lppwd08.pdf

8. Analiza widmowa metodą szybkiej transformaty Fouriera (FFT)

Ćwiczenie polega na wykonaniu analizy widmowej zadanych sygnałów metodą FFT, a

następnie określeniu amplitud i częstotliwości głównych składowych harmonicznych. W

ćwiczeniu wykorzystano komputer z oprogramowaniem wykonującym szybką transformatę

Fouriera (FFT). Celem ćwiczenia jest zapoznanie studentów z praktyczną realizacją FFT i

odwzorowaniem amplitudy w widmie.

Istotą poprawnego określenia amplitud i częstotliwości poszczególnych składowych jest

tutaj taki dobór czasu rejestracji aby uzyskać widmo pozbawione zniekształceń. Dla przyjętego

czasu rejestracji należy każdorazowo określić odpowiadającą mu rozdzielczość

częstotliwościową.

Pierwszy z analizowanych sygnałów jest sygnałem harmonicznym. Jego amplitudę można

odczytać z oscylogramu. Tę wartość należy przyjąć za poziom odniesienia skali decybelowej.

Podczas wykonania ćwiczenia należy:

$ określić częstotliwość sygnału harmonicznego nr 1;

$ bazując na wartości amplitudy sygnału nr 1 przyjąć poziom odniesienia skali

decybelowej;

$ znaleźć częstotliwości składowych harmonicznych sygnału nr 2;

$ określić amplitudy składowych sygnału nr 2 wyrażone w decybelach i obliczyć

ich wartość bezwzględną (korzystając z wcześniej zdefiniowanego poziomu

odniesienia);

Sprawozdanie powinno zawierać wykresy widm analizowanych sygnałów uzyskane dla

poprawnych z punktu widzenia wierności odwzorowania amplitudy parametrów analizy, oraz

wyniki obliczeń i wnioski dotyczące wpływu rozdzielczości na wierność odwzorowania

amplitudy sygnału harmonicznego.

Całość sporządzana jest podczas zajęć. Oceniany jest sposób prowadzenia analiz i

formułowania wniosków oraz zrozumienie zagadnień związanych z tematyką ćwiczenia.

Konieczna jest dobra znajomość materiału przedstawionego w pierwszej części podręcznika

(zwłaszcza rozdziałów 1-5).

Obsługa programu komputerowego

Na ekranie monitora (rysunek II.8.1) w formie oscylogramu wizualizowany jest fragment

przebiegu czasowego o długości próbki odpowiadającej wybranemu czasowi rejestracji.

Punktami zaznaczono amplitudy chwilowe dla kolejnych kroków czasowych. Niżej widać wykres

widma amplitudowego uzyskanego jako rezultat szybkiej transformaty Fouriera tego fragmentu

przebiegu. Sygnał wytwarzany przez głośnik komputera jest zgodny z reprezentacją graficzną

na ekranie.

Przebieg czasowy

-5

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Czas [s]

Widmo amplitudowe

100

150

200

250

300

350

400

450

500

Częstotliwość (Hz)

Rys. II.8.1. Widok ekranu monitora podczas wykonywania ćwiczenia

Na potrzeby ćwiczenia przygotowano kilka zestawów sygnałów testowych. Zadany

zestaw sygnałów wybiera się z listy Î. Każdy zestaw zawiera 3 sygnały (lista Ï); dwa z nich są

wykorzystywane podczas realizacji ćwiczenia:

Sygnał 1 - harmoniczny, którego amplituda może być odniesieniem dla skali

decybelowej;

Sygnał 2 - złożony z dwóch składowych harmonicznych o różnych amplitudach;

Sygnał 3 (dodatkowy) - przebieg prostokątny

Reprezentacja graficzna przebiegu czasowego sygnału jest wyświetlana na wykresie Ó.

Widmo amplitudowe obliczone na podstawie przebiegu czasowego widać w okienku Ô. Po

każdorazowej zmianie parametrów przez pewien czas słychać sygnał akustyczny wygenerowany

według przebiegu czasowego widocznego na ekranie.

Uwaga: ze względu na pasmo przenoszenia układu odtwarzania dźwięku i własności ucha

ludzkiego częstotliwości poniżej 30 Hz mogą być zniekształcone lub niesłyszalne.

Czas trwania rejestracji (długość próbki) określa się wpisem w okienku edycyjnym Ñ.

Z podaną wartością jest ściśle związana częstotliwość próbkowania i rozdzielczość

częstotliwościowa widma amplitudowego.

Próbkowanie sygnału odbywa się z krokiem czasowym wynikającym z czasu rejestracji

i liczebności próbki N, wynoszącej każdorazowo 512 punktów. Wynik szybkiej transformaty

Fouriera w postaci widma (amplituda w skali logarytmicznej) wyświetlany jest na wykresie Ô.

Poziom odniesienia skali decybelowej jest tak dobrany, że maksymalna amplituda Sygnału

1 w tej skali wynosi 100 [dB]. Rozdzielczość częstotliwościową widma student wykonujący

ćwiczenie powinien obliczyć bazując na znajomości długości próbki i czasu rejestracji.

Prawidłową rozdzielczość częstotliwościową widma należy wpisać w okienku edycyjnym Ò.

Błędnie podana rozdzielczość częstotliwościowa (błąd powyżej 0.5%) powoduje wyświetlenie

odpowiedniego komunikatu o błędzie i usunięcie opisu osi częstotliwości na wykresie Ô.

Wielkości wpisywane do okienek edycyjnych Ñ i Ò mogą być wprowadzane w postaci

wyrażeń matematycznych (bez znaku =), na przykład: 1/0.25, 1/0.3*10, (1/5)*5, itp. Błąd w

wyrażeniu wpisanym do okienka Ñ skutkuje samoczynnym przyjęciem czasu rejestracji równym

1 [s].

Lista Ð służy do wyboru okna czasowego. Widmo jest obliczane na podstawie amplitud

przebiegu czasowego pomnożonych przez wartości wynikające z użytego okienka czasowego.

Podczas ćwiczenia używane jest okienko prostokątne.

W każdej chwili istnieje możliwość powiększenia fragmentu dowolnego z wykresów

(Zoom). Można to zrealizować dwoma sposobami

Przez naciśnięcie i przytrzymanie lewego klawisza myszy z jednoczesnym zaznaczeniem

odpowiedniego fragmentu wykresu.

Przez kliknięcie myszką w miejscu, które chcemy powiększyć.

Pierwotna postać wykresu pojawia się po naciskaniu prawego klawisza myszy.

Zmiana sygnału lub parametrów analizy skutkuje odświeżeniem ekranu po uprzednim

obliczeniu szybkiej transformaty Fouriera - FFT.

Podstawy algorytmu dyskretnej transformaty Fouriera (DFT)

Powszechnie stosowaną metodą wykonywania analizy widmowej jest dyskretna postać

przekształcenia Fouriera.

W rzeczywistości, podczas analizy zarejestrowanych z określonym krokiem czasowym

(rozdzielczość czasowa ) danych pomiarowych, długość próbki czasowej jest ograniczona i

wynosi T s .

Wzór opisujący przekształcenie Fouriera (patrz rozdział I.4) dla N skwantowanych

chwilowych wartości amplitudy

( )

można przedstawić w postaci dyskretnej:

(II.8.1)

jest czasem odpowiadającym k-tej próbce czasowej.

Zazwyczaj wartości widma

oblicza się dla dyskretnych częstotliwości równych

(II.8.2)

oznacza częstotliwość próbkowania. W takim przypadku wzór (II.8.1) przyjmie postać

(II.8.3)

Wzór (II.8.3) oznacza, że widmo sygnału określone wzorem (II.8.1) ulega przekształceniu do

postaci opisującej dyskretną transformatę Fouriera (DFT) szeregu próbek czasowych.

Należy zwrócić uwagę, że wzór (II.8.3) można przedstawić w prostszej postaci:

(II.8.4)

gdzie

jest wektorem kolumnowym zawierającym obliczane zespolone składniki

częstotliwościowe

jest czynnikiem skalującym

jest kwadratową macierzą zawierającą wektory jednostkowe o różnych

orientacjach kątowych, przy czym kolejne wiersze reprezentują różne wartości

częstotliwości (n = 0, 1, ..., N - 1), zaś kolumny kolejne chwile czasowe (k = 0,

1, ..., N - 1);

jest wektorem kolumnowym chwilowych wartości amplitud sygnału.

Przykład takiego zapisu oraz sposobu postępowania podczas obliczania amplitudy prążków

widmowych dla N = 8 przedstawiono poniżej.

G 0

8 8 8 8 8 8 8 8

8 _ 6 ` 9 b 7 a

8 6 9 7 8 6 9 7

8 ` 7 _ 9 a 6 b

8 9 8 9 8 9 8 9

8 b 6 a 9 _ 7 `

8 7 9 6 8 7 9 6

8 a 7 b 9 ` 6 _

x 0

G 1

x 1

x 2

x 3

x 4

G 2

G 3

(II.8.5)

G 4

G 5

x 5

G 6

x 6

x 7

G 7

Każdemu wierszowi macierzy przyporządkowane są kolejne częstotliwości sygnału. I tak np.

pierwszy wiersz opisuje składową stałą sygnału (o zerowej częstotliwości). Dla k i n równych

zero czynnik przyjmuje wartość 1, więc wiersz ten opisuje po prostu sumę wszystkich

wartości próbek podzieloną przez ich ilość, a zatem wartość średnią sygnału (składową stałą).

Drugi wiersz opisuje najniższą składową częstotliwościową w sygnale:

(II.8.6)

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: