część 3 - Struktury algebraiczne
Definicja 4
Z:
Definicja 5
Z:
Definicja 6
Z:
b). Jeżeli:
11843056.004.png 11843056.005.png
k ⋅ n = 0 ⇔ k = 0 v n =0
Czyli w tym pierścieniu nie istnieją dzielniki zera.
Definicja. 7
Z: Działania + i ⋅ to działania wewnętrzne w zbiorze K
Strukturę (K, +, ⋅ ) nazywamy CIAŁEM jeśli spełnione są warunki:
1) Struktura (K, +) jest grupą abelową
2) Struktura (K-{0}, ⋅ ) jest grupą
3)
∀
y
∈
K
:
(x
+
y)
⋅
z
=
(x
⋅
z)
+
(y
⋅
z)
∧
x
⋅
(y
+
z)
=
(x
⋅
y)
+
(x
⋅
z)
∀
mówimy, że ciało jest ciałem przemiennym.
x,
y
∈
K
:
x
⋅
y
=
y
⋅
x
Uwaga:
Często mając na myśli ciało przemienne mówimy tylko: ciało.
Przykład 8
( , +, ⋅ ) – ciało liczb rzeczywistych
Obydwa w/w ciała są ciałami przemiennymi.
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 4 z 4
Część 3 - Struktury algebraiczne
x,
Jeżeli ponadto spełniony jest warunek:
4)
R
( ^ , +, ⋅ ) – ciało liczb zespolonych
11843056.001.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin