Zaawansowana mechanika kwantowa. Wstęp do teorii przestrzeni Hilberta.pdf

(248 KB) Pobierz
342388958 UNPDF
ZAAWANSOWANAMECHANIKAKWANTOWA:
WSTPDOTEORIIPRZESTRZENIHILBERTA
Ł.Derkacz 1 ,R.Olkiewicz
IFTUWr.,2005
1 Uwagiidostrze»onebł¦dywnotatkachproszekierowa¢naadres:nikko@ift.uni.wroc.pl
1PrzestrzenieHilberta
Definicja1 Niech E b¦dzieprzestrzeni¡liniow¡(wektorow¡)nad K ( K=R , K=C ).Funkcj¦
k·k:E!R spełniaj¡canast¦puj¡cewarunki:
a) 8f2Ekfk > 0 , kfk=0,f=0
b) kf+gk 6 kfk+kgk8f,g2E
c) kafk=|a|kfk8f2E8a2K
nazywamynorm¡.Par¦ (V,k·k) nazywamyprzestrzeni¡unormowan¡.
Przykład1 E=K
n , a2K
n , a=(a 1 ,...,a n ) , a i 2K
Przykładynorm:
a) kak 1 =max i |a i |
b) kak 2 = P n i=1 |a i |
c) kak= p P n i=1 |a i | 2 normaeuklidesowa.
Definicja2 Niechdanyb¦dzieci¡g f n 2E .Mówimy,»eci¡g f n jestzbie»nydo f2E ,je»eli
lim n!1 kf−f n k=0 .Piszemywówczas lim n!1 f n =f lub f n !f .
Definicja3 Ci¡g f n nazywamyci¡giemCauchy’ego,je»eli
8 >09N8n,m > Nkf n −f m k<
Uwaga :Je»elici¡g(f n )jestzbie»nytojestci¡giemCauchy’ego.
Ztego,»ef n !fwynika9N8n > Nkf−f n k< .Gdyn,m > Ntozachodzi
kf n −f m k=kf n −f+f−f m k 6 kf n −fk+kf−f m k=kf−f n k+kf−f m k<2
Definicja4 Je»elika»dyci¡gCauchy’egowprzestrzeniunormowanej E jestzbie»ny,toprzestrze« E
nazywamyzupełn¡.Przestrze«unormowan¡izupełn¡nazywamyprzestrzeni¡Banacha.
Przykład2 Przestrze« K jestprzestrzeni¡Banachawzgl¦demka»dejznorm k·k 1 , k·k 2 , k·k .
Definicja5 Podprzestrze«liniow¡ DE nazywamyg¦st¡,je»eli
8f2E9(f n )D taki,»e f n !f
Przykład3 E=C[0,1] , kfk 1 =sup x2[0,1] |f(x)| jestnorm¡na E . E jestprzestrzeni¡Banacha.
Je»eli (f n ) jestci¡giemCauchy’ego,to
sup
x2[0,1]
|f n (x)−f m (x)|<
czyli 8x f n (x)!f(x) .Ztwierdzeniaozbie»no±cijednostajnej f jestfunkcj¡ci¡gł¡,czylinale»ydo
przestrzeni E .
Niech D=P| [0,1] . P jestzbioremwielomianiów. D jestpodprzestrzeni¡liniow¡w E .Ztwierdze-
niaStone’a-Weierstrassawynika,»e D jestg¦staw E .(Dlaka»dejfunkcjici¡głejznajdziemyci¡g
wielomianiówd¡»¡cychjednostajniedotejfunkcji.)
1
Definicja6 Mówimy,»e k·k spełniareguł¦równoległoboku,je»eli 8f,g2E zachodzi
kf−gk 2 +kf+gk 2 =2(kfk 2 +kgk 2 )
Przykład4 Norma kak 2 = P n k=1 |a i | niespełniaregułyrównoległoboku.Kontrprzykładznajd¹samo-
dzielnie.
Twierdzenie1 Normaeuklidesowaspełniareguł¦równoległoboku.
Dowód :f=(a 1 ,...,a n ),g=(b 1 ,...b n )
L= X |a i −b i | 2 + X |a i +b i | 2 =
= X (a i a i −a i b i −a i b i +b i b i +a i a i +a i b i +a i b i +b i b i )=
=2 X (|a i | 2 +|b i | 2 )=2(kfk 2 +kgk 2 )
Definicja7 Funkcj¦ h·,·i:E×E!K spełniaj¡c¡nast¦puj¡cewarunki
a) 8f2E hf,fi > 0 , hf,fi=0,f=0
b) hf+g,hi=hf,hi+hg,hi
c) haf,hi=ahf,hi8a2K
d) hf,gi=hg,fi
nazywamyiloczynemskalarnym.Par¦ (E,h·,·i) nazywamyprzestrzeni¡unitarn¡.
Twierdzenie2 (Nierówno±¢Schwarza).Niech E toprzestrze«unitarna.Wówczas 8f,g2E zacho-
dzi
|hf,gi| 6 p hf,fi p hg,gi
Dowód :Je±lig=0,tohf,gi=08f
Niechg 6=0.Dla2Khf+g,f+gi > 0
hf,fi+hg,fi+hf,gi+|| 2 hg,gi > 0
Podstawmy
=− hg,fi
kgk 2 =− hf,gi
kgk 2
=− hf,gi
kgk 2 =− hg,fi
kgk 2
Wtedy
hf,fi− hf,gi
kgk 2 hf,gi− hf,gi
kgk 2 hf,gi+ |hf,gi| 2
kgk 4 hg,gi > 0
Mno»ymyobustronnieprzezkgk 2
kfk 2 kgk 2 −2|hf,gi| 2 +|hf,gi| 2 > 0
|hf,gi| 2 6 kfk 2 kgk 2
|hf,gi| 6 kfkkgk
2
342388958.009.png 342388958.010.png 342388958.011.png 342388958.012.png 342388958.001.png 342388958.002.png
Twierdzenie3 Je»eli h·,·i jestiloczynemskalarnym,tofunkcja f! p hf,fi jestnorm¡,któr¡
spełniareguł¦równoległoboku.Nazywamyj¡norm¡hilbertowsk¡.
Dowód cz¦±ciowy :a2K.Warunekc)
kafk= p haf,afi= p ahf,afi=
q
q
aahf,fi= p |a| 2 hf,fi=|a|kfk
ahaf,fi=
Warunektrójk¡ta:
Korzystaj¡cznierówno±ciSchwarzaotrzymujemy
kf+gk 2 =hf+g,f+gi=hf,fi+hf,gi+hg,fi+hg,gi 6
6 kfk 2 +2kfkkgk+kgk 2 =(kfk+kgk) 2
Warunekrównoległobokuwynikawprostzdefinicji.
Definicja8 Przestrze«unitarn¡izupełn¡nazywamyprzestrzeni¡Hilberta.
Przestrze«Hilbertaoznacza¢b¦dziemyH.
Uwaga :K
n ziloczynemskalarnymha,bi= P n i=1 a i b i jestprzestrzeni¡Hilberta.
Przykład5 Przestrze« E=C[0,1] znorm¡ kfk 1 =sup x2[0,1] |f(x)| niejestprzestrzeni¡Hilberta.
Przykład6
(
X
)
l 2 =
(a n ):a n 2C,
|a n | 2 <1
n=1
Wprowadzamystruktur¦przestrzeniliniowej
(a n )+(b n )=(a n +b n )
c(a n )=(ca n ), c2C
Sprawdzamy,»esuma (a n )+(b n )2l 2
1 X
|a n +b n | 2 6
1 X
2(|a n | 2 +|b n | 2 )=2
1 X
|a n | 2 +2
1 X
|b n | 2 <1
n=1
n=1
n=1
n=1
Definiujemy
X
h(a n ),(b n )i=
a n b n
n=1
2 (|a n | 2 +|b n | 2 )<1
wi¦cszereg P a n b n jestbezwzgl¦dniezbie»ny.Forma h·,·i spełniadefinicjeiloczynusklarnego,wi¦c
jestonailoczynemskalarnym.
Przestrze« l 2 jestunitarna.
Szkicdowoduzupełno±ciprzestrzeni l 2
1 X
1 X
1
|a n b n |=
|a n ||b n | 6
n=1
n=1
n=1
t
k(a n )k= p h(a n ),(a n )i=
X
1
|a n | 2
n=1
3
1
1
Poniewa» 1 X
342388958.003.png 342388958.004.png 342388958.005.png 342388958.006.png 342388958.007.png
Musimypokaza¢,»eje»elici¡g (a n ) k , k2N jestci¡giemCauchy’egotojestzbie»nydopewnego
elementu (b n )2l 2
(a n ) k =(a k 1 ,a k 2 ,...,a k n ,...)2l 2
8 >09N2N8k,l > N k(a n ) k −(a n ) l k<
1 X
|a k n −a l n | 2 < 2
n=1
8n2N, |a k n −a l n |<
Zzupełno±cizbioru C
k!1 a k n =b n
Pozostajewykaza¢,»e (b n )2l 2 oraz,»e (a n )!(b n ) w l 2 .
8n2N9b n :lim
Definicja9 Funkcj¦ f:R k !C nazywamyrówn¡zeroprawiewsz¦dzie,je»elizachodzi
Z
R k |f(x)| 2 dx=0
Przykład7 Funkcja f:R!R
f(x)=
( 0 dla x2R\Z
1 dla x2Z
jestrównazeroprawiewsz¦dzie.
Przykład8
Z
L 2 (R
k )=
f:R
k !C:
R k |f(x)| 2 dx <1
gdzie x=(x 1 ,...,x k ) , dx=dx 1 ...dx k
(f+g)(x)=f(x)+g(x)
(cf)(x)=cf(x), c2C
k ) jestprzestrzeni¡wektorow¡.
Wprowadzamyform¦półtoraliniow¡
Z
hf,gi=
R k f(x)g(x)dx.
Poniewa»
Z
f(x)g(x)
dx 6 1
2
Z
|f(x)| 2 +|g(x)| 2 dx <1
R k
R k
wi¦cfunkcja f(x)g(x) jestbezwzgl¦dniacałkowalna.
Sprawdzamywłasno±ciiloczynuskalarnego
Z
hf,fi=
R k |f(x)| 2 dx > 0
< f,f >=0,f=0 prawiewsz¦dzie
4
Zpowy»szymidziałaniami L 2 (R
342388958.008.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin