skrypt_równ_różn.pdf

(1044 KB) Pobierz
Row.dvi
7660408.001.png 7660408.002.png 7660408.003.png 7660408.004.png
Skryptpowstałnabaziewykładówzprzedmiotu„Równaniaróżniczkowe”,któreprowadzę
dla studentów drugiego semestru kierunku Automatyka i Robotyka na Wydziale Elektro
technikiiAutomatykiPolitechnikiGdańskiej.Programwykładówzostałdobranyzjednej
strony pod kątem przydatności w dalszym toku studiów na tym kierunku, a z drugiej
strony tak, aby istniała realna szansa jego realizacji czasie 30 godzin wykładu i takiej sa
mej ilości ćwiczeń. Dodatkowe ograniczenia w możliwości pełnej argumentacji niektórych
twierdzeń wynikają z faktu, że studenci drugiego semestru nie odbyli jeszcze całego kursu
analizy matematycznej.
Skrypt jest dostępny w formie elektronicznej na mojej stronie domowej (www.mif.pg.
gda.pl/homepages/graz). Na stronie tej zamieszczone są również programy komputerowe
ilustrujące niektóre przykłady zawarte w skrypcie. Programy te zostały napisane przez
studentów Matematyki Stosowanej w ramach prowadzonego przeze mnie laboratorium z
układów dynamicznych.
Wojciech Grąziewicz
W.Grąziewicz RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
3
Spis treści
1 Wiadomości wstępne z równań różniczkowych
5
1.1 Podstawowe definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Interpretacja geometryczna równania rzędu pierwszego . . . . . . . . . . . . 13
2 Podstawowe typy równań różniczkowych zwyczajnych rzędu pierwszego 17
2.1 Równanie o zmiennych rozdzielonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Równanie jednorodne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2 Trajektorie ortogonalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.1 Równanie Bernoulliego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Równania różniczkowe wektorowe
34
3.1 Wiadomości wstępne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Układy liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3.1 Macierz fundamentalna i jej własności . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.2 Rezolwenta układu liniowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.3 Układy liniowe o stałych współczynnikach . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3.4 Metody wyznaczania macierzy e t A . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4 Skalarne równania liniowe rzędu n
75
4.1 Podstawowe definicje i twierdzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2 Skalarne równania liniowe o stałych współczynnikach . . . . . . . . . . . . . 79
4.3 Rozwiązywanie niejednorodnych równań liniowych o stałych współczynni
kach metodą przewidywań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.4 Drgania liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.5 Równanie Eulera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.6 Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą eliminacji . . . . . . . . 96
4
W.Grąziewicz RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
5 Interpretacja dynamiczna układów równań różniczkowych
99
5.1 Trajektorie fazowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2 Całki pierwsze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6 Elementy teorii stabilności
115
6.1 Stabilność w sensie Lapunowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.2 Stabilność układów liniowych o stałych współczynnikach . . . . . . . . . . . 118
6.3 Stabilność rozwiązań równania liniowego rzędu n . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.4 Stabilność rozwiązań układów nieliniowych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.5 Funkcja Lapunowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7 Przekształcenie Laplace’a
139
7.1 Definicja i podstawowe własności przekształcenia Laplace’a . . . . . . . . . 139
7.2 Przekształcenie odwrotne do przekształcenia Laplace’a . . . . . . . . . . . . 145
7.3 Zastosowanie przekształcenia Laplace’a do rozwiązywania równań różnicz
kowych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.4 Splot funkcji i jego własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7.5 Transformata oryginału okresowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
W.Grąziewicz RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
5
1 Wiadomości wstępne z równań różniczkowych
1.1 Podstawowe definicje
Równaniaróżniczkowesątopewnegorodzajurównaniafunkcyjne,czylitakierównania,w
których niewiadomą jest funkcja. W równaniu różniczkowym niewiadoma funkcja wystę
pujepodznakiempochodnej.Jeżeliniewiadomajestfunkcjąjednejzmiennej,torównanie
nazywa się równaniem różniczkowym zwyczajnym. Na przykład równania
y
′
+ x 2 y =sin x, y
′′
+2 yy
′ − y
′ 2 =0
... . Rząd najwyższej pochodnej występującej w
równaniunazywasięrzędemrównania.Pierwszeztychrównańjestrównaniemróżniczko
wymzwyczajnymrzędupierwszego,adrugierównaniemrzędudrugiego.Jeżeliwrównaniu
występuje funkcja dwóch lub więcej zmiennych oraz jej pochodne cząstkowe pierwszego
lubwyższychrzędów,totakierównanienazywasięrównaniemróżniczkowymcząstkowym.
Równanie
′
, y
′′
∂ 2 u
∂t 2 =0 ,
w którym niewiadomą funkcją jest funkcja u = u ( x,t ) , jest przykładem równania róż
niczkowego cząstkowego rzędu drugiego. Tutaj zajmować się będziemy tylko równaniami
różniczkowymi zwyczajnymi.
∂ 2 u
∂x 2
− 1
a 2
Niech dana będzie funkcja F : D −→
R, gdzie D ⊂
R n +2 . Równanie
F ( x,y,y
′
,y
′′
,...,y ( n ) )=0 ,
(1)
nazywamy równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n w postaci ogólnej. Jeżeliz rów
nania (1) można wyznaczyć y ( n ) przy pomocy pozostałych zmiennych, to otrzymamy
związek
y ( n ) = f ( x,y,y
′
,...,y ( n − 1) ) ,
(2)
który nazywamy równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n w postaci normalnej.
Weźmy pod uwagę następujące równanie:
y
′
= x 2 .
Poszukujemy funkcji y = y ( x ), której pochodna jest równa x 2 . Takich funkcji jest oczy
wiście nieskończenie wiele. Każda z funkcji postaci
y ( x )= 1
3 x 3 + C, C ∈
R ,
sąrównaniamiróżniczkowymizwyczajnymi.Równaniatewiążązmiennąniezależną x ,nie
wiadomą funkcję y i jej pochodne y
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin