MN9.pdf

(233 KB) Pobierz
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.01//EN" "http://www.w3.org/TR/html4/strict.dtd">
Metody Numeryczne
Wykład 9
870699135.039.png
Interpolacja wielomianami sklejanymi
(Spline)
Dany jest zbiór węzłów x 1 <x 2 <...<x n .
Wielomianem sklejanym stopnia k , nazywamy taką funkcję S , która:
•
W każdym z przedziałów [x i ,x i+1 ) 1≤ i ≤ n-1, jest wielomianem
klasy Π k .
•
Ma ciągłą (k-1)-szą pochodną w przedziale [x i ,x i+1 ].
•
Ma ciągłą (k-1)-szą pochodną w przedziale [x i ,x i+1 ].
S 5
S 2
S 1
S 4
S 5
S 1
S 4
S 2
S 3
x 3
x 1
x 2
x 3
x 4
x 5
x 6
x 1
x 2
x 4
x 5
x 6
S 3
Wielomian sklejany stopnia 0
Wielomian sklejany stopnia 1
870699135.040.png 870699135.041.png 870699135.042.png 870699135.001.png 870699135.002.png 870699135.003.png 870699135.004.png 870699135.005.png 870699135.006.png 870699135.007.png 870699135.008.png 870699135.009.png 870699135.010.png 870699135.011.png 870699135.012.png 870699135.013.png 870699135.014.png 870699135.015.png 870699135.016.png 870699135.017.png 870699135.018.png 870699135.019.png 870699135.020.png 870699135.021.png 870699135.022.png 870699135.023.png 870699135.024.png 870699135.025.png 870699135.026.png 870699135.027.png 870699135.028.png 870699135.029.png 870699135.030.png 870699135.031.png 870699135.032.png 870699135.033.png 870699135.034.png
Interoplacja wielomianem sklejanym
3-go stopnia
Szukamy takiej funkcji sklejanej S która w każdym przedziale [x i ,x i+1 ) jest
wielomianem S i 3-go stopnia, oraz:
S
(
x
)
=
y
;
S
(
x
)
=
y
;
1
£
i
£
n
-
1
i
i
i
i
i
+
1
i
+
1
Dodatkowo zakładamy ciągłość pierwszej oraz drugiej pochodnej S.
Szukamy więc n-1 wielomianów interpolacyjnych o łącznej liczbie (n-1)*4
Szukamy więc n-1 wielomianów interpolacyjnych o łącznej liczbie (n-1)*4
współczynników.
• Z warunku interpolacji otrzymujemy 2*(n-1) równań.
• Warunki ciągłości pierwszej i drugiej pochodnej dają odpowiednio po
n-2 równań.
„Brakujące” dwa warunki (dwa stopnie swobody) można wykorzystać na
różne sposoby.
Np. zakładając:
¢
¢
S
(
x
)
=
0
S
(
x
)
=
0
1
1
n
-
1
n
Otrzymujemy tzw. Splain naturalny
870699135.035.png
Oznaczmy wartość drugiej pochodnej funkcji S w węzłach x i przez
k i , wówczas z warunku ciągłości drugiej pochodnej mamy:
¢
¢
S
(
x
)
=
k
=
S
(
x
)
;
2
£
i
£
n
-
1
i
i
i
i
+
1
i
k
=
0
k
=
0
oraz:
1
n
Druga
pochodna
wielomianu S i
jest
wielomianem
stopnia
pierwszego.
Stosując
wielomian
interpolacyjny
Lagrange’a
możemy zapisać:
możemy zapisać:
¢
S
( )
x
=
k
l
( )
x
+
k
l
( )
x
i
i
i
i
+
1
i
+
1
gdzie:
x
-
x
x
-
x
l
( )
x
=
i
+
1
;
l
( )
x
=
i
i
i
+
1
x
-
x
x
-
x
i
i
+
1
i
+
1
i
Ostatecznie:
k
(
x
-
x
)
-
k
(
x
-
x
)
¢
S
( )
x
=
i
i
+
1
i
+
1
i
i
x
-
x
i
i
+
1
870699135.036.png
k
(
x
-
x
)
-
k
(
x
-
x
)
¢
S
x
=
i
i
+
1
i
+
1
i
( )
i
x
-
x
i
i
+
1
Całkując dwukrotnie powyższe równanie otrzymujemy:
3
3
k
(
x
-
x
)
-
k
(
x
-
x
)
S
x
=
+
A
x
-
x
-
B
x
-
x
( )
i
i
+
1
i
+
1
i
(
)
(
)
i
i
+
1
i
6
(
x
-
x
)
i
i
+
1
gdzie A i B to stałe całkowania.
Korzystając z warunku interpolacji S i (x i )=y i otrzymujemy:
Korzystając z warunku interpolacji S i (x i )=y i otrzymujemy:
3
k
(
x
-
x
)
y
k
y
=
i
i
i
+
1
+
A
(
x
-
x
)
⇒
A
=
i
-
i
(
x
-
x
)
i
i
i
+
1
i
i
+
1
6
(
x
-
x
)
x
-
x
6
i
i
+
1
i
i
+
1
Podobnie, z warunku S i (x i+1 )=y i+1 otrzymujemy:
y
k
B
=
i
+
1
-
i
+
1
(
x
-
x
)
i
i
+
1
x
-
x
6
i
i
+
1
870699135.037.png 870699135.038.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin