1.          Podać, jak mierzy się odległość między koszykami dóbr.

x = (x1, x2) Î X              i  y = (y1, y2) Î X                 d(x, y) = max½ xi – yi½

Odległość między koszykami wyrażona jest zawsze w tych samych jednostkach co towar, dlatego różnica ½ xi – yi½ jest maksymalna.

2.          Podać określenie przestrzeni metrycznej.

Przestrzeń towarów jest przestrzenią metryczną, co oznacza, że spełnione są następujące trzy warunki:

a)

b)

c)

3.          Podać określenie przestrzeni towarów.

Przestrzenią towarów nazywamy zbiór dostępnych na rynku koszyków towarów z odległością między koszykami zdefiniowaną wzorem d(x, y) = max½ xi – yi½ (definicja z książki).

Przestrzenią towarów nazywamy zbiór dostępnych na rynku koszyków dóbr z odległością między koszykami (definicja z zeszytu).

4.          Podać, jak określa się podstawowe działania na koszykach dóbr.

a) dodawanie  

b) mnożenie przez liczbę (skalar)   

5.          Określić pojęcie liniowej kombinacji wypukłej dwóch koszyków.

Liniową kombinacją wypukłą dwóch koszyków nazywamy każdy koszyk z postaci gdzie czyli 

6.          Określić, kiedy pewien zbiór koszyków dóbr jest wypukły.

Zbiór nazywamy wypukłym, jeżeli wszystkie liniowe kombinacje wypukłe dowolnych dwóch koszyków należących do zbioru M również należą do zbioru M, co zapisujemy:  .

7.          Określić pojęcie relacji indyferencji konsumenta.

Relacją indyferencji konsumenta nazywamy zbiór I wszystkich par koszyków złożonych z koszyków względem siebie obojętnych (indyferentnych), co zapisujemy:

Własności powyższej relacji:

1) (zwrotność)

2) (symetryczność)

8.          Określić pojęcie relacji silnej preferencji konsumenta.

Relacją silnej preferencji konsumenta nazywamy zbiór Ps wszystkich par koszyków takich, że pierwszy koszyk w parze jest lepszy od drugiego koszyka w parze, co zapisujemy

9.          Określić pojęcie relacji preferencji konsumenta.

Relacją preferencji konsumenta nazywamy zbiór P wszystkich par koszyków takich, że pierwszy koszyk towarów w parze jest słabo preferowany nad drugi koszyk w parze (jest nie gorszy od drugiego koszyka), co zapisujemy:

Własności:

1) - zupełność

2) - przechodniość (tranzytywność)

10.      Co to jest obszar obojętności względem danego koszyka.

Obszarem obojętności względem danego koszyka jest zbiór wszystkich koszyków należących do przestrzeni towarów, które są indyferentne (obojętne) z koszykiem , co zapisujemy: . Jest to relacja równorzędności.

11.      Określić, kiedy pewien koszyk dóbr jest optymalnym koszykiem w zbiorze koszyków.

Koszyk jest optymalnym koszykiem w zbiorze M, jeśli jest on nie gorszy od każdego innego koszyka z tego zbioru, co zapisujemy:

(Jest on jedynym najlepszym koszykiem albo jest jednym z wielu).

12.      Jakie warunki muszą być spełnione, aby pewna funkcja określona na przestrzeni towarów mogła pełnić rolę funkcji użyteczności konsumenta.

Funkcją użyteczności konsumenta nazywamy określoną na przestrzeni towarów funkcję spełniającą  dla dowolnej pary koszyków warunki:

1)

2)

Funkcja użyteczności wyraża subiektywny stosunek konsumenta do oferowanych na rynku koszyków towarów (bez względu na jego wymowę społeczną czy przyjęte normy).

13.      Określić, kiedy funkcja użyteczności określona na jest wklęsła na tym wzorze.

Funkcję nazywamy wklęsłą na , jeżeli spełniony jest warunek

14.      Określić, kiedy funkcja użyteczności określona na jest rosnąca na tym zbiorze.

Funkcję nazywamy rosnącą na , jeżeli prawdziwa jest implikacja:

15.      Kiedy w polu preferencji konsumenta występuje zjawisko niedosytu.

Warunek oznacza, że w koszyku x żadnego towaru nie ma mniej niż w koszyku y, a przynajmniej jednego jest więcej. Możemy zatem powiedzieć, że jeżeli z relacją preferencji konsumenta P związana jest rosnąca funkcja użyteczności, to jakikolwiek wzrost ilości jakiegokolwiek towaru w jakimkolwiek koszyku zwiększa użyteczność tego koszyka w oczach konsumenta (nowy koszyk x staje się silnie preferowany nad koszyk y).

Mówimy w takim przypadku, że w polu preferencji konsumenta  występuje zjawisko niedosytu.

16.      Przyjmując, że to funkcja użyteczności konsumenta zdefiniować pojęcie krańcowej użyteczności i-tego towaru w koszyku x oraz podać interpretację ekonomiczną.

Krańcową użytecznością i-tego towaru w koszyku X (i = 1, 2, 3, ..., n) nazywamy pochodną cząstkową rzędu pierwszego

Interpretacja ekonomiczna:

Krańcowa użyteczność i-tego towaru informuje nas, o ile (w przybliżeniu) zmieni się użyteczność koszyka x, jeżeli ilość i-tego towaru wzrośnie (zmaleje) o jednostkę przy czym ilości pozostałych towarów nie ulegną zmianie.

17.      Uzasadnić, że funkcja w postaci jest przykładem funkcji użyteczności, dla której spełnione jest tzw. Prawo Gossena.

Prawo Gossena: Krańcowa użyteczność każdego towaru maleje w miarę jak wzrasta jego spożycie.

Dowód:                pierwszy koszyk x = (2) < drugi koszyk x = (3)

18.      Podać interpretację ekonomiczną krańcowej substytucji towaru i-tego przez towar j-ty w danym koszyku dóbr.

Krańcową stopą substytucji towaru i-tego przez towar j-ty (w koszyku x) nazywamy wyrażenie:

Interpretacja ekonomiczna:

Krańcowa stopa substytucji pokazuje, o ile (w przybliżeniu) powinna zwiększyć się ilość j-tego towaru przy zmniejszeniu o jednostkę i-tego towaru, aby użyteczność koszyka towarów nie zmieniła się.

19.      Podać interpretację ekonomiczną elastyczności substytucji towaru i-tego przez towar j-ty w danym koszyku dóbr.

Elastycznością substytucji towaru i-tego przez towar j-ty (w koszyku x) nazywamy wyrażenie:

Interpretacja ekonomiczna:

Elastyczność substytucji pokazuje, o ile procent powinna zwiększyć się ilość j-tego towaru przy zmniejszeniu o jednostkę ilości i-tego towaru, aby użyteczność koszyka towarów nie zmieniła się.

20.      Podać przykład funkcji, której złożenie z daną funkcją użyteczności jest także funkcją użyteczności.

Taką funkcją jest gdyż:

i druga funkcja użyteczności np.:

21.      Podać, jaka jest odległość między następującymi koszykami dóbr: x = (2 kg mąki, „e” litrów mleka, „p” kg ziemniaków); y = (7/3 kg mąki, 5/2 litra mleka, 3 kg ziemniaków).

x = (2, e, p)              y = (7/3, 5/2, 3)

½2 – 7/3½ = 1/3 = max

½e – 5/2½ = ½2,71 – 2,5½ = 0,21

½p - 3½ = ½3,14 - 3½ = 0,14

22.      Udowodnić, że metryka określona wzorem d(x, y) = max½xi - yi½ dla i = 1, 2, ..., n spełnia odpowiednie aksjomaty.

a) spełnione, gdyż dla dowolnych

b) - symetria

c) - nierówność trójkąta

23.      Dla dwóch koszyków dóbr postaci: x = (3, 4) oraz y = (2, 5) znaleźć dwie liniowe kombinacje wypukłe koszyków.

x = (3, 4)              y = (2, 5)

Z = 1/3(3, 4) + 2/3(2, 5) = (1, 4/3) + (4/3, 10/3)

Z = (7/3, 14/3) – kombinacja wypukła

24.      Jakie własności posiada relacja indyferencji konsumenta.

Własności:

1) (zwrotność)

2) (symetryczność)

25.  Jakie własności posiada relacja preferencji konsumenta.

Własności:

1) - zupełność

2) - przechodniość (tranzytywność)

26.  Jakie własności posiada relacja preferencji konsumenta, która jest silnie wypukła.

Własności:

1)

2) 3)

27.      Podaj (tj. postać analityczną) przykład zbioru , który jest domknięty i ograniczony.

28.      Podaj (tj. postać analityczną) przykład zbioru , który jest domknięty i nieograniczony.

29.      Sprawdź, czy koszyk z = (11, 36, 38) należy do odcinka łączącego koszyki x = (5, 20, 60),      y = (20, 50, 10).

x = (5, 20, 60)    y = (20, 50, 10)    z = (11, 36, 38)

Równanie odcinka:

=[20-5, 50-20, 10-60]

=[15, 30, -50]

=[11-5, 36-20, 38-60]

=[6, 16, -22]

[6, 16, -22] = t · [15, 30, -50]

9 = t · 15              Þ  t = 6/15

16 = t · 30              Þ  t = 16/30

-22 = t · (-50)              Þ  t = 22/50

t1 ¹ t2 ¹ t3

Koszyk „z” nie należy do odcinka

30.      Sprawdź, czy relacja preferencji; P = {(a, a), (a, b), (a, d), (b, b), (b, c), (c, a), (c, c), (d, d), (d, c), (d, d)} jest zupełna i przechodnia.

a) nie jest zupełna

b) jest przechodni...