Matematyka - 348str.pdf - Matematyka - DlaInzyniera

MATEMATYKA

Zbiory i odwzorowania 2

Liczby zespolone 4 4

Macierze, wyznaczniki, układy równan liniowych 6 6

Algebra liniowa 2 2

Wektory w przestrzeni. Prosta i płaszczyzna w przestrzeni 6 6

Ci agi i szeregi liczbowe

4 4

Przestrzen metryczna

Rachunek rózniczkowy funkcji jednej zmiennej

6 8

Rachunek rózniczkowy funkcji wielu zmiennych

8 6

Całka nieoznaczona

6 6

Całka oznaczona

6 6

Równania rózniczkowe zwyczajne

8 8

Prace kontrolne

60 60

1. ZBIORY I ODWZOROWANIA

MATEMATYKA

1Zbioryiodwzrowana

1.1 Liczby naturalne i zasada indukcji zupełnej

Zbiór liczb naturalnych

N = {1,2,3,4,...}

oraz naturalne uporz adkowanie tego zbioru, w którym po kazdej liczbie naturalnej n nast epuje

liczba naturalna n+1,sa poj eciami pierwotnymi. Wszystkie własnosci liczb naturalnych

wynikaj ˛ azkilkuwłasnosci podstawowych, które przyjmuje si e bez dowodu jako aksjomaty

teorii liczb naturalnych. Do aksjomatów tych nalezy zasada indukcji zupełnej,która

formułuje twierdzenie:

Twierdzenie 1.1 Jezeli W jest własnosci aokreslon awzbiorzeN itaka, ze:

1. liczba 1 ma własnosc W,

2. dla kazdej liczby naturalnej n prawdziwa jest implikacja:

jezeli n ma własnosc W,ton+1ma własnosc W

to kazda liczba naturalna ma własnosc W.

Wykazemy, ze dla wszystkich liczb naturalnych i nie mniejszych od 5 zachodzi nierównosc

2 n >n 2

(1)

W tym celu udowodnimy, ze funkcja f (n)=2 n −n 2 przyjmuje wartosci dodatnie dla

wszystkich n naturalnych nie mniejszych od 5.Dlan = n 0 =5mamy f (n 0 )=f (n)=

32−25 > 0.Mamywykazac, ze dla n≥ 5 prawdziwa jest implikacja

f (n) > 0 ⇒f (n+1)> 0

W wyniku przekształcen otrzymujemy

f (n+1) = 2 n+1 −(n+1) 2 =2· 2 n −n 2 −2n−1=

=2· 2 n −2n 2 +

n 2 −2n−1

2 n −n 2

n 2 −2n−1

=2f (n)+(n−3) (n+1)+2

Wida ´ cstad, ze dla n≥ 5 spełniona jest nierównos ´ c(1).

Pot eg e a n owykładniku n naturalnym i podstawie a dowolnej deﬁniujemy indukcyjne za

pomoc arównosci:

1. a 1 = a,

2. a n+1 = a · a n dla dowolnego n naturalnego.

Zpowyzszych równosci wynika, ze a 2 = a·a, a 3 = a·a·a itd. Mozemy to wyrazi ´ cjednym

wzorem

a n = a · a · a · ... · a

| {z }

n razy

Uwaga 1.1 W zbiorze liczb naturalnych dodawanie i mnozenie s a działaniami wewn etrz-

nymi ikazde z tych działa ´ njestł aczne. Zatem N jest półgrup azewzgledu na dodawanie i

półgrup azewzgledu na mno zenie.

MATEMATYKA

1. ZBIORY I ODWZOROWANIA

1.2 Liczby całkowite i liczby wymierne

Zbiór liczb całkowitych

Z ={...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}

składa si ˛ ez:

1. liczb całkowitych dodatnich +1, +2, +3,...,któreuwazamy za identyczne z liczbami

naturalnymi 1, 2, 3,...,

2. liczb całkowitych ujemnych −1, −2, −3,..,któresa liczbami przeciwnymi do liczb

naturalnych,

3. liczby zero 0, która jest liczb acałkowit aneutraln˛a(anidodatnia, ani ujemn a).

Dwie liczby nazywamy liczbami wzajemnie przeciwnymi, jezeli ich suma jest zerem. Liczb e

przeciwn ˛adon oznaczamy −n, a liczb ˛eprzeciwn˛ado−n oznaczamy −(−n)=n.Liczba

przeciwn a do zera jest zero.

Uwaga 1.2 W zbiorze liczb całkowitych dodawanie, odejmowanie i mnozenie s a działaniami

wewn etrznymi.

Liczb awymierna nazywamy liczb e, któr amozna przedstawi ´ cwpostaciułamka zwykłego

n 6=0

którego licznik m jest dowoln a liczb ˛acałkowit a, a mianownik n jest liczb ˛acałkowit ˛arózn a

od zera. Zbiór liczb wymiernych oznaczamy Q.Zamiat m

n piszemy cz esto m/n. Liczb e

całkowit a m utozsamiamy z ułamkiem m

1 .

Przedstawienie liczby wymiernej w postaci ułamka zwykłego jest mozliwe na nieskonczenie

wiele sposobów, bowiem

n = km

k 6=0

n nazywamy skróconym, jezeli jego licznik i mianownik nie maj a wspólnego

podzielnika, a mianownik jest liczb acałkowit adodatnia.

Uwaga 1.3 W zbiorze liczb wymiernych dodawanie, odejmowanie, mnozenie i dzielenie s a

działaniami wewn etrznymi.

Mozemy teraz rozszerzy ´ cdeﬁnicj ˛ epotegi na wykładnik zero i wykładnik całkowity ujemny

dla dowolnej podstawy niezerowej

a 0 =1 a

−n =1/a n

dla a 6=0

Ułamek m

1. ZBIORY I ODWZOROWANIA

MATEMATYKA

1.3 Liczby rzeczywiste

1.3.1 Liczby niewymierne

Wsród wielkosci rozwazanych w geometrii s ˛atakie,któreniedaj˛asi˛ewyraz ´czapomoca

liczb wymiernych. Do wielkosci tych nalez a:

1. pole okr egu o promieniu 1,

2. długos´cprzekatnej kwadratu o boku jednostkowym,

3. długos ´ ckrawedzi szescianu o obj etosci równej 10 itp.

Dla wyrazenia tych wielkosci rozszerzono poj ecie liczby wprowadzaj ac liczby niewymierne.

Poszczególne liczby niewymierne s a dane jako pierwiastki pewnych równan, jako granice

pewnych ci agów lub za pomoc ainnychwarunków.Uwazamy, ze liczba niewymierna jest przez

dany warunek okreslona, jezeli warunek ten pozwala o kazdej liczbie wymiernej rozstrzygn ac

czy jest mniejsza, czy wi eksza od danej liczby niewymiernej. Warunek ten rozdziela zbiór liczb

wymiernych na dwie klasy: doln ˛aigórna. Mówimy, ze liczba niewymierna jest przekrojem

zbioru liczb wymiernych. Jednoczesnie warunek ten pozwala wyznaczy ´ cprzyblizenie wymierne

danej liczby niewymiernej z dowolnie małym bdem. Zilustrujemy to opisem.

Długosc x kraw edzi szescianu o obj etosci 10 jest liczb a wyznaczon a przez warunek x 3 =10.

Okazuje si e, ze szescian dowolnej liczby wymiernej jest albo wi ekszy albo mniejszy od tej

wartosci. Wówczas zaliczamy dan a liczb ˛ ewymierna d o klasy górnej lub dolnej. Jest to

przekrój zbioru liczb wymiernych wyznaczaj acy liczb e

√

10.

Sprawdzenie Klasa Przekrój Klasa

Sprawdzenie

warunku

dolna

górna

warunku

2 3 =8

2.1 3 =9.261

2.15 3 =9.938375

2.1

2.15

√

2.2

2.16

3 3 =27

2.2 3 =10.648

2.16 3 =10.077696

... ...

10 ... ...

10 zbłedem

m nie jszym od 0.01.Wpowyzszy sposób mozemy wyznaczy ´ cprzyblizenie wymierne liczby

Tak wi ec liczby wymierne 2.15 i 2.16 s aprzyblizeniami liczby niewymiernej

√

10 zbłedem dowolnie małym.

1.3.2 Przekrój Dedekinda

Deﬁnicja 1.1 Podział zbioru liczb wymiernych na dwa podzbiory A, B niepuste i takie, ze

1. kazda liczba wymierna nalezy do A lub do B,

2. ka ˙ zdaliczbawymiernanalez aca do A jest mniejsza od kazdej liczby wymiernej nalez acej

do B

nazywamy przekrojem zbioru liczb wymiernych.

Nie jest mozliwe, aby w klasie A istniałaliczbanajwieksza a iabyjednoczesnie w klasie B

istniała liczba najmniejsza b,gdy ˙ zwtedysrednia arytmetyczna nie mogłaby naleze´cdozadnej

MATEMATYKA

1. ZBIORY I ODWZOROWANIA

zklasA, B iwarunek1niebyłby spełniony. Fakt ten wyrazamy wówi ac: wzbiorzeliczb

wymiernych nie ma skoków.

Jest mozliwe, ze w klasie A istnieje liczba najwi eksza c,awklasieB nie ma liczby

najmniejszej, lub odwrotnie, w klasie B istnieje liczba najmniejsza c,awklasieA nie ma

liczby najwi ekszej. Wówczas mówimy, ze przekrój zbioru liczb wymiernych wyznacza

liczb ˛ ewymierna c.

Jezeli w klasie A nie ma liczby najwi ekszej, ani w klasie B nie ma liczby najmniejszej,

to mówimy, ze przekrój ujawnia luk e w zbiorze liczb wymiernych oraz wyznacza liczb e

niewymiern a, która t ˛eluk˛ezapełnia.

Jednolite uj ecie liczb wymiernych i niewymiernych za pomoc a przekrojów wprowadził

Dedekind.

1.3.3 Liczby rzeczywiste

Wszystkie liczby wymierne i niewymierne (wszystkie przekroje Dedekinda) razem wzi ete

tworz a zbiór liczb rzeczywistych R. Przy wykonywaniu działan na liczbach rzeczywistych

p osłu guj em y si ˛eprzyblizeniami wymiernymi tych liczb. Pokazemy to na przykładzie sumy

10 +

√

2.15 <

10 < 2.16

√

1.41 <

2 < 1.42

√

3.56 <

10 +

2 < 3.58

otrzymujemy przybli zenia sumy z błedem mniejszym od 0.02.

Uwaga 1.4 W zbiorze liczb rzeczywistych R dodawanie, odejmowanie, mnozenie, dzielenie

(przez liczb ˛ erózn ˛ aodzera)orazpotegowanie przy wykładniku całkowitym s a działaniami

wewn etrznymi.

Deﬁnicja 1.2 Pierwiastkiem arytmetycznym stopnia naturalnego n liczby rzeczywistej c

nazywamy liczb e rzeczywist a

√

x = n

(2)

która jest rozwi azaniem równania

x n = c

(3)

przy zastrzezeniu, ze jezeli n jest liczb a parzyst a, to x≥ 0 i c≥ 0.

Pierwiastek arytmetyczny stopnia parzystego liczby ujemnej nie istnieje,bowiemrównanie

(3) nie ma rozwi azania, gdy n jest pa rzyste, a c<0.J ez eli pier wia stek arytm et yczny is tniej e,

to jest okreslony jednoznacznie:

√

0=0, n

√

1=1, 3

√

8=2, 3

√ −8=−2, 4

√

16 = 2, 4

√ −16−

nie istnieje.

Deﬁnicja 1.3 Pot eg e a m/n owykładniku wymiernym n ,gdziem jest liczb acałkowit a, a n

liczb a naturaln a, deﬁniujemy wzorem

n = n

√

a m

dla a>0

(4)

ograniczaj ac si e do przypadku, gdy podstawa a jest liczb adodatnia.

√

2.Biorac przybli zenia dziesi etne tych liczb, dolne i górne, z błedem mniejszym od

0.01 idodajac je

Matematyka - 348str.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: