Fizyka Matematyczna – Ćwiczenia                            prowadzący: Agnieszka Fraska             

Zajęcia 1                            27.10.2004

Rachunek Wariacyjny.

1.      Sprawdzić czy spełnia warunki normy w przedziale

·     

·     

·     

2.      Każda przestrzeń unormowaną jest przestrzenią metryczną z metryką definiowaną wzorem

Dowód:

·     

·     

·     

Zadanie 1

Znajdź odległość między krzywymi

a)       

b)      

c)       

Zadanie 2

Korzystając z zadania 1.a) wiemy że:; oraz, że stąd wiemy że

Równania różniczkowe I rzędu

Rozwiązania:              ogólne -               szczególne -

1.      Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych.

np.:

Zadanie 3 domowe 1

2.      Równania różniczkowe jednorodne

              Przykład:

Zadanie 4 Domowe 2

3.      Równania różniczkowe jednorodne liniowe typu:

Zadanie 5 Domowe 3

4.     Równania różniczkowe liniowe niejednorodne

np.:                                          Metoda uwzględniania stałej

Zadanie 6 domowe 4

Ćwiczenia 2              10.11.2004              Kolokwium 1,5p

Równania różniczkowe II rzędu             

5.      Pewne typy równań różniczkowych II rzędu sprowadzonych do I rzędu.

Warunki brzegowe             

Warunki początkowe             

Warunki brzegowe             

Warunki brzegowe             

Równania różniczkowe II rzędu liniowe o stałych współczynnikach

Jednorodne                           

Niejednorodne             

1. jednorodne             

Równanie charakterystyczne

              Rozwiązanie ogólne.

Zadanie 7              robiłem przy tablicy

2. niejednorodne             

Rozwiązanie przewidywane

Rozwiązanie równania jednorodnego

Jeżeli występujące w tabeli wielkości są odpowiednio k-krotnymi miejscami zerowymi wielomiany charakterystycznego to wówczas rozwiązanie przewidywane należy przemnożyć przez

Zadanie 8

Zadanie 9

Zadanie 10 domowe 5

Ćwiczenia 3              24.11.2004

Zadanie 11

Dla funkcjonału porównaj przyrost funkcjonału i wariancję funkcjonału dla k=1.

Zadanie 12 domowe 6

Na najbliższym sprawdzianie:

Wyznaczanie krzywej, na której funkcjonał może osiągać ekstremum.

Zadanie 13 Zagadnienie Brachistochrony.

Krzywa – cykloida jest rozwiązaniem zadania

Zadanie 14

Zadanie 15

Zadanie 16

Zadanie 17

Z pośród wszystkich krzywych łączących punkty na płaszczyźnie OXY wyznacz tą, która ma najmniejszą długość.

αβ

Zadanie 18 domowe 7

Ćwiczenia 4              08.12.2004 chorowałem

Funkcjonał zależny od m niewiadomych funkcji .

Zadanie 19

Zadanie 20

Zagadnienie izometryczne dla funkcjonałów (ekstremum warunkowe)

                            Funkcjonał pomocniczy

Zadanie 21

Wyznaczyć krzywą, na której funkcjonał może osiągać ekstremum

Zadanie 22

Ćwiczenia 5              22.12.2004

Z pośród linii o długości l...