8%20Dynamika%20ruchu%20sprezystego.Fale%20w%20osrodkach%20sprezystych.pdf

8.Dynamika ruchu drgającego i fale w ośrodkach sprężystych.

Wybór i opracowanie zadań 8.1. – 8.35. - Ryszard Twardowski

Wybór i opracowanie zadań 8.36.- 8.45 - Bogusław Kusz

8.1. W układzie przedstawionym na

rysunku 8.1. masę m = 0,01 kg w chwili t

= 0 s odchylono od położenia równowagi

o x 0 = 0,01 m i nadano jej prędkość v 0 =

0,4 m/s . Znaleźć zależność wychylenia,

prędkości i przyspieszenia masy m od

czasu. Ile wynosi okres drgań, amplituda i

faza początkowa wychylenia masy m ?

Współczynnik sprężystości nieważkiej

sprężyny k = 10 N/m . Tarcie zaniedbać.

Rys. 8.1.

8.2. W stronę nieruchomej masy m przedstawionej na rysunku 8.1. porusza się z prędkością - v

ciało o masie m i zderza się z nią centralnie. Jak długo trwa ruch masy zamocowanej do

nieważkiej sprężyny o współczynniku sprężystości k w przypadku, kiedy a) zderzenie mas

jest sprężyste b) zderzenie mas jest niesprężyste, a masy trwale przylegają do siebie? Ile

wynosi okres drgań w obu przypadkach? Tarcie zaniedbać.

8.3. Cząstka wykonuje drgania harmoniczne. W odległościach x 1 i x 2 od położenia równowagi

jej prędkości wynoszą v 1 i v 2 . Znaleźć amplitudę i częstość drgań cząstki.

8.4**. Cząstka wykonuje drgania harmoniczne zgodnie z równaniem x = Asin( ω 0 t) . Obliczyć

prawdopodobieństwo p znalezienia cząstki w przedziale od A/2 do A . Otrzymać zależność

gęstości prawdopodobieństwa ( dp/dx ) od x .

8.5. W układzie przedstawionym na rys.8.1. masę m odciągnięto o ∆ x k od położenia

równowagi. Długość nieodkształconej sprężyny wynosi d . O ile przesunął się dowolny punkt

sprężyny od położenia równowagi?

8.6**. W układzie przedstawionym na rysunku 8.1. sprężyna o masie M ma współczynnik

sprężystości k . Masę m odciągnięto nieco od położenia równowagi i puszczono. Znaleźć okres

drgań tego układu.

8.7*. Ile wynosi okres małych drgań kulki A w układzie złożonym z wahadła

matematycznego i nieważkiej sprężyny (rys. 8.2.)? Osobno wahadło matematyczne ma okres

małych drgań T 1 , a kulka A podwieszona tylko do sprężyny ma okres drgań T 2 .

Rys. 8.2.

8.8. Dwa wahadła matematyczne o długości d i masie m każde połączono za pomocą słabej

nieważkiej i nieodkształconej sprężyny o współczynniku sprężystości k (rys. 8.3.). Znaleźć

okres małych drgań w przypadkach a) każde wahadło odchylono o kąt α 0 w prawo od

położenia równowagi, b) pierwsze wahadło odchylono o kąt α 0 w prawo, drugie o kąt α 0 w

lewo od położenia równowagi, c) odchylono tylko pierwsze wahadło o kąt α 0 w prawo od

położenia równowagi. W przypadku c) oblicz odstęp czasu upływającego pomiędzy chwilami

czasu, kiedy jedno wahadło przestaje drgać, a drugie wykazuje maksymalne drgania.

Rys. 8.3.

8.9. Nieważką sprężynę podzielono na dwie, tak, że stosunek ich długości wynosi 1: 2 .

Następnie z tych sprężyn i ciała A zmontowano układ przedstawiony na rysunku 8.4.

Obliczyć okres drgań ciała odchylonego od położenia równowagi w kierunku poziomym, jeśli

wiadomo, że ciało A zamocowane do całej sprężyny wykonuje drgania o częstotliwości f .

Założyć brak tarcia.

Rys. 8.4.

8.10*. Wyobraźmy sobie tunel wydrążony w Ziemi wzdłuż jej osi obrotu. W chwili t = 0

ciało A zaczyna spadać swobodnie z powierzchni Ziemi w głąb tunelu, a ciało B zaczyna

spadać w głąb tunelu z odległości r = R Z /2 od środka Ziemi. Obliczyć czas t , po którym ciała

się spotkają i wskazać miejsce spotkania. Zaniedbać opór powietrza oraz założyć, że Ziemia

jest jednorodną kulą o promieniu R Z = 6400 km .

8.11*. Jednorodny poziomy pręt wiszący na dwóch pionowych linach o długości b każda i

uwiązanych do końców pręta, obrócono o mały kąt wokół nieruchomej pionowej osi

przechodzącej przez jego środek. Obliczyć okres wahań pręta.

8.12. Wyprowadzić wzór na okres małych drgań wahadła fizycznego wychodząc a) z zasad

dynamiki ruchu obrotowego, b) z zasady zachowania energii mechanicznej.

8.13. Na końcach cienkiego pręta o długości b = 0,3 m i masie m = 0,4 kg umocowano małe

kule o masach m 1 = 0,2 kg i m 2 = 0,3 kg . Pręt z kulami waha się wokół osi poziomej

przechodzącej przez jego środek. Obliczyć okres małych wahań.

8.14*. Jednorodny pręt o długości b wykonuje małe wahania wokół poziomej osi

przechodzącej przez pręt i prostopadłej do niego. Dla jakiej odległości między osią a

środkiem pręta okres wahań będzie najkrótszy?

8.15*. Ciężarek zawieszony na nieważkiej sprężynie o długości d = 10 cm wykonuje drgania

z dekrementem logarytmicznym Λ = 2 π. Po skróceniu sprężyny dekrement logarytmiczny

drgań wynosi Λ 1 = π. Obliczyć długość skróconej sprężyny.

8.16. W odstępie czasu ∆ t 1 energia drgań w ruchu harmonicznym słabo tłumionym zmalała n-

krotnie . Ile razy zmaleje amplituda drgań w tym ruchu w odstępie czasu ∆ t 2 ?

8.17*. W pewnym ośrodku wahadło matematyczne drga z logarytmicznym dekrementem

tłumienia Λ 0 = 1,5 . Jaki będzie logarytmiczny dekrement tłumienia Λ, jeśli opór ośrodka

wzrośnie n = 2 razy? Ile razy należy zwiększyć opór ośrodka, aby wahadło nie mogło drgać?

8.18. Znaleźć logarytmiczny dekrement tłumienia wahadła matematycznego o długości d ,

jeśli po czasie τ jego energia zmniejszyła się n razy.

8.19*. Małą kulkę wychylono z położenia równowagi na odległość d = 2 cm i puszczono

swobodnie. Logarytmiczny dekrement tłumienia drgań kulki wynosił Λ = 0,002 . Jaką drogę

przebędzie kulka do chwili zatrzymania się?

8.20. W układzie pokazanym na rys. 8.1. masa m znajduje się w stanie równowagi. W chwili

t = 0 do masy m przyłożono poziomą siłę F = F 0 sin( ω t) . Znaleźć równanie opisujące

wychylenie x(t) masy m z położenia równowagi. Współczynnik sprężystości nieważkiej

sprężyny wynosi k . Założyć brak tarcia.

8.21. Na podstawie wyrażenia na amplitudę wychylenia stacjonarnych drgań wymuszonych

otrzymać wzór na częstość rezonansową.

8.22. Amplitudy wychylenia punktu wykonującego stacjonarne drgania wymuszone są sobie

równe przy częstościach ω 1 i ω 2 . Ile wynosi częstość rezonansowa?

8.23. Amplitudy prędkości punktu wykonującego stacjonarne drgania wymuszone są sobie

równe przy częstościach ω 1 i ω 2 . Ile wynosi częstość drgań własnych?

