Zadanie 6.pdf

(196 KB) Pobierz
Przykład 2
Przykład 2.6. Przekrój złożony z trzech kształtowników walcowanych.
Polecenie: Wyznaczyć główne centralne momenty bezwładności oraz kierunki główne dla
poniższego przekroju złożonego z trzech kształtowników walcowanych.
120x80x10
240
80x80x10
Dane dotyczące kształtowników przyjęto wg: Mikołaj Żyburtowicz Konstrukcje stalowe ,
WSiP, 1974.
Kształtownik I - ceownik [ 240
y
h
=
240
mm
s
=
85
mm
e
=
2
.
23
cm
I
=
3600
cm
4
x
x
h
x
I
=
248
cm
4
y
F
=
42
.
3
cm
2
e
y
s
Kształtownik II - kątownik nierównoramienny L 120x80x10
η
a
=
80
mm
y
ξ
b
=
120
mm
b
e
=
1
.
96
cm
x
x
y
e
x
ξ
e
x
=
3
.
93
cm
x
x
y
I
=
279
cm
4
η
x
e
y
I
=
99
.
6
cm
4
y
a
I
=
57
.
7
cm
4
η
I
=
575
cm
4
x
1
F
=
19
.
2
cm
2
186654960.006.png
Kształtownik III - kątownik równoramienny L 80x80x10
η
y
ξ
a
=
80
mm
a
e
=
2
.
35
cm
x
x
e
I
=
I
=
88
.
4
cm
4
x
y
ξ
e
y
η
I
=
140
cm
4
ξ
a
I
=
36
.
5
cm
4
η
F
=
15
.
1
cm
2
W tablicach do projektowania konstrukcji stalowych nie są podane wartości
momentów dewiacyjnych, których znajomość jest nieodzowna do wyznaczenia głównych
centralnych momentów bezwładności oraz kierunków głównych dla rozpatrywanego
przekroju złożonego. Moment dewiacyjny ceownika względem jego osi centralnych jest
równy zero, gdyż oś x jest osią symetrii przekroju. Momenty dewiacyjne obu kątowników w
układzie xy są różne od zera. W celu wyznaczenia momentu dewiacyjnego skorzystamy ze
wzorów na główne momenty bezwładności:
I
+
I
⎛ −
I
I
⎞
2
I
=
I
=
x
y
+
⎜
⎝
x
y
⎟
⎠
+
I
2
1
max
2
2
xy
I
+
I
⎛ −
I
I
⎞
2
I
=
I
=
x
y
−
⎜
⎝
x
y
⎟
⎠
+
I
2
.
2
min
2
2
xy
Po odjęciu stronami otrzymamy:
⎛ −
I
I
⎞
2
I
−
I
=
2
⋅
⎜
⎝
x
y
⎟
⎠
+
I
2
.
1
2
2
xy
Następnie po przekształceniu wzór na moment dewiacyjny przyjmie postać:
2
⎛ −
I
I
⎞
2
⎛ −
I
I
⎞
I
=
±
⎝
1
2
⎠
−
⎜
x
y
⎟
.
xy
2
2
⎝
⎠
W tablicach do projektowania konstrukcji stalowych kierunek maksymalnego
momentu bezwładności oznaczony jest przez ξ , natomiast kierunek minimalnego momentu
bezwładności oznaczony jest przez η . Uwzględniając to otrzym amy wzór:
2
⎛ −
I
I
⎞
2
⎛ −
I
I
⎞
I
=
±
⎜
⎝
ξ
η
⎟
⎠
−
⎜
⎝
x
y
⎟
⎠
.
xy
2
2
Wyznaczamy momenty dewiacyjne dla kątowników.
Kształtownik II - kątownik nierównoramienny L 120x80x10
W tablicach do projektowania konstrukcji stalowych podana jest tylko wartość
minimalnego momentu bezwładności . W celu wyznaczenia wartości skorzystamy z
zależności
I
η
I
ξ
I
x
+
I
y
=
I
ξ
+
I
η
,
czyli
I
ξ
=
I
x
+
I
y
−
I
η
.
2
186654960.007.png 186654960.008.png 186654960.009.png
Po podstawieniu wartości odczytanych z tablic otrzymamy
I
=
I
+
I
−
I
=
279
cm
4
+
99
.
6
cm
4
−
57
.
7
cm
4
=
320
.
9
cm
4
ξ
x
y
η
Wyznac zamy moment dewiacyjny
⎛ −
I
I
⎞
2
⎛ −
I
I
⎞
2
⎛
320
.
9
cm
4
−
57
.
7
cm
4
⎞
2
⎛
279
cm
4
−
99
.
6
cm
4
⎞
2
I
=
±
⎜
⎝
ξ
η
⎟
⎠
−
⎜
⎝
x
y
⎟
⎠
=
±
⎜
⎟
−
⎜
⎟
=
xy
2
2
2
2
⎝
⎠
⎝
⎠
=
±
96
.
29
cm
4
Znak momentu dewiacyjnego zależy od położenia kątownika nierównoramiennego w
stosunku do układu osi centralnych xy .
y
x
C
W rozpatrywanym przypadku w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych, w
których iloczyn współrzędnych x · y jest dodatni, znajduje się większa część pola figury (na
powyższym rysunku są to ciemniejsze fragmenty figury). Na tej podstawie można stwierdzić,
że moment dewiacyjny kątownika nierównoramiennego jest dodatni.
4
I xy =
96 .
29
cm
Kształtownik III - kątownik równoramienny L 80x80x10
W przypadku kątownika równoramiennego w tablicach podane są wartości obu
głównych centralnych momentów bezwładności i . Poza tym
I
ξ
I
η
I =
I
y
, a więc wzór na
moment dewiacyjny uprości się.
⎛ −
I
I
⎞
2
⎛ −
I
I
⎞