modelowanie.pdf
(
210 KB
)
Pobierz
Modelowanie matematyczne - kilka oczywistych faktów, które warto sobie uœwiadomiæ
Modelowanie matematyczne - kilka oczywistych faktów,
które warto sobie uświadomić
Co to jest Model:
•
reprezentacja badanego obiektu w postaci innej, niż ta, w której
występuje on w rzeczywistości.
•
W nauce model jest rozumiany jako uproszczona, celowo,
reprezentacja rzeczywistości.
Typy modeli:
•
modele o podobieństwie geometrycznym (mapy, makiety)
•
modele o podobieństwie kinematycznym
•
modele o podobieństwie dynamicznym (makiety stosowane w
tunelach aerodynamicznych)
•
modele tworzone przez analogie (hydrauliczno elektryczny)
•
modele matematyczne
Model matematyczny to skończony zbiór symboli i relacji
matematycznych oraz ścisłych zasad operowania nimi, przy czym
zawarte w modelu symbole i relacje mają interpretację odnoszącą się do
konkretnych elementów modelowanego wycinka rzeczywistości.
Zbiór symboli i relacji matematycznych - to twór abstrakcyjny;
czynnikiem przekształcającym go w model matematyczny jest
fizyczna interpretacja.
1
Jak tworzymy model?
Problem
bd
Cele modelowania
Hipotezy
Teorie
Prawa
Kategoria modelu
Struktura modelu
Identyfikacja
Dane
Wiedza
Empiry
czna
Algorytmy
Obliczenia
Prognozy
Weryfikacja
Zweryfikowa
ny
model
2
Przykład: wzrost populacji bakterii
Niech:
N(t) - ilość bakterii w chwili t
r - prędkość reprodukcji
W takim razie, pomijając wymieranie, możemy przypuszczać, że:
N
(
t
+
∆
t
)
≈
N
(
t
)
+
rN
(
t
)
∆
t
N
( ) ( )
t
+
∆
t
−
N
t
=
rN
()
t
∆
t
Zakładamy teraz, że rozmiar populacji
()
N
jest wielkością ciągłą.
Ma to sens przy następujących założeniach:
1.
Liczebność populacji jest duża tak, że dodanie lub odjęcie kilku
osobników nic nie zmienia.
2.
Rozmnażanie się pojedynczych osobników nie ma wpływu na
rozmnażanie się innych osobników.(nie ma skorelowanych
gwałtownych zmian liczebności)
Wtedy przechodząc w granicy
∆
t
powyższe równanie różnicowe
można zastąpić równaniem różniczkowym:
→
0
dN
=
dt
rN
Równanie to jest znane jako prawo Malthusa (1798). Zastosował je on
do opisu populacji ludzi na Ziemi i jego wnioski były nieco zatrważające
...
Równanie to możemy scałkować przez rozdzielenie zmiennych
dN
=
rdt
N
∫ ∫
dN
=
t
rds
0
N
0
ln
N
t
=
rt
0
Czyli mamy wzrost exponencjalny !
() ()
()
ln
N
t
−
ln
N
0
=
rt
ln
N
t
=
rt
N
0
N
()
t
=
N
e
rt
0
3
t
Dyskretne modele jednej populacji
Opis dyskretny jest dobry dla populacji dla których nie ma zachodzenia
pokoleń na siebie.
Będziemy analizować modele opisywane równaniami różnicowymi typu:
() ()
t
=
N
t
F
N
t
=
f
N
t
f
N
tak aby
równanie powyższe dobrze oddawało obserwowane fakty.
Uwaga
: nie ma prostego związku między równaniami różnicowymi i
różniczkowymi:
•
Najprostszy przykład:
N
=
rN
⇒
N
=
r
t
N
+
czyli mamy wzrost wykładniczy (a jaki był wzrost dla analogicznego
równania różniczkowego?)
•
Jak uwzględnić wpływ pojemności środowiska?
Np.:
t
1
t
t
0
N
=
rN
gdzie
N
=
N
1
−
b
b takie, że
N
<
N
t
+
1
s
s
t
s
t
N
- frakcja populacji przeżywająca do rozrodu
•
A co się stanie jeśli weźmiemy dyskretną kalkę modelu
logistycznego?
s
N
=
rN
−
1
N
t
r
,
K
>
0
t
+
1
t
K
N
Można to poprawić tak:
t
>
K
N
t
+
1
<
0
N
=
N
exp
r
−
1
N
t
r
,
K
>
0
t
+
1
t
K
exp
−
K
rN
t
- czynnik śmiertelności związany z pojemnością środowiska
4
N
+1
Sztuka modelowania polega na umiejętnym dobraniu
()
Interpretacja:
Np. dla
Pajęczynki - graficzna metoda badania równań
różnicowych
Stany stacjonarne
N
*
=
0
() ()
N
*
=
f
N
*
=
N
*
F
N
*
⇒
()
1
F
N
*
=
łatwo znaleźć graficznie:
1
0.9
0.8
0.7
N
t+1
=N
t
0.6
N
t+1
0.5
0.4
N
t+1
=f(N
t
)
0.3
0.2
0.1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
N
t
Zachowanie w pobliżu punktu stacjonarnego zależy od sposobu
przecięcia się
()
f
N
i
N
t
+1
=
N
t
+1
ma stały kąt nachylenia w układzie wsp.
Wystarczy rozważyć jedynie lokalne nachylenie krzywej
N
=
t
N
t
()
N
=
t
+1
f
N
t
(czyli pochodną
f
'
N
( )
*
)
-1
0
1
f
'
N
( )
*
5
Ponieważ prosta
Plik z chomika:
ziutek71117
Inne pliki z tego folderu:
plyta_1D.pdf
(37 KB)
iteracja_prosta_rownanie_Laplacea.pdf
(171 KB)
modelowanie.pdf
(210 KB)
Inne foldery tego chomika:
Pliki dostępne do 21.01.2024
Algebra liniowa
Analiza Funkcjonalna
analiza matematyczna
Analiza matematyczna(1)
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin