M5_przyklady.pdf

Przykłady

Przykład 1

Oznaczmy przez A zbiór wszystkich rzeczy materialnych, dla których możliwa jest do określenia ich

waga (sposób rozumienia tego zbioru pozostawiamy jako dowolny). Rozważmy następującą relację δ

określoną na tym zbiorze:

Dla dwóch dowolnych elementów x , y należących do zbioru A powiemy, że x jest w relacji z elemen-

tem y (czyli inaczej x δ y ), wtedy i tylko wtedy, gdy element x jest tej samej wagi, co element y .

Relacja δ jest zwrotna, symetryczna i przechodnia, zatem jest relacją równoważności.

a) zwrotność:  ∀ x ∈ A ( x δ x ).

Zauważmy, że jeżeli weźmiemy dowolny element x ∈ A (dowolną rzecz materialną), to jest on tej sa-

mej wagi, co on sam (czyli x δ x ).

b) symetria:  ∀ x, y ∈ A ( x δ y ⇒ y δ x ).

Zauważmy, że jeżeli weźmiemy dwa dowolne elementy x , y ∈ A (dowolne dwie rzeczy materialne), to

jeżeli prawdą jest, że x jest tej samej wagi, co y , to również można powiedzieć, że y jest tej samej wagi

co x .

c) przechodniość:  ∀ x, y, z ∈ A [( x δ y ∧ y δ z) ⇒ x δ z].

Zauważmy, że jeżeli weźmiemy trzy dowolne elementy x , y , z ∈ A , to jeżeli x jest tej samej wagi, co y

oraz y jest tej samej wagi, co z, to również prawdą jest to, że x jest tej samej wagi, co z.

Przykład 2

Rozważmy zbiór pięcioelementowy A = { a , b, c, d, e} i określoną na nim relację δ (δ ⊆ A x A ) daną

poniższym grafem (rysunek 1). Zauważmy, że relacja ta jest relacją równoważności, jest bowiem

zwrotna, symetryczna i przechodnia.

Przykład 3

Rozważmy relację, której graf dany jest na rysunku 1. Łatwo można zauważyć, że relacja ta dzieli

zbiór A = { a , b , c , d , e } na trzy klasy abstrakcji, zatem zbiór ilorazowy tej relacji ma trzy elementy

i wynosi: { a , b , c , d , e } = {{ a , b }, { c} , { d , e} }.

Rysunek 1

Przykład 4

Rozważmy zbiór czteroelementowy A = { a , b , c , d }. Rozważmy także pewną podrodzinę jego zbioru

potęgowego Ω = {{ a , b , c }, { d }}. Zauważmy, że elementy rodziny Ω spełniają warunki podziału zbioru,

są bowiem niepuste, parami rozłączne oraz w sumie dają cały zbiór A . Zatem rodzina Ω jest

podziałem zbioru A .

Przykład 5

Zauważmy, że dla trójelementowego zbioru A = { a , b , c } istnieje dokładnie pięć jego

podziałów:

Ω 1 = {{ a }, { b }, { c } }, Ω 2 = {{ a , b }, { c } }, Ω 3 = {{ a }, { b , c }}, Ω 4 = {{ a , c }, { b }}, Ω 5 = {{ a , b , c }}.

Przykład 6

Przykładem relacji częściowego porządku jest również relacja inkluzji ⊆ (zawierania zbiorów)

określona na danym zbiorze potęgowym P (X). Mamy bowiem dla ustalonego zbioru X :

a) zwrotność:  ∀ A ∈ P ( X ) ( A ⊆ A ),

b) antysymetria:  ∀ A , B ∈ P ( X ) [( A ⊆ B ∧ B ⊆ A ) ⇒ A = B ] ,

c) przechodniość:  ∀ A , B , C ∈ P ( X ) [(A ⊆ B ∧ B ⊆ C) ⇒ A ⊆ C].

Przykład 7

Rozważmy zbiór częściowo uporządkowany dany poniższym diagramem Hassego (rysunek 2)

Rozważmy jego podzbiór X = { d , f , g }.

Zauważmy, że:

Elementem najmniejszym w X jest d . Jest to element, od którego są większe lub równe wszystkie

elementy zbioru X .

Elementu największego w zbiorze X brak.

Zbiór X ma jedno ograniczenie górne: h .

Zbiór X ma trzy ograniczenia dolne: b , a oraz d .

Kresem górnym zbioru X jest element h .

Kresem dolnym zbioru X jest element d .

Zbiór X ma jeden element minimalny: d .

Zbiór X ma dwa elementy maksymalne f oraz g .

Rysunek 2

Przykład 8

Przypomnijmy, że element a jest kresem górnym danego zbioru X (sup( X ) = a ), jeżeli jest najmniej-

szym jego ograniczeniem górnym. Podobnie kres dolny oznaczany przez inf( X ) = a . Rozważmy

następujący przykład (rysunek 3).

Rysunek 3

Zauważmy, że :

sup ({ a , c }) = c , inf ({ c , b }) nie istnieje,

sup ({ a , b , c , e }) = h , inf ({ a , b , c , e }) nie istnieje,

sup ({ a , g }) = g , inf ({ a , f }) = a ,

sup ({ c , d , b }) = f , inf ({ c , d , h }) = a .

Przykład 9

Rozważmy następujący przykład kraty czteroelementowej (rysunek 4):

Zauważmy, że:

b ∧ a = a , b ∧ 1 = b , b ∧ 0 = 0 , b ∧ b = b ,

b ∧ a = b , b ∧ 1 = 1 , b ∧ 0 = b , b ∧ b = b .

Rysunek 4

Element b nie posiada zatem uzupełnienia.

Przykład 10

Rozważmy następującą kratę z zerem i jedynką (rysunek 5).

Rysunek 5

Zauważmy, że odpowiednie elementy a , e ; h , d ; c , f są parami wzajemnie własnymi uzupełnieniami,

czyli:

(a) – a = e oraz – e = a .

(b) – h = d oraz – d = h .

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: