Równania różniczkowe liniowe rzędu n
Niech
,
.
Wtedy
nazywamy równaniem różniczkowym liniowym rzędu n.
Jeśli , to otrzymujemy RJ,
Natomiast jeśli , to otrzymujemy RN.
Zagadnienie Cauchy’ego równania liniowego polega na znalezieniu całki szczególnej y(x) spełniającej w (a,b) to równanie oraz warunki początkowe:
, gdzie .
Twierdzenie
Zagadnienie Cauchy’ego równania jednorodnego ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Jeśli funkcje spełniają równanie jednorodne, to ich kombinacja liniowa
, gdzie dla ;
też spełnia równanie jednorodne.
Definicja
Funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję postaci:
gdzie u,v – funkcje rzeczywiste zmiennej x,.
Wtedy pochodna funkcji w(x) jest równa
Pochodne wyższych rzędów określone są wzorem
dla .
Jeśli funkcja zespolona w(x) jest całką równania jednorodnego, to zarówno jej część rzeczywista u(x), jak i urojona v(x) też są całkami tego równania jednorodnego.
Układ n całek równania jednorodnego nazywamy układem podstawowym całek tego równania, jeśli wrońskian
gdzie wrońskianem nazywamy wyznacznik
Uwaga
są całkami szczególnymi równania jednorodnego.
są układem podstawowym całek RJ są liniowo niezależne.
Uzasadnienie
są liniowo niezależne tzn.
Różniczkując kolejno równanie otrzymujemy układ równań liniowych
którego rozwiązaniem jest gdy wyznacznik macierzy odpowiadającej układowi, czyli wrońskian jest niezerowy.
Jeśli
- układ podstawowy całek równania jednorodnego,
to
kombinacja liniowa jest CORJ.
Zatem aby rozwiązać RJ wystarczy wyznaczyć układ podstawowy całek tego równania, a następnie utworzyć jego kombinację liniową.
Jeśli już znamy CORJ, to stosujemy jedną z dwóch metod:
CORJ CORN.
I. Metoda uzmienniania stałych
Stałe Ck w CORJ zastępujemy funkcjami Ck(x) dla k=1,…,n.
Równanie
różniczkujemy stronami
i zakładamy, że .
Zatem otrzymujemy równanie
Znów różniczkując otrzymane równanie i przyjmując analogiczne zalożenia otrzymujemy kolejno:
Następnie podstawiając y do RN i uwzględniając, że są rozwiązaniami RJ, otrzymujemy:
Zatem powyższe równanie wraz z wcześniejszymi n-1 założeniami tworzy układ n równań
z n niewidomymi.Wtedy rozwiązanie tego układu równań.
Ponieważ układ jest podstawowy, to ten warunek zachodzi.
Stosując wzory Cramera otrzymujemy rozwiązanie
a stąd
Zatem
jest CORN.
CORJ+CSRN=CORN.
II. Metoda przewidywań
Podobnie jak dla równań liniowych rzędu pierwszego zachowujemy charakter funkcji f(x).
Postępujemy analogicznie jak dla równania 1 rzędu.
kapskyduraj