Równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego.
Równanie
, gdzie
nazywamy równaniem różniczkowym liniowym rzędu pierwszego. Równanie to nazywamy jednorodnym i oznaczamy RJ, jeśli, natomiast nazywamy niejednorodnym i oznaczamy RN, jeśli .
Aby wyznaczyć rozwiązanie RN szukamy najpierw rozwiązań odpowiadającego mu RJ:
RJ
1) funkcja jest rozwiązaniem RJ
2) jeśli , to otrzymujemy równanie o zmiennych rozdzielonych
Rozdzielając zmienne
całkując
i przekształcając otrzymujemy kolejno
i ostatecznie
, gdzie .
Jednakże jeśli , to otrzymujemy wcześniej wyznaczone rozwiązanie .
Zatem całką ogólną równania jednorodnego CORJ jest rodzina
dla R.
Twierdzenie
Jeśli , to jest całką ogólną RJ, ponadto przez każdy punkt obszaru przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa tego równania.
Całka ogólna RJ zawiera wszystkie krzywe całkowe RJ.
Aby wyznaczyć CORN (całkę ogólną równania niejednorodnego) stosujemy jedną z dwóch metod.
CORJCORN
I. Metoda uzmienniania stałej
Stałą C zastępujemy taką funkcją C(x), aby
było CORN. Wtedy
stąd
zatem
i
jest CORN.
Jeśli , to
jest całką ogólną równania niejednorodnego, ponadto przez każdy punkt obszaru R przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa.
Znaleźć całkę ogólną równania .
Nie jest to równanie liniowe funkcji , ale jest równaniem liniowym funkcji odwrotnej . Zatem w przedziale w którym mamy
RN
Szukamy najpierw rozwiązań równania jednorodnego
przekształcamy
dla
czyli
dla .
Jeśli , to i spełnia RJ. Stąd otrzymujemy CORJ:
Uzmienniamy stałą
różniczkujemy
i podstawiając do RN otrzymujemy
.
Stąd
Ostatecznie
- CORN
jest również całką ogólną równania wyjściowego.
Niech - CORJ,
- CSRN (całka szczególna równania niejednorodnego).
Wtedy
- CORN.
Dowód (szkic):
stąd widać, że
- rozwiązanie RN.
Polega na odgadnięciu CSRN, gdy dana jest CORJ, i wtedy CORN=CSRN+CORJ, na podstawie powyższego twierdzenia. Metodę stosujemy, gdy
lub jest sumą lub iloczynem powyższych funkcji
CSRN – jest tej samej postaci co funkcja f i zachowuje odpowiednio
oraz przyjmuje pozostałe współczynniki stałe, które wyznaczymy z RN.
Znaleźć całkę szczególną CSR równania RN,
spełniającą następujący warunek .
Ponadto, jeśli
Zatem
- CORJ.
Zastosujmy metodę przewidywań.
Niech
- CSRN.
wtedy
Podstawiając do RN otrzymujemy
Teraz z rodziny CORN wybieramy tę, dla której . Wtedy
- CSRN spełniająca warunek początkowy .
Niech - całka szczególna równania RN1,
- całka szczególna równania RN2.
jest całką szczególną równania RN.
stąd widać że
- rozwiązanie równania RN.
Twierdzenie to wykorzystujemy do obliczenia całek RN w przypadku, gdy funkcja f jest kombinacją liniową wcześniej wymienionych trzech typów funkcji.
Znaleźć całkę szczególną równania RN
spełniającą warunek początkowy .
jest
CORJ.
Wyznaczmy CS dwóch równań niejednorodnych
stosując metodę przewidywań.
Niech .
i wstawiając do otrzymujemy
Wtedy kolejno
Stąd otrzymujemy
Uwzględniając warunek początkowy
otrzymujemy
i stąd
jest CSRN spełniającą warunek początkowy .
15
kapskyduraj