04.pdf

(499 KB) Pobierz
60626870 UNPDF
Część 2 4. RAMY OBCIĄŻONE TERMICZNIE, OSIADANIEM PODPÓR ORAZ PRZYPADKI... 1
4. 
4. RAMY OBCIĄŻONE TERMICZNIE, OSIADANIEM PODPÓR ORAZ
PRZYPADKI SZCZEGÓLNE
4.1. Wpływ temperatury
Przy obliczaniu układów statycznie niewyznaczalnych należy pamiętać, że obciążenia takie jak
temperatura (ogrzanie równomierne i nierównomierne), osiadanie podpór (liniowe i kątowe), czy też błędy
montażowe wywołują oprócz przemieszczeń konstrukcji także siły wewnętrzne. Wszystkie wpływy zewnętrzne
ujęte są w układzie równań kanonicznych w symbolu R iP . Wartości współczynników R iP w przypadku
działania na konstrukcję temperatury wyznaczamy w dwóch etapach: najpierw analizujemy wpływ
temperatury rozłożonej równomiernie na wysokości przekroju t 0 , a potem wpływ temperatury rozłożonej
nierównomiernie  t .
Zajmijmy się przypadkiem, gdy pręt doznaje nierównomiernego ogrzania o temperaturę t = t d − t g .
Taka sytuacja występuje, gdy od dołu pręta działa inna temperatura niż od góry. Na początku należy
wyznaczyć wartości przęsłowych, przywęzłowych momentów zginających dla belek: obustronnie
utwierdzonej, jednostronnie utwierdzonej i podpartej na podporze ślizgowej (rys. 4.1).
i
t g
t d
k
i
t g
t d
k
i
t g
t d
k
Rys. 4.1. Układy statycznie niewyznaczalne obciążone temperaturą
Do rozwiązania belki niewyznaczalnej obciążonej temperaturą zastosujemy znaną nam metodę sił.
Obliczenia różnią się nieco w zależności od warunków brzegowych:
a) dla układu obustronnie utwierdzonego przyjmujemy układ podstawowy jak na rys. 4.2.
i
t g
t d
X 3
X 2
X 1
Rys. 4.2. Układ podstawowy
Schemat podstawowy uzupełnia układ równań kanonicznych:
{
11 X 1  12 X 2  13 X 3  1t = 0
21 X 1  22 X 2  23 X 3  2t = 0
31 X 1  32 X 2  33 X 3  3t = 0
(4.1)
w którym:
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
60626870.008.png 60626870.009.png
Część 2 4. RAMY OBCIĄŻONE TERMICZNIE, OSIADANIEM PODPÓR ORAZ PRZYPADKI... 2
it = ∫ s M ⋅ t t
h
ds
(4.2)
Wykonujemy wykresy momentów od nadliczbowych sił w stanach jednostkowych:
i
M 1
l
X 1 =1 [-]
i
X 2 =1 [-]
M 2
1
i
0
X 3 =1 [-]
M 3
Rys. 4.3. Stany jednostkowe
W celu obliczenia całek z iloczynów momentów skorzystamy z metody Wereszczagina - Mohra. Z
rysunku 4.3 widać, że działanie siły X 3 = 1 nie wywołuje momentu zginającego, a zatem poszczególne
współczynniki z indeksem 3 będą równe zeru.
11 = 1
EJ 2 ⋅ l ⋅ l ⋅ 3 ⋅ l = l 3
3 EJ
12 = 1
EJ 2 ⋅ l ⋅ l ⋅ 1 = l 2
2 EJ
22 = 1
EJ 1 ⋅ l ⋅ 1 = l
EJ
Przyjmując założenie, że dolne włókna ogrzane są wyższą temperaturą t d t g otrzymujemy:
h
2t = l ⋅ 1 ⋅ t t
2 ⋅ l ⋅ l ⋅ t t
h
Układ równań kanonicznych zmniejsza swój wymiar  3i = 0 :
{ 11 X 1  12 X 2  1t = 0
(4.3)
Podstawiając wyznaczone współczynniki ik i it otrzymujemy:
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
1t = 1
21 X 1  22 X 2  2t = 0
60626870.010.png
Część 2 4. RAMY OBCIĄŻONE TERMICZNIE, OSIADANIEM PODPÓR ORAZ PRZYPADKI... 3
{
3 EJ ⋅ X 1 l 2
2 EJ ⋅ X 2 =− l 2 ⋅ t t
2h
(4.4)
2 EJ ⋅ X 1 l
l ⋅ t t
2h
EJ ⋅ X 2 =−
Z drugiego równania układu (4.4) wyznaczamy:
X 2 = EJ
l − l ⋅ t t
h − l 2
2 EJ ⋅ X 1
(4.5)
Następnie podstawiamy otrzymaną zależność na X 2 do pierwszego równania i obliczamy równanie z jedną
niewiadomą.
3 EJ ⋅ X 1 l 2
2 EJ ⋅ EJ
− t t
h − l
2 EJ ⋅ X 1
=− l 2 ⋅ t t
(4.6)
2h
3 EJ ⋅ X 1 − l 2 ⋅ t t
2h − l 3
4 EJ ⋅ X 1 =− l 2 ⋅ t t
2h
l 3
12 EJ ⋅ X 1 = 0
X 1 = 0
Podstawiając X 1 = 0 do jednego z równań układu (4.4) ostatecznie otrzymujemy:
X 2 =−
l ⋅ t t
h ⋅ EJ
l =− t t EJ
(4.7)
h
Wykres momentu zginającego dla belki obustronnie utwierdzonej obciążonej różnicą temperatur  t
przedstawiono na rys. 4.4.
α
t tEJ
h
Δ
i
t g
t d
k
M t (n)
4.4. Wykres momentu zginającego w belce obustronnie utwierdzonej
Warto zauważyć, że wykres momentów w układzie niewyznaczalnym jest po stronie “zimniejszej”
t d t g .
Z uwagi na fakt, że X 1 = 0 można przypuszczać, że działanie temperatury w belce z podporą ślizgową
wywoła taki sam moment zginający.
b) dla układu jednostronnie utwierdzonego z przegubem należy rozwiązać zadanie dwukrotnie niewyznaczalne
i
t g
t d
X 2
X 1
Rys. 4.5. Układ podstawowy
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
l 3
l 2
l 3
l 3
60626870.011.png 60626870.001.png
 
Część 2 4. RAMY OBCIĄŻONE TERMICZNIE, OSIADANIEM PODPÓR ORAZ PRZYPADKI... 4
Układ podstawowy uzupełniają warunki na przemieszczenia:
{ 11 X 1  12 X 2  1t = 0
(4.8)
w których wyrazy wolne liczymy jak poprzednio:
it = ∫ s M ⋅ t t
h ds
(4.9)
Wykonujemy wykresy momentów w stanach jednostkowych:
i
M 1
l
X 1 =1 [-]
X 2 =1 [-]
i
0
M 2
Rys. 4.6. Stany jednostkowe
W celu obliczenia współczynników skorzystamy z metody Wereszczagina - Mohra. Z rysunku 4.6
wynika, że działanie siły X 2 = 1 nie wywołuje momentu zginającego, a zatem poszczególne współczynniki z
indeksem 2 będą równe zeru. Natomiast:
11 = 1
EJ 2 ⋅ l ⋅ l ⋅ 3 ⋅ l = l 3
3 EJ
a dla t d t g :
1t = 1
2 ⋅ l ⋅ l ⋅ t t
h
Układ równań kanonicznych ogranicza się do jednego równania 2i = 0 :
11 X 1  1t = 0
X 1 =− 1t
11
(4.10)
Podstawiając wyznaczone wcześniej współczynniki otrzymujemy wartość nadliczbowej reakcji:
X 1 =−
l 2 ⋅ t t
2h ⋅ 3 EJ
l 3 =− 3
2 ⋅ t t EJ
(4.11)
l h
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
21 X 1  22 X 2  2t = 0
60626870.002.png 60626870.003.png
Część 2 4. RAMY OBCIĄŻONE TERMICZNIE, OSIADANIEM PODPÓR ORAZ PRZYPADKI... 5
Wykres momentu zginającego dla belki jednostronnie utwierdzonej obciążonej różnicą temperatur
przedstawiono na rys. 4.7.
3
2
α
t tEJ
h
Δ
3
2
α
t tEJ
lh
i
Rys. 4.7. Wykres momentu zginającego w belce jednostronnie utwierdzonej
Korzystając z metody sił wyznaczyliśmy rozkład momentów zginających, a co za tym idzie wzory
transformacyjne na przęsłowe, przywęzłowe momenty zginające powstałe od nierównomiernego ogrzania  t .
Ostateczne wyniki zestawiono w tabeli 4.1, gdzie podano wykresy momentów po stronie włókien
rozciąganych, a znaki we wzorach podano zgodnie z zasadami metody przemieszczeń.
Tabela 4.1. Wzory transformacyjne od nierównomiernego ogrzania (t d > t g )
Schemat belki
M t
Wzór transformacyjny
α
t tEJ
h
M ik  t =− EJ ⋅ t t
h
t g
t d
i
k
i
k
M ki
 t
= EJ ⋅ t t
h
α
t tEJ
h
Δ
M ik  t =− EJ ⋅ t t
t g
t d
h
i
k
= EJ ⋅ t t
h
i
k
M ki
 t
3
2
α
t tEJ
h
Δ
2 EJ ⋅ t t
M ik  t =− 3
t g
t d
i
k
h
i
k
M ki
 t
= 0
Układ prętowy obciążony termicznie o dowolnym rozkładzie temperatur na wysokości przekroju
podzieliliśmy na przypadek działania  t i t 0 . Ponieważ określiliśmy już wpływ  t zajmiemy się
działaniem temperatury t 0 . Z założeń metody przemieszczeń wynika, że gdy na układ prętowy działają
bodźce zewnętrzne, mogą wystąpić jedynie przemieszczenia liniowe prostopadłe do osi pręta lub
przemieszczenia kątowe. Jednak ogrzanie równomierne powoduje wydłużenia prętów, a co za tym idzie,
powstanie dodatkowych reakcji i momentów. Taki wpływ musi zostać koniecznie uwzględniony.
Aby wyznaczyć wartości tych momentów musimy znaleźć relację pomiędzy kątami obrotów cięciw
prętów  ik t 0 , a wywołującą je temperaturą. Zależności te wyznaczymy w oparciu o zasady łańcucha
kinematycznego.
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Δ
Δ
60626870.004.png 60626870.005.png 60626870.006.png 60626870.007.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin