Strona główna – Mechanika część 1 – Mechanika część 2 - Grawitacja – Materia i ciepło - Elektryczność – Magnetyzm i elektromagnetyzm – Ruch drgający – Natura światła – Atom i fizyka współczesna - Księga gości - Słowniczek -  Ankieta

Ruch drgający i falowy

     1. Ruch harmoniczny

1.1. Pojęcie ruchu harmonicznego

Jednym z najbardziej rozpowszechnionych ruchów w mechanice jest ruch ciała drgającego. Przykładem takiego ruchu może być ruch tłoka w silniku spalinowym, praca ludzkiego serca, ruch huśtawki, ruch strun gitary czy zmiany napięcia na zaciskach pracującej prądnicy. pracującej prądnicy. Cechą charakterystyczną tych ruchów jest ich okresowa powtarzalność co oznacza, że po upływie określonego czasu zwanego okresem, ciało drgające powtarza ten sam ruch od nowa.

Spośród wielu mechanicznych ruchów drgających zajmiemy się opisem ruchu harmonicznego. Jest to taki ruch, w którym położenie ciała zmienia się w zależności od czasu sinusoidalnie.

Jakie szczególne cechy ma ruch harmoniczny? W celu znalezienia odpowiedzi na powyższe pytanie posłużymy się przykładem kulki zawieszonej na sprężynie.

Po zawieszeniu kulki sprężyna się odkształca. Działa na nią siła ciężkości kulki powodując wydłużenie sprężyny. Równocześnie pojawia się siła sprężystości, która po pewnym czasie zrównoważy siłę ciężkości kulki. Kulka przyjmie wtedy tzw. położenie równowagi (rys. l —pozycja l).

Rys. l. Ruch kulki zawieszonej na sprężynie.

Jeżeli wychylimy kulkę z położenia równowagi (działając siłą) a następnie puścimy swobodnie, wówczas kulka będzie wykonywać drgania.

W pozycji 2 układ ciał (sprężyna i kulka) posiada energię potencjalną sprężystości, prędkość kulki jest równa zeru a wychylenie z położenia równowagi maksymalne. W tym położeniu na kulkę działa siła ciężkości oraz większa niż w położeniu l sita sprężystości bowiem sprężyna jest bardziej odkształcona. Kulka nie będzie już w równowadze i wypadkowa siła pociągnie ją ku górze. Zaobserwujemy wzrost prędkości kulki a więc wzrost jej energii kinetycznej. Zmniejszać się zaś będzie wychylenie kulki oraz siła sprężystości.

W pozycji 3 kulka osiągnie znowu położenie równowagi i wypadkowa sit działających na kulkę będzie równa zeru. Natomiast jej prędkość oraz energia kinetyczna będą maksymalne. Właśnie dzięki zapasowi energii kinetyczne! kulka minie położenie równowagi i poruszać się będzie w górę ściskając sprężynę. Prędkość i energia kinetyczna kulki będą maleć, wzrastać zaś będzie wychylenie oraz energia potencjalna sprężystości.

W pozycji 4 kulka zatrzyma się osiągając górne maksymalne wychylenie. Jej energia kinetyczna całkowicie zamieni się w energię sprężystości. Wypadkowa sita działająca na kulkę w tym położeniu zwrócona będzie w dół, bowiem siła sprężystości jest teraz mniejsza od jej siły ciężkości. Siła ta spowoduje ruch kulki w dół. Zwiększać się będzie jej prędkość i energia kinetyczna a maleć energia sprężystości.

W pozycji 5 kulka ponownie znajduje się w położeniu równowagi. Pomimo, że wypadkowa siła jest równa zeru kulka nie zatrzymuje się, bo ma nabytą prędkość. Przechodzi znów poniżej punktu równowagi i jej energia kinetyczna przekształca się w energię sprężystości.

W pozycji 6 kulka zajmuje maksymalne dolne wychylenie z położenia równowagi. Wypadkowa siła skierowana jest ku górze i powodować będzie powrót kulki do położenia równowagi. Jej energia sprężystości zamieniać się będzie w energię kinetyczną i dalej sytuacja będzie się powtarzała.

Po przeanalizowaniu ruchu drgającego kulki zawieszonej na sprężynie możemy wyciągnąć następujące wnioski:

• torem ruchu drgającego jest odcinek,

• odcinek ten przebywa ciało w jednakowych odstępach czasu, równych połowie okresu,

• wartość prędkości ulega zmianie osiągając w położeniu równowagi wartość maksymalną a w skrajnych położeniach prędkość ciała jest równa zeru,

• wartość siły działającej na ciało nie jest stała co oznacza, że w ruchu drgającym zmianie ulega przyśpieszenie,

• podczas ruchu następuje przemiana jednej formy energii mechanicznej w drugą.

Ponieważ w czasie ruchu drgającego kulki jej położenie względem stanu równowagi zmienia się, wprowadzimy dwie wielkości opisujące to położenie. l tak: maksymalne wychylenie ciała z położenia równowagi oznaczymy symbolem A i nazywać będziemy amplitudą, natomiast położenia pośrednie — symbolem x i nazwiemy wychyleniem. Wychylenie jest więc odległością punktu wykonującego drgania harmoniczne od położenia równowagi, zaś maksymalne wychylenie x = A.

Z ruchem drgającym harmonicznym związane są dwie wielkości fizyczne, które znane Ci są bardzo dobrze a mianowicie okres ruchu i częstotliwość. Przypomnijmy je tutaj jeszcze raz.

    Okresem drgań nazywamy czas, w którym ciało wykona jedno pełne drganie (lub jest to odstęp czasu, po upływie którego drganie się powtarza) a częstotliwość jest to liczba drgań przypadająca na jednostkę czasu. Związek pomiędzy okresem T i częstotliwością f jest następujący:

1

f =

T

Gdybyśmy wykonali serię zdjęć filmowych kulki drgającej ruchem harmonicznym, otrzymalibyśmy obraz umożliwiający sporządzenie wykresu tego ruchu. Wykres taki przypominający sinusoidę jest pokazany na rysunku 2.

Rys. 2. Wykres wychylenia x jako funkcji czasu w ruchu harmonicznym.

Wartość funkcji sina zawarta jest w przedziale od -l do +1 czyli -l £ sina £ l

Natomiast wartość wychylenia ograniczona jest amplitudą –A £ x £ +A. Możemy więc zapisać:

gdzie:

x - wychylenie z położenia równowagi, A - amplituda, a - faza ruchu. Ponieważ a = w × t, więc wzór na wychylenie przyjmie postać:

[2] x= A× sina t

Na podstawie równania 2 możemy potwierdzić zdanie wypowiedziane na początku — rzeczywiście wychylenie zmienia się sinusoidalnie.

Drgania, w których wartość wychylenia x zmienia się w czasie jak funkcja sinus nazywamy drganiami harmonicznymi.

Rys. 3. Rysunek do zadania PA.

1.2. Prędkość w ruchu harmonicznym.

Obserwacja ruchu kulki zawieszonej na sprężynie pozwala dostrzec pewne podobieństwa ruchu harmonicznego do ruchu po okręgu. Po pierwsze, oba ruchy są okresowe: po pewnym czasie T powtarzają się. Po drugie, oba ruchy odbywają się po torze zamkniętym: ruch harmoniczny po odcinku, drugi ruch po okręgu. Po trzecie, siła w obu ruchach jest skierowana do środka: odcinka lub okręgu. Skorzystamy z tych podobieństw omawiając kolejno prędkość i siłę w ruchu harmonicznym.

Ruch harmoniczny można potraktować jako ruch rzutu punktu poruszającego się po okręgu na prostą. Jeżeli punkt będzie poruszał się po okręgu o promieniu r, to jego rzut będzie się poruszał ruchem drgającym wzdłuż odcinka o długości 2 • r. Wobec tego prędkość ciała poruszającego się ruchem harmonicznym jest rzutem prędkości ciała poruszającego się po okręgu (rys. 4). Przeanalizujmy to bardziej dokładnie.

Wyobraź sobie ciało poruszające się po okręgu. W pewnej chwili znajduje się ono w punkcie A i posiada prędkość v styczną do toru. Rozkładając prędkość tę na dwie składowe v1 i v2 możemy stwierdzić, że na ruch punktu B wpływa tylko składowa v1.

Rys. 4. Prędkość ciała w ruchu harmonicznym jest rzutem prędkości ciała poruszającego się po okręgu.

Składowa v1 jest prędkością punktu poruszającego się ruchem harmonicznym. Obliczmy tę prędkość. Z rysunku 4 mamy

cosa = v1 / v

skąd

v1 = v • cosa

lecz

v = w • A ponieważ r = A

Wobec tego otrzymujemy v1 = w • A • cosa

Uogólniając możemy stwierdzić, że prędkość v punktu wykonującego drgania harmoniczne wyrażona jest wzorem

lub

[4] v = w • A • cosw × t (ponieważ a = w t)

Zwróć uwagę, że prędkość ciała poruszającego się ruchem harmonicznym zależy od fazy a :

• dla a = 0°, cos 0° = l i prędkość ciała w tym położeniu jest maksymalna, v = w • A,

• dla a =90°, cos90°=0 i v=0.

Wyniki te zgadzają się z naszymi wcześniejszymi obserwacjami ruchu kulki

zawieszonej na sprężynie.

Zależność prędkości od czasu ilustruje rysunek 5.

Rys. 5. Prędkość w ruchu drgającym harmonicznym zależy od czasu.

     2. Siła i przyśpieszenie w ruchu harmonicznym

2.1. Siła w ruchu harmonicznym.

   Siła działająca na ciało poruszające się ruchem harmonicznym —podobnie jak prędkość—jest rzutem siły działającej na ciało poruszające się po okręgu.

    Na punkt A poruszający się ruchem po okręgu działa siła dośrodkowa F skierowana wzdłuż promienia do środka okręgu (rys. 6). Po rozłożeniu jej na dwie składowe f1 i F2; możemy stwierdzić, że na ruch punktu B wpływa tylko składowa f1.

Rys. 6. Siła działająca na ciało w ruchu harmonicznym jest rzutem siły działającej na ciało poruszające się po okręgu.

Jak widać z rysunku 3, siła f1 wyrazi się wzorem

f1 = F • sina

Zamiast F możemy podstawić jej wartość

F = m× v2 / r

Uwzględniając, że r = A i v=w × A otrzymujemy

[5] F= - m • w 2 •A• sina

gdzie minus oznacza, że siła ma przeciwny zwrot do kierunku wychylenia ciała. Jest to charakterystyczna cecha siły wywołującej drgania harmoniczne.

Siła działająca na ciało poruszające się ruchem harmonicznym podobnie jak prędkość zależy od fazy a :

• dla a = 0°, sin 0° = O i F = O,

• dla a = 90°, sin 90° = l i siła osiąga maksymalną wartość

F= - m • w 2 •A

Ponieważ A• sina = x (równanie 1) wiec wyrażenie na siłę w ruchu harmonicznym może przybrać inną postać

[6] F = - m • w 2 •A• x

gdzie:

m — masa ciała drgającego,

w — prędkość kątowa, w = 2•p • f,

x — wychylenie ciała z położenia równowagi. Iloczyn masy i prędkości kątowej w równaniu 6 jest dla danego układu drgającego wielkością stałą. Oznaczymy go symbolem k i nazwiemy współczynnikiem sprężystości

k = rn•w 2

Wobec tego siła działająca na ciało wykonujące ruch harmoniczny będzie miała postać

[7] F= - k • x

Na podstawie równania 7 widać, że wraz ze wzrostem wychylenia ciała z położenia równowagi proporcjonalnie zwiększa się działająca siła. Siła ta w ruchu drgającym harmonicznym powoduje powracanie ciała do położenia równowagi, dlatego czasem nazywana jest silą zwrotną.

Znając zależność siły od wychylenia możemy podać inną definicję ruchu harmonicznego. Brzmi ona następująco:

Ruchem harmonicznym nazywamy taki ruch drgający, w którym działająca siła jest wprost proporcjonalna do wychylenia ciała z położenia równowagi.

2.2. Przyśpieszenie w ruchu harmonicznym.

W ruchu harmonicznym zarówno wartość siły działającej na ciało jak i jej zwrot zmieniają się. Obliczmy przyśpieszenie w tym ruchu. Na podstawie II zasady dynamiki mamy

a = F / m

lecz

F= - m • w 2 •A• sina (równanie 5)

stąd

Przyśpieszenie ciała podobnie jak wychylenie, prędkość czy siła w ruchu harmonicznym zmienia się. Wykres zależności przyśpieszenia od czasu pokazuje rysunek 8.

Rys. 8. Przyśpieszenie w ruchu harmonicznym zależy od czasu.

Ponieważ przyśpieszenie w ruchu harmonicznym nie jest stałe oznacza to, że ruch harmoniczny nie jest jednostajnie zmiennym.

Pytania i zadania

1. Po upływie jakiego czasu ciało drgające ruchem harmonicznym o okresie T = 8 s przebędzie drogę równą:

     a) całej amplitudzie

     b) czterem amplitudom?

2. Oblicz przedział czasu odpowiadający odcinkowi AB i AC na rysunku 3, jeżeli częstotliwość w tym ruchu harmonicznym wynosi f =10 Hz.

3. Ciało wykonuje drgania harmoniczne o okresie drgań T = 4 s. Obliczona prędkość tego ciała w chwili przechodzenia przez położenie równowagi wyniosła v = 0,5 m/s. Jaka będzie prędkość tego ciała po upływie 4 sekund licząc od chwili przejścia przez położenie równowagi?

4. Ciało wykonuje drgania harmoniczne o okresie T = 3 s i amplitudzie A =0,2 m. Znajdź wychylenie i prędkość ciała w chwili t = 0,25 s po przejściu przez położenie równowagi.

5. Ciało wykonuje drgania harmoniczne o okresie T = 4 s i amplitudzie A = 20 cm. Oblicz wychylenie dala z położenia równowagi po czasie t = 1, 2, 3 i 4 s.

6. Ciało wykonuje drgania harmoniczne o amplitudzie A =- 30 cm. Częstotliwość drgań ciała wynosi f = 0,5 Hz. Oblicz maksymalną prędkość tego data.

7. Jaka jest zależność siły od wychylenia w ruchu drgającym harmonicznym?

8. Jak zmieni się siła działająca na ciało wykonujące drgania harmoniczne, jeżeli wychylenie zwiększymy dwukrotnie?

3. Wahadło matematyczne

3.1. Silą powodująca ruch wahadła.

Omówimy teraz drugi przykład ruchu harmonicznego — ruch wahadła matematycznego.

Wahadłem matematycznym będziemy nazywali ciało o masie m i niewielkiej objętości (czyli punkt materialny), zawieszone na nieważkiej i nierozciągliwej nici o długości l.

W położeniu równowagi ciężar ciała zawieszonego na nici jest zrównoważony przez siłę sprężystości nici i kulka pozostaje w spoczynku.

Co się stanie jeżeli wychylimy ciało z położenia równowagi? Na kulkę działa pionowo w dół siła ciężkości F. Po rozłożeniu jej na dwie składowe F1 i f2 możemy stwierdzić, iż składowa F2 działająca wzdłuż nici nie wpływa na ruch, bo jest zrównoważona przez siłę sprężystości nici. Nas interesować będzie druga składowa f1 — składowa powodująca powracanie kulki do położenia równowagi (rys. 9).

Rys. 9. Siły w wychylonym wahadle.

Z rysunku widać, że wartość siły f1 jest równa F1 = F • sin a

Ale F = m × g

Więc F = m × g × sin a

Lecz sina = x / l (słuszne tylko dla małych kątów)

Stąd F1 = m. g x / l Ogólnie siła powodująca ruch kulki wahadła wyrazi się wzorem:

[10] F= - m g x / l

gdzie znak minus oznacza przeciwny zwrot siły do wychylenia.

Analizując równanie 10 wyciągnąć możemy następujący wniosek: siła powodująca ruch kulki wahadła jest wprost proporcjonalna do wychylenia kulki z położenia równowagi, więc ruch wahadła jest ruchem harmonicznym.

3.2. Okres drgań wahadła.

Ponieważ ruch wahadła jest ruchem harmonicznym to możemy zastosować równanie 6 w postaci

F = - m • w 2 • x

i porównać je z równaniem 10 F= - m g x / l

Otrzymamy wówczas następującą zależność:

m • w 2 • x = m g x / l

a po uproszczeniu

w 2 = g / l

Ponieważ prędkość kątowa z okresem drgań związana jest zależnością

w = 2 p / f

to po podstawieniu otrzymamy

4p 2 / T2 = g / l

Przekształcając powyższe równanie otrzymamy wzór pozwalający obliczyć okres drgań wahadła matematycznego.

[11] T = 2 p Ö (l / g)

Okres drgań wahadła zachodzących pod wpływem składowej siły ciężkości zwany jest okresem drgań własnych. Ze wzoru (równanie 11) wynika, że okres drgań własnych wahadła matematycznego zależy od jego długości i przyśpieszenia grawitacyjnego, nie zależy natomiast od jego masy i amplitudy drgań.

Właściwość wahadła polegająca na niezależności okresu drgań od jego amplitudy nazwana została izochronizmem i zastosowana w zegarach. Zjawisko izochronizmu odkrył Galileusz około 1580 roku, jednak dopiero w 1636 roku rozpoczęto — najpierw nieudane — próby zbudowania zegara wahadłowego. Wynalazcą tego typu konstrukcji był Huygens, o którym usłyszysz w następnym module. Budowaniem zegarów w XVII wieku zajmowało się także dwóch znanych Polaków. Jednym z nich był sławny gdański astronom Jan Heweliusz (1611-1687), który za pomocą zegara wahadłowego własnej konstrukcji próbował mierzyć czas zaćmienia Słońca.

Drugim znanym konstruktorem zegarów był jezuita sprawujący funkcję bibliotekarza króla Jana Sobieskiego — Adam Amandy Kochański (1631-1700). Jego dziełem było zbudowanie zegarka małego formatu z balansem i spiralą drgającą w polu magnesu stałego.

3.3. Rezonans mechaniczny.

Aby mówić o zjawisku rezonansu musimy zdefiniować pojęcie drgań własnych. Mówiliśmy już o nich; wiesz jakim wzorem się wyraża i od czego zależy okres drgań własnych kulki zawieszonej na sprężynie czy wahadła matematycznego. W obu przypadkach działaliśmy na ciała siłą zewnętrzną odchylając je z położenia równowagi i dalej zachowanie się ciał było „samorzutne" — nie dotykaliśmy podczas ruchu kulki wahadła, czy kulki na sprężynie. Możemy powiedzieć, że:

Drganiami własnymi lub swobodnymi nazywamy drgania układu bez oddziaływania z otoczeniem.

Każde ciało sprężyste charakteryzuje się drganiami własnymi o stałym okresie. Drgają deski podłogi, ściany budynków, szyby w oknach, struny instrumentów muzycznych itd.

Drgania własne — to drgania o stałej amplitudzie. W rzeczywistości drgania własne, których amplituda nie zmienia się nie istnieją. Siły hamujące ruch, na przykład tarcie drgającej masy o otaczający ośrodek powoduje zmniejszanie się amplitudy drgań. Domyślasz się z pewnością, iż spowodowane jest to utratą części energii przez układ.

Drgania o zmniejszającej się amplitudzie nazywamy drganiami tłumionymi. Zanikanie (gaśniecie, tłumienie) drgań odbywa się przy niezmiennym ich okresie.

Przykładem drgań tłumionych mogą być wahania huśtawki raz odchylonej od położenia równowagi i swobodnie puszczonej; po pewnym czasie drgania zanikną i huśtawka zatrzyma się. Z praktyki wiemy, że można przeszkodzić zanikaniu drgań przez udzielanie w odpowiednich odstępach czasu lekkich pchnięć. Pchnięć tych musimy udzielać huśtawce w tym samym rytmie, w którym waha się huśtawka. W tym samym rytmie oznacza, że należy uderzać huśtawkę w odstępach czasu równych okresowi jej drgań własnych.

Takie drgania huśtawki odbywające się pod wpływem działającej siły zewnętrznej nazywamy drganiami wymuszonymi.

Gdy ciało drgające otrzymuje z zewnątrz lekkie impulsy (pchnięcia, uderzenia) mogą one wpływać na amplitudę drgań w różny sposób. Impulsy skierowane przeciwnie do prędkości drgań powodują ich tłumienie, zgodne — powodują zwiększenie amplitudy drgań.

Zjawisko pobudzania ciała do drgań lub zwiększania amplitudy tych drgań wskutek przekazywania mu impulsów o okresie równym okresowi drgań własnych tego ciała nazywamy rezonansem.

Zjawisko rezonansu jest bardzo niebezpieczne w technice. Most może ulec zniszczeniu na skutek drgań wywołanych przez przejeżdżające pojazdy, lub przez kolumnę wojskową maszerującą równym krokiem. Zjawisko to może spowodować zawalenie się budynku, pękanie szyb w pojazdach lub halach fabrycznych. Ustawiony w hali fabrycznej silnik puszczony w ruch może spowodować zerwanie się stropu, na którym był zamontowany. Zjawisko to jest łatwe do wyjaśnienia. Silnik nie może być zbudowany idealnie i zawsze nieco drga; drgania te są przekazywane otoczeniu a więc i stropowi, na którym stoi silnik. Jeżeli okres drgań własnych stropu jest równy okresowi drgań silnika, to amplituda drgań stropu wzrasta, strop ulega „rozbujaniu" i przy dość dużej amplitudzie drgań ulega zerwaniu. Aby przeciwdziałać niszczącemu działaniu rezonansu mechanicznego nowoczesne konstrukcje zawierają elementy tak dobrane, aby nie rezonowały ze sobą.

Innym, tym razem pozytywnym przykładem rezonansu może być fakt, że ciężki dzwon można rozbujać używając niewielkiej siły pod warunkiem, że ciągniemy za sznur (dostarczamy energii) z częstotliwością bliską częstotliwości jego drgań własnych.

Ze zjawiska rezonansu korzystamy czasem w życiu codziennym. Doświadczony kierowca wie, że w takiej sytuacji (rys. 11) bardziej skuteczne są rytmiczne impulsy, np. do przodu niż działanie stałej siły. Na skutek tych impulsów amplituda drgań samochodu wzrasta na tyle, aby pojazd mógł się wydobyć z „pułapki".

Rys. 11. Wykorzystanie zjawiska rezonansu.

Pytania i zadania

1. Dlaczego ruch wahadła jest ruchem harmonicznym?

2. Od jakich wielkości fizycznych zależy okres drgań wahadła matematycznego?

3. Czy okres drgań wahadła będzie taki sam na biegunie i równiku?

4. Jeżeli długość wahadła zwiększymy czterokrotnie to jak zmieni się jego okres drgań, a jak częstotliwość?

5. W kabinie windy wisi wahadło matematyczne. Gdy kabina jest nieruchoma, to okres drgań wahadła wynosi T = l s. Jeżeli natomiast kabina porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym do góry, okres ten wynosi T1 = 0,9 s. Oblicz przyspieszenie kabiny.

6. Jaką długość powinno mieć wahadle, aby jego okres drgań wynosił T = l s?

7. Jaki byłby okres wahań ziemskiego wahadła o długości jednego metra na Marsie? Przyśpieszenie grawitacyjne na Marsie stanowi 0,37 przyśpieszenia...