Równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego.

Definicja

Równanie

,  gdzie

nazywamy równaniem różniczkowym liniowym rzędu pierwszego. Równanie to nazywamy jednorodnym i oznaczamy RJ, jeśli, natomiast nazywamy niejednorodnym i oznaczamy RN, jeśli .

Aby wyznaczyć rozwiązanie RN szukamy najpierw rozwiązań odpowiadającego mu RJ:

   RJ

1) funkcja jest rozwiązaniem RJ

2) jeśli , to otrzymujemy równanie o zmiennych rozdzielonych

Rozdzielając zmienne

całkując

,               gdzie

i przekształcając otrzymujemy kolejno

i ostatecznie

,              gdzie .

Jednakże jeśli , to otrzymujemy wcześniej wyznaczone rozwiązanie .

Zatem całką ogólną równania jednorodnego CORJ jest rodzina

  dla R.

Twierdzenie

Jeśli , to jest całką ogólną RJ, ponadto przez każdy punkt obszaru przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa tego równania.

Uwaga

Całka ogólna RJ zawiera wszystkie krzywe całkowe RJ.

Aby wyznaczyć CORN (całkę ogólną równania niejednorodnego) stosujemy jedną z dwóch metod.

CORJCORN

I. Metoda uzmienniania stałej

Stałą C zastępujemy taką funkcją C(x), aby

było CORN. Wtedy

stąd

zatem

i

jest CORN.

Twierdzenie

Jeśli , to

jest całką ogólną równania niejednorodnego, ponadto przez każdy punkt obszaru R przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa.

Przykład

Znaleźć całkę ogólną równania              .

Nie jest to równanie liniowe funkcji , ale jest równaniem liniowym funkcji odwrotnej . Zatem w przedziale w którym mamy

   RN

Szukamy najpierw rozwiązań równania jednorodnego

              RJ

przekształcamy

stąd

                            dla

czyli

                                          dla

i ostatecznie

    dla .

Jeśli , to i spełnia RJ. Stąd otrzymujemy CORJ:

  dla R.

Uzmienniamy stałą

różniczkujemy

i podstawiając do RN otrzymujemy

czyli

.

Stąd

Ostatecznie

- CORN

jest również całką ogólną równania wyjściowego.

Twierdzenie

Niech               - CORJ,

- CSRN (całka szczególna równania niejednorodnego).

Wtedy

- CORN.

Dowód (szkic):

stąd widać, że

- rozwiązanie RN.

II. Metoda przewidywań

Polega na odgadnięciu CSRN, gdy dana jest CORJ, i wtedy CORN=CSRN+CORJ, na podstawie powyższego twierdzenia. Metodę stosujemy, gdy

      lub jest sumą lub iloczynem powyższych funkcji

Wtedy

CSRN – jest tej samej postaci co funkcja f i zachowuje odpowiednio

oraz przyjmuje pozostałe współczynniki stałe, które wyznaczymy z RN.

Przykład

Znaleźć całkę szczególną CSR równania               RN,

spełniającą następujący warunek .

Szukamy rozwiązania równania jednorodnego

                RJ

Stąd

              dla

                            dla

i ostatecznie

.

Ponadto, jeśli

Zatem

- CORJ.

Zastosujmy metodę przewidywań.

Niech

- CSRN.

wtedy                                                                     

Podstawiając do RN otrzymujemy

Stąd

- CSRN.

Ostatecznie

- CORN.

Teraz z rodziny CORN wybieramy tę, dla której . Wtedy

Zatem

- CSRN spełniająca warunek początkowy .

Twierdzenie

Niech  - całka szczególna równania                                                         RN1,

-  całka szczególna równania                                                         RN2.

Wtedy

jest całką szczególną równania               RN.

Dowód (szkic):

stąd widać że

                                          - rozwiązanie równania RN.

Twierdzenie to wykorzystujemy do obliczenia całek RN w przypadku, gdy funkcja f jest kombinacją liniową wcześniej wymienionych trzech typów funkcji.

Przykład

Znaleźć całkę szczególną równania               RN

spełniającą warunek początkowy .

Rozwiązaniem równania jednorodnego

              RJ

jest

CORJ.

Wyznaczmy CS dwóch równań niejednorodnych

                 i  

stosując metodę przewidywań.

Niech                            .

Wtedy

i wstawiając do otrzymujemy

stąd

Zatem

              .

Niech                                                                                    .

Wtedy kolejno

Zatem

              .

Stąd otrzymujemy

- CORN

czyli

- CORN

Uwzględniając warunek początkowy

otrzymujemy

i stąd

jest CSRN spełniającą warunek początkowy .

15