Algebra liniowa - zastawy egzaminacyjne I semestr UG informatyka.doc

Zestaw 1

1.      Sformułuj tw Laplace’a (o macierzy kofaktorów)

Niech będzie taka, że det A = 2. Niech c(A) oznacza macierz kofaktorów A. Wówczas  det c(A) = …..

2.      Podaj definicję odwzorowania liniowego.

Odwzorowanie  a: R ® R  dane przez  a(x) = 2x + 1  nie jest (R) liniowe bowiem

………………………………………………………………………

3.      W standardowej interpretacji geometrycznej  {z Î C : } jest to okrąg o promieniu ….

4.      Niech    oraz  .  Wskazać (lub stwierdzić, że nie istnieje) wymierną macierz  X  spełniającą równanie:  .

Odp:  Istnieje? (T/N)                            X = …..

5.      Niech (Q-endomorfizm)  a : Q2´2 ® Q2´2  dany będzie wzorem:  a(X) = X + 3Xt.  Wówczas:  det a = ………… oraz  tr a = ……..

6.      Niech (Q-liniowe) odwzorowanie a ma w pewnych ubazach macierz:

              Wówczas:  dim ker a = ………….  oraz  dim im a = ……….

7.      Sformułować tw Kronecker’a-Capelli (o rozwiązalności)

Czy (wymierny) układ równań którego macierzą rozszerzoną jest macierz z zadania 6 jest niesprzeczny?  Odp: (T/N)  ……. .  Jeśli jest niesprzeczny to podać też wymiar jego zbioru rozwiązań.  Odp:  dim = ……..

8.      Niech ubazy  B, C, S  w  R2  dane będą przez:  B =   oraz  C =   oraz S = .  Niech  a : R2 ® R2  będzie liniowe takie, że  mCB(a) =   (przypomnienie: notacja oznacza, że B jest ubazą w dziedzinie…).

Wówczas:  mSS(a) = ……..

9.      Niech (wymierna macierz)  .  Niech  B = A57. Wówczas B33 = ….

10.  Niech (zespolona macierz)  .  Wypisz wielomian minimalny, ciąg niezmienników wielomianowych (wielomiany zmiennej x) oraz jakąś (dolną) postać Jordana macierzy A.

Odp:

              mA = ……………………

              iA = ……………………..

              pJord = ………………….

Zestaw 2

1. Sformułuj tw Cauchy’ego (o wyznaczniku iloczynu)

Niech będą takie, że det A = 2  oraz  det B = 3. 

Wówczas  det (-2A-1B) = …..

2. Podaj definicję przestrzeni ortogonalnej (do zbioru w przestrzeni z iloczynem skalarnym).

Wskaż niezerowy wektor o współczynnikach całkowitych ortogonalny do
span{(1, 2, 3), (1, 3, 1)}  w R3 (standardowy il skal.). Odp: …………….

3. W standardowej interpretacji geometrycznej  {z Î C : } jest to okrąg o promieniu ….
4. Niech    oraz  .  Wskazać (lub stwierdzić, że nie istnieje) wymierną macierz  X  spełniającą równanie:  .

Odp:  Istnieje? (T/N)                            X = …..

5. Niech (Q-endomorfizm)  a : Q2´2 ® Q2´2  dany będzie wzorem:  a(X) = X + 2Xt.  Wówczas:  det a = ………… oraz  tr a = ……..
6. Niech (Q-liniowe) odwzorowanie a ma w pewnych ubazach macierz:

              Wówczas:  dim ker a = ………….  oraz  dim im a = ……….

7. Sformułować tw Kronecker’a-Capelli (o rozwiązalności)

Czy (wymierny) układ równań którego macierzą rozszerzoną jest macierz z zadania 6 jest niesprzeczny?  Odp: (T/N)  ……. .  Jeśli jest niesprzeczny to podać też wymiar jego zbioru rozwiązań.  Odp:  dim = ……..

8. Niech ubazy  B, C, S  w  R2  dane będą przez:  B =   oraz  C =   oraz  S = .  Niech  a : R2 ® R2  będzie liniowe takie, że  mCB(a) =   (przypomnienie: notacja oznacza, że B jest ubazą w dziedzinie…).

Wówczas:  mSS(a) = ……..

9. Niech (wymierna macierz)  .  Niech  B = A85. Wówczas B33 = ….
10. Niech (zespolona macierz)  .  Wypisz wielomian minimalny, ciąg niezmienników wielomianowych (wielomiany zmiennej x) oraz jakąś (dolną) postać Jordana macierzy A.

Odp:

              mA = ……………………

              iA = ……………………..

              pJord = ………………….

Zestaw 3

1. Podaj jaki jest związek między wymiarami jądra i obrazu odwzorowania liniowego.

Niech odwzorowanie liniowe  a : Q7 ® Q5  będzie takie, że  dim ker a = 3. 

Wówczas  dim im a = …..

2. Podaj definicję wielomianu minimalnego (macierzy).

Niech (Q macierz) A = diag(1, 2, 1). Wówczas  mA(x) =  …………….

3. W standardowej interpretacji geometrycznej  {z Î C : } jest to okrąg o promieniu ….
4. Niech    oraz  .  Wskazać (lub stwierdzić, że nie istnieje) wymierną macierz  X  spełniającą równanie:  .