8.24**. Ciało o masie m wykonuje stacjonarne drgania pod wpływem siły F = F 0 cos( ω t) w

ośrodku o współczynniku tłumienia β. Obliczyć średnią moc siły oporu ośrodka, częstość

drgań własnych wynosi ω 0 . Wykazać, że suma średniej mocy siły oporu ośrodka i średniej

mocy siły F wynosi zero.

8.25*. Obliczyć średnią energię kinetyczną i średnią energię potencjalną siły sprężystości

ciała o masie m wykonującego stacjonarne drgania wymuszone o równaniu x = Dcos( ω t+ ϕ ) .

Częstość drgań własnych wynosi ω 0 .

8.26. W pewnym ośrodku wzdłuż osi y przemieszcza się monochromatyczna harmoniczna

fala płaska o długości λ. Znaleźć różnicę faz drgań cząstek ośrodka znajdujących się na

równoległych płaszczyznach A i B odległych od siebie o ∆ y . Płaszczyzny te są prostopadłe do

osi y .

8.27*. W jednorodnym ośrodku sprężystym o gęstości ρ 0 rozchodzi się fala płaska

kx).

s(x,

cos(

Sporządzić wykresy dla t = π / ω

a) zależności s(x) , ( ∂ s/ ∂ t)(x) , ( ∂ s/ ∂ x)(x) ,

b) zaznaczyć na wykresie dla s = 0 kierunki prędkości cząstek ośrodka dla fali

podłużnej i poprzecznej,

c) zależności gęstości ośrodka ρ (x) dla fali podłużnej.

8.28. Wykazać, że ogólne równanie fali płaskiej w postaci

cos(

ω+

−

)

spełnia równanie falowe.

8.29. W zamocowanej na końcach strunie o długości b = 120 cm wytworzono falę stojącą. W

punktach odległych od siebie o d 1 = 15 cm i d 2 = 5 cm amplituda tej fali jest równa A 1 = 3,5

mm . Znaleźć maksymalną amplitudę tej fali. Której harmonicznej odpowiada ta fala?

8.30. W ośrodku o gęstości ρ wytworzono mechaniczną podłużną falę stojącą. Wychylenie

cząsteczek ośrodka opisane jest równaniem: s = 2s 0 cos(kx)cos( ω t) . Obliczyć średnią gęstość

energii kinetycznej i średnią gęstość energii potencjalnej ruchu falowego w węzłach i w

strzałkach.

8.31**. W punktach Z 1 i Z 2 osi x , odległych o d od siebie, umieszczono źródła

monochromatycznych płaskich fal harmonicznych o jednakowych kierunkach drgań i

rozchodzących się zgodnie ze zwrotem osi x . Znaleźć średnią gęstość energii ruchu falowego

w punkcie P na osi x . Założyć, że do punktu P dochodzą z obydwu źródeł fale o równaniach

odpowiednio

Zbadać przypadki a) fale są niespójne, b) fale są spójne. Ośrodek jest niedyspersyjny.

cos(ω

−

)

cos(ω

−

8.32. W trzech równoodległych punktach znajdujących się na jednej prostej dokonano

pomiaru natężenia fali emitowanej przez to samo źródło punktowe. Gdzie znajduje się źródło

fali, jeżeli natężenie fali w punktach skrajnych jest jednakowe, a w punkcie środkowym

większe o p = 10% ? Odległość między punktem środkowym a punktami skrajnymi wynosi a

= 10 m. Przyjąć a) fale są kuliste, b) fale są koliste.

8.33. Punktowe źródło fal o mocy P znajduje się w środku walca o promieniu R i wysokości

h . Przyjmując, że ścianki walca całkowicie tłumią fale, obliczyć średni strumień energii

padający na boczną powierzchnię walca.

8.34. Dwa ciągi fal płaskich o długościach λ 1 i λ 2 przemieszczają się w tym samym kierunku

w ośrodku dyspersyjnym o dyspersji d . Prędkość grupowa fali wypadkowej wynosi v g .

Znaleźć częstości tych fal.

gdzie współczynniki liczbowe są wyrażone w układzie SI. Obliczyć stosunek prędkości

fazowej do prędkości grupowej .

0,005cos(2

−

6500t)cos(

0,5x

−

160t)

8.35. W pewnym ośrodku dwie płaskie fale harmoniczne tworzą grupę opisaną równaniem:

8.36. Zważyłem się na wadze sprężynowej („łazienkowej”). Podczas ważenia szalka wagi

obniżyła się o D =1cm a waga wskazała m =100kg. Oblicz współczynnik sprężystości oraz

energię potencjalną zgromadzoną w sprężynie.

8.37 *. Podczas skoku z mostu o wysokości H =17m na gumie „bungee” skoczek o masie

m =75kg osiągnął minimalną wysokość na poziomie D =2m nad wodą. Po ustaniu drgań o

okresie T=2s skoczek swobodnie zwisał na wysokości h =6m. Zakładając, że tarcie

występujące w układzie jest proporcjonalne do prędkości rozciągania gumy, oszacuj:

a/ energię potencjalną gumy w chwili gdy skoczek osiągnął poziom D ,

b/ straty energii jakie nastąpiły do chwili gdy skoczek osiągnął poziom D ,

c/ oszacuj wartość maksymalnego przyspieszenia działającego na skoczka,

d/ narysuj prawdopodobny wykres zmian położenia, prędkości i przyspieszenia skoczka w

funkcji czasu.

Uwaga: długość liny wynosi L =10m, masę liny i opory powietrza zaniedbać, V(0)=0.

8.38. Na lince o długości L wisi tarcza o masie m . W tarczę trafia lecąca poziomo z

prędkością V 0 kulka o masie m . Napisz równanie ruchu tarczy po zderzeniu: a/ z kulką

gumową (zderzenie sprężyste), b/ z kulką plasteliny (zderzenie niesprężyste). Założenie:

układ można opisać jak wahadło matematyczne a zderzenie kuli z tarczą jest zderzeniem

centralnym.

8.39. Opisz ruch układu z zadania 38 wiedząc, że w układzie występuje tłumienie opisane

logarytmicznym dekrementem tłumienia Λ.

8.40. Oszacować, dla jakich wartości logarytmicznego dekrementu tłumienia Λ można

zastosować przybliżenie Λ

β≈

z błędem mniejszym niż 1%.

8.41. Płytka kwarcowa o częstotliwości drgań własnych f 0 =10MHz została wzbudzona do

drgań swobodnych tłumionych. Po jakim czasie energia zgromadzona w płytce zmaleje do

połowy, jeśli logarytmiczny dekrement tłumienia Λ =0,001 ?

8.42. Szarpnięty przez rybę spławik (w kształcie patyka) wpadł w drgania tłumione. Po czasie

t 8 =4T=4s ( T -okres drgań) amplituda drgań zmalała 8 razy. Oblicz logarytmiczny dekrement

tłumienia oraz częstotliwość drgań własnych spławika.

8.43. Jakie maksymalne wskazanie odczytamy z wagi sprężynowej (łazienkowej) jeśli

skoczymy na jej szalkę z wysokości h =12cm ? Dane: m =100kg - masa ciała, D =1cm -

obniżenie szalki przy statycznym obciążeniu. Masę szalki można zaniedbać.

8.44. Do jednego końca sprężyny o stałej k=2/ 3 N/m dołączono małą kulkę o masie

m=0,01kg . Trzymając sprężynę za jej drugi koniec wprawiono kulkę m w ruch po okręgu w

płaszczyźnie poziomej z prędkością V =0,76m/s. Sprężyna wydłużyła się dwukrotnie. Oblicz

promień toru kulki. Założenie: masa sprężyny jest do zaniedbania a jej oś porusza się pod

stałym kątem do pionu.

8.45. Pewną falę opisano równaniem: Co można

wywnioskować z tego opisu? Uwaga: wielkości w równaniu podane są w układzie SI.

(

)

−

sin

(

2040

π−

)

T β

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: