wykład 9.pdf

8Granicafunkcji,ci¡gło±¢funkcji,pochodnafunkcji.

Poznamypodstawowepoj¦ciaanalizymatematycznejsłu»¡cedocharakteryzowaniawłasno±ci

ró»nychwłasno±cifunkcjiokre±lonychnapodzbiorachIR n .Rozpoczniemyodpodaniadeﬁnicji

funkcjici¡głejokre±lonejnaodcinkuowarto±ciachwzbiorzeIRadalejprzejdziemydofunkcji

wieluzmiennych

9Granicafunkcji

Rozpatrujemyfunkcj¦ f :( a,b ) 7! IR.

n =1

punktówodcinka ( a,b ) ,takiego,»e lim n ! + 1 x n = x 0 ci¡gwarto±cifunkcjiwzi¦tychwkolejnych

wyrazachci¡gud¡»ydogczyli

n ! + 1 f ( x n )= g.

Abyzapisa¢,»egjestgranic¡funkcjifwpunkciex 0 stosujesi¦nast¦puj¡c¡notacj¦

lim

x ! x 0 f ( x )= g.

n =1 wpowy»szej

deﬁnicjiprzyjmuj¡warto±ciwi¦kszelubmniejszeod x 0 .Zwró¢myuwag¦,»esamafunkcjaniemusi

by¢okre±lonawpunkcie x 0 ,wktórymbadamygranic¦.

Zamiastsformułowania”granic¡funkcjigdy x d¡»ydo x 0 jest g ”mówi¢mo»natak»e,»e”

funkcja f d¡»ydo g gdy x d¡»ydo x 0 ”.

Uwaga2 Powy»szadeﬁnicjaobejmujetak»eprzypadekgdyzamiastgwpiszemy + 1 lub −1 .

Wtedymówimy,»efunkcjad¡»ydo + 1 lub −1 gdyxd¡»ydox 0 ”.

Podobniedeﬁniujesi¦granicefunkcjiwniesko«czono±ci

Deﬁnicja3 Funkcjafmagranic¦gw + 1 tzn.

x ! + 1 f ( x )= g

w.t.w.gdydladowolnegoci¡gu { x n } 1 n =1 takiego»e lim n ! + 1 x n =+ 1 istniejegranicaci¡gu

{ f ( x n ) } 1 n =1 i

lim

Deﬁnicja1 Niechx 0 2 [ a,b ] ,awi¦cwszczególno±cix 0 mo»eby¢punktemnabrzegudziedziny.

Funkcjafmagranic¦wpunkciex 0 2 [ a,b ] równ¡gw.t.w.je±lidladowolnegoci¡gu { x n } + 1

lim

Wprzypadkufunkcjiokre±lonejnaodcinkumo»naoczywi±ciemówi¢ogranicyprawostronneji

granicylewostronnejfunkcjiwpunkciewzale»no±ciodtegoczywyrazyci¡gu { x n } + 1

lim

n ! + 1 f ( x n )= g.

Podobniedeﬁniujesi¦granicefunkcjiw −1 .

Nietrudnopoda¢przykładfunkcji,któraniemagranicywniesko«czono±ci.We¹mywtymcelu

funkcj¦ f ( x )=sin x idwaci¡gi

x n = n,y n =

2 +2 n.

Zeznanychzeszkoływłasno±cifunkcjitrygonometrycznychwynika,»edlaka»dego n 2 IN

f ( x n )=sin n =0 ,f ( y n )=sin(

2 +2 n )=1 ,

S¡toci¡gistałe,którychgranices¡oczywi±cieró»ne.St¡dwynika,»egranicafunkcjisin x w

niesko«czono±cinieistnieje.

Kolejnyprzykładpokazuje,»efunkcjaograniczonamo»eniemie¢granicywpunkcie.We¹my

funkcj¦zwan¡sinusoid¡warszawsk¡

g ( x )=sin 1

x x> 0 .

Funkcjatajestograniczonabofunkcjasinusprzyjmujetylkowarto±cizprzedziału[0 , 1]iniema

granicywpunkcie x 0 =0.Abytouzasadni¢wybierzemydwaci¡gi

a n = 1

n ,b n = 1

2 +2 n

Oczywi±cie

n ! + 1 a n =lim

n ! + 1 b n =0 ,

ale

n ! + 1 sin b n =1 ,

Poni»szyrysunekprzedstawiaszkicwykresufunkcjisin 1 x .Zwró¢myuwag¦,»ezbli»aj¡csi¦dozera

warto±citejfunkcjioscyluj¡zmieniaj¡cznakniesko«czeniewielerazy.Mo»nałatwoudowodni¢,

»edladowolnejliczby y 2 [0 , 1]istniejeci¡g { x n } 1 n =1 taki,»e

n ! + 1 sin a n =0 , lim

n ! + 1 sin 1

lim

x n = y

lim

0.5

-0.5

-1

0.05

0.1

0.15

0.2

Rys.8.1.

