statystyka matematyczna - całość cz.2.doc

Miary koncentracji (skupienia)

Kurtoza – K

szereg rozdzielczy przedziałowy

rozkład normalny, krzywa Gausa 

K’ = K – 3    zmodyfikowany współczynnik Kurtozy

ZJAZD V, 18.11.2007 r. Ć

wariancja = 0, wtedy nie ma odchyleń

   nie jest to rozkład symetryczny,

                                               rozkład o asymetrii lewostronnej

rozkład lekko lewostronnie asymetryczny

trzeci moment zestandaryzowany

policzyć: współczynnik asymetrii Pearsona, Yule-Kendalla, Kurtozę –             do zadania o zawartości tłuszczu w mleku, które było wcześniej na ćw.

Wyniki:

As Pearsona - 0,24378

As (III moment zestandaryzowany) - 0,24627

K’ = K – 3 = - 0,87612

AQ = - 0,10072

K 2,12388

ZJAZD VI, 1.12.2007 r. W

Bardzo często ze zdarzeniami losowymi wiążemy pewne wielkości liczbowe. Zilustrujemy to na przykładach.

Przykład 1

Do pomiarów biometrycznych wybiera się losowo pewną grupę ludzi                  i mierzy się, np. ich wzrost. Mamy zatem przyporządkowanie: zdarzenie losowe (tj. losowo wybrany człowiek) – liczba (tj. wzrost wyrażony w cm).

Przykład 2

Fabryka produkuje stalowe liny. Kontrola techniczna wybiera pewną ilość   z wyprodukowanej partii i sprawdza wytrzymałość tych lin na zrywanie.            A więc znowu zdarzeniu (losowo wybrana lina) przyporządkowujemy liczbę (wytrzymałość na zerwanie – wyrażoną w kg/mm2.

Rozpatrujemy zbiór D wzajemnie wykluczających się zdarzeń elementarnych, tworzących pełną grupę zdarzeń.

Jeżeli każdemu ze zdarzeń zbioru D przyporządkujemy jakąś liczbę rzeczywistą, to takie przyporządkowanie jest funkcją rzeczywistą określoną na zbiorze D. Funkcję te nazywamy zmienną losową                          i oznaczamy dużymi literami łacińskimi X, Y, Z, itp. Wartości, jakie te zmienne przybierają, oznaczamy małymi literami x, y, z…

Jeżeli w wyniku realizacji pewnego doświadczenia pojawi się jakieś zdarzenie E, ze zbioru D, to jest to równoważne zdarzeniu polegającemu na tym, że zmienna losowa X przybiera wartość x, gdzie x jest liczbą przyporządkowaną zdarzeniu E.

Możemy to zapisać w formie:

Zmienną losową jest więc taka zmienna, która w wyniku doświadczenia przybiera różne wartości z różnym prawdopodobieństwem (np. tak jak             na tym rysunku):

Rozróżniamy dwa rodzaje zmiennych losowych:

1.    Zmienne losowe skokowe (nieciągłe, dyskretne).

2.    Zmienne losowe ciągłe.

Zmiennymi losowymi skokowymi nazywamy takie zmienne,                   które mają skończony lub przeliczalny zbiór wartości.

Zmienne skokowe mogą zatem przybierać tylko niektóre wartości liczbowe (często są to wartości liczb naturalnych).

Przykłady zmiennej losowej skokowej:

- wydajność robotnika w ilościach detali na godzinę

- liczba detali wadliwych w próbce pobranej od pewnej partii

- liczba wad na pewnej długości tkaniny.

Zmiennymi losowymi ciągłymi nazywamy takie zmienne losowe,                 które mogą przybierać dowolne wartości liczbowe, należące do pewnego przedziału. Zbiór wartości zmiennej losowej ciągłej jest nieskończony               i nieprzeliczalny.

Przykłady zmiennej losowej ciągłej:

- ciężar odkuwek

- grubość blachy

- wytrzymałość na rozciąganie stali

- zawartość pierwiastków w stali, itp.

ROZKŁAD I DYSTRYBUANTA SKOKOWEJ ZMIENNEJ LOSOWEJ

Rozważamy zmienną losową X typu skokowego. Każdej realizacji zmiennej przyporządkowane jest pewne prawdopodobieństwo. Zmienna ta przybiera wartości:

x1, x2, x3, …, xi,… xn odpowiednio z prawdopodobieństwem:

p1, p2, p3, …, pi,… pn

Rozkładem skokowej zmiennej losowej X nazywamy prawdopodobieństwo tego, że zmienna ta przybiera wartości xi,                       co zapisujemy:

Ponieważ wartości xi stanowią pełną grupę zdarzeń, więc  .

Gdy x jest pewną liczbą rzeczywistą, to prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przybierze wartości mniejsze od liczby x, jest funkcją, którą oznaczamy F(x) i nazywamy dystrybuantą zmiennej losowej X.

Dystrybuanta może przybierać wartości od 0 do 1.

Związek pomiędzy funkcją rozkładu i dystrybuantą jest prosty. Uszeregujmy wartości zmiennej losowej X w porządku rosnącym:

Gdy liczba rzeczywista x spełnia nierówność:

to:

Wartość dystrybuanty otrzymuje się więc przez kumulowanie wartości funkcji rozkładu (rysunki).

DYSTRYBUANTA ZMIENNEJ LOSOWEJ CIĄGŁEJ.

GĘSTOŚĆ PRAWDOPODOBIEŃSTWA.

Dystrybuantę zmiennej losowej ciągłej definiuje się podobnie jak dystrybuantę zmiennej losowej skokowej. Jest to więc prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że zmienna losowa X przyjmuje wartość mniejszą od pewnej rzeczywistej wartości x.

    …………(1)

Rozważmy dwie liczby rzeczywiste x1 i x2. Niech x1 < x2.

Chcemy znaleźć:  .

Zdarzenie X < x2  rozkłada się na dwa zdarzenia:

              oraz 

Widać, że

stąd:

                    ……….. (2)

Posługując się pojęciem dystrybuanty ostatnią równość można zapisać następująco: z (1) i (2) wynika:

……….. (3)

Dla zmiennej losowej ciągłej funkcję rozkładu należy zdefiniować inaczej niż dla zmiennej losowej skokowej.

Mianowicie:

Funkcją rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X (ciągłej) nazywa się prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym,                  że zmienna losowa przyjmuje jedną z wartości należących do pewnego przedziału, co oznacza się symbolem:

Z wzoru (3) wynika, że funkcja rozkładu zmiennej losowej ciągłej jest przyrostem dystrybuanty, to znaczy, że:

Gdy , wtedy , gdzie:

r(x) – pewna nieskończenie mała wartość.

Z określenia różniczki wynika, że:

                       bo   

gdzie:  →...