10Ci¡gło±¢funkcji

Przejd¹myterazdopoj¦cia ci¡gło±cifunkcji .Spróbujmynajpierwintuicyjnieprzybli»y¢to

poj¦cieznaneprzecie»z»yciacodziennego.Wyobra¹mysobiepaj¦czyn¦rozpostart¡pomi¦dzy

dwomadrzewamiwlesie,którejobrazrejestrujemykamer¡video.Przyjmijmydalej,»epaj¦czyn¦

mo»emyreprezentowa¢jakopodzbiórprzestrzeniIR 3 .Wyobra¹mysobiedalej,»ewpaj¦czyn¦

wpadaowad.Nicipaj¦czynys¡elastyczneiulegaj¡odkształceniu.Zatrzymajmyklatk¦kamery

napoło»eniumaksymalnegoodkształceniapaj¦czyny.Współrz¦dneka»degopunktunale»¡cego

dopaj¦czynywchwilispoczynkuprzejd¡wwynikutakiegoprzekształcenianawspółrz¦dneod-

powiadaj¡cemumupunktowipoodkształceniu.Wtensposóbokre±lonazostałafunkcjaozn. F

,którawspółrz¦dnympunktówpaj¦czynyprzedodkształceniemprzyporz¡dkowujewspółrz¦dne

tychpunktówpoodkształceniu.Intuicjanampodpowiada,»ejesttoprzekształcenieci¡głebo

skoroni¢jestelastycznaulegajedynierozci¡gni¦ciulubprzesuni¦ciu.Wyobra¹mysobie,»epa-

j¦czynazostajeprzerwana.Wtedyodkształceniepaj¦czynyjestnieci¡głe.Nieci¡głajestwtedy

tak»efunkcja F .Zauwa»my,»ewobuprzypadkach,ci¡głyminieci¡głymfunkcjeopisuj¡cepoło-

»enieniciprzedipoodkształcenius¡ró»nowarto±ciowe(oilenicinieuległysklejeniu)itypu”na”

(surjekcja).Tymcojeró»nijestwła±nieci¡gło±¢wpierwszymprzypadkuijejbrakwdrugim.

Ustalmyuwag¦najednejnicipaj¦czynywychodz¡cejzjej±rodkaiprzyjmijmy,»eni¢repre-

zentujemyzapomoc¡odcinka.Wybierzmyjedenpunkt x naniej.Byuj¡¢rzeczmatematycznie

we¹mydowolnyci¡gpunktów { x n } + 1

n =1 d¡»ydo F ( x ).Je±lidochodzidozerwanianici

tograniceci¡gu { F ( x n ) } + 1

n =1 s¡ró»newzale»no±ciodtegozktórejstronyci¡g { x n } + 1

n =1 zbiegado

punktu x .

n =1 znicizbie»nydo x .Wprzypadkugdyniedochodzido

zerwanianicioczywi±cieci¡gpunktów { F ( x n ) } + 1

Rys.8.2Odkształcenieci¡głeinieci¡głe.

Funkcjajestci¡gławpunkcie x swojejdziedzinyje±lizbli»aj¡csi¦wdziedziniefunkcjidopunktu

x warto±citejfunkcjizbli»aj¡si¦dowarto±cifunkcjiwpunkcie x .Precyzyjnadeﬁnicjaci¡gło±ci

funkcjiwpunkciebrzminastepuj¡co:

Deﬁnicja4 Funkcjaf :( a,b ) ! IRjestci¡gławpunkciex 0 2 ( a,b ) IR n w.t.wgdydla

dowolnegoci¡gupunktów { x n } + 1

n =1 zezbioru ( a,b ) takiego,»e lim n ! + 1 x n = x 0 zachodzi

n ! + 1 | f ( x n ) − f ( x 0 ) | =0 .

Funkcj¦,którajestci¡gławka»dympunkcieswojejdziedzinynazywamyfunkcj¡ci¡gł¡.

Mo»narównie»stwierdzi¢opisowo,»eje±lifunkcjajestci¡głatomałymzmianomargumentów

funkcjiodpowiadaj¡niezbytwielkiezmianywarto±cifunkcji.Dlaprzykładusprawd¹my,»efunkcja

f ( x )= x 2 ,f :IR ! IRjestfunkcj¡ci¡gł¡.Ustalmypunkt x 0 iwe¹mydowolnyci¡gtaki,»e

lim

n ! + 1 x n = x 0

Chcemysprawdzi¢,»e

n ! + 1 x 2 n = x 2 0

Wtymcelurozpatrzymyci¡g

{ x 2 n − x 2 0 } + 1

n =1

iskorzystamyzewzoru( a − b )( a + b )= a 2 − b 2 .Przyjmijmy,»eci¡gjestograniczonytzn.istnieje

liczba M taka,»e | x n |¬ M dlaka»dego n 1.Mo»emyzatemzapisa¢

| x 2 0 − x 2 n |¬ ( | x n | + | x 0 | ) | x 0 − x n |¬ ( M + | x 0 | ) | x 0 − x n |

wykorzystuj¡cfakt,»eka»dyci¡gzbie»nyjestograniczony.Wida¢zatem,»eskoroci¡gpoprawej

stronied¡»ydo0totak»eci¡gpolewejstroniecoko«czydowód.

n ! + 1 f ( x n )= f ( x 0 ) czyli lim

lim

Uwaga5 Funkcjepot¦gowewykładnicze,logarytmiczneatak»etrygonometrycznes¡funkcjami

ci¡głymi.Uzasadnienietychfaktówniejesttrudnealewymagapewnejsprawno±cimatematycznej

wykraczaj¡cychpozazakrestejksi¡»ki.Czytelnikomzainteresowanympolecamksi¡»k¦[28].

Poni»szyrysunekprzedstawiawykresfunkcjinieci¡głej,którajestci¡głanapewnychpodzbio-

rachswojejdziedziny(mówimywtedykawałkamici¡głej.)

Rys.8.3Funkcjakawałkamici¡gła.

Zwró¢myuwag¦,»enapodstawiedanychempirycznychtrudnojeststwierdzi¢czydanyproces

ﬁzycznymaprzebiegci¡głyczyskokowygdy»zawszedysponujemytylkosko«czon¡liczb¡danych

pomiarowychinigdyniemamypewno±cijakijestprzebiegfunkcjipozatymidanymipunktami.

Istniej¡rozmaitesposobyzwane interpolacj¡funkcji zmierzaj¡cedopoł¡czeniaustalonychpunk-

tówpłaszczyznytakabyzawartebyływwykresiepewnejfunkcjici¡głej.Najprostszysposób,ale

niejedyny,topoł¡czy¢jeodcinkami.Toczyprzebiegprocesuﬁzycznegomaprzebiegci¡głyczy

skokowyjestnaogółistotnedlazrozumieniazjawiska,boobecno±¢skokównatychmiastprowadzi

dopytaniacojespowodowało.Bardzocz¦stoci¡gło±¢przebiegujakiego±procesuprzyjmujesi¦

jakokonsekwencj¦modelumatematycznegoopisuj¡cegodanyproces.Dajetosiln¡wskazówk¦,

»etakwła±nieprzebiegaprocesrzeczywisty,którydanymodelopisuje.Niektóreprocesyﬁzyczne

s¡ci¡głenp.warto±¢temperaturywokre±lonympunkcieZiemijakofunkcjaczasu.Zauwa»my,

»ewarto±cici±nieniaoraztemperaturyprzypowierzchniZiemijakofunkcjepoło»enias¡zgodnie

zteori¡ido±wiadczeniemfunkcjamici¡głymi.Ci¡głyjesttak»eruchZiemi,ci¡głajestfunkcja

opisuj¡capoło»enie(współrz¦dne)kamieniapodrzuconegodogóryjakofunkcj¦czasu.Zreguły

nieci¡głyprzebiegmaj¡wszelkiekatastrofy.Rozwa»mycho¢bypr¦dko±¢,jakofunkcj¦czasu,to-

cz¡cejsi¦kulibilardowej(sztywnej,niespr¦»ystej)uderzaj¡cejcentralnieotward¡kamienn¡±cian¦

iodbijaj¡c¡si¦odniej.Przedzderzeniemwektorpr¦dko±ci(patrzRozdz.9)skierowanyjestw

stron¦±cianyapozderzeniuod±ciany.Pr¦dko±¢piłkitenisowejuderzonejot¦sam¡±cian¦,ze

wzgl¦dunaspr¦»ysto±¢piłki,zmieniasi¦gwałtowniealewsposóbci¡gły.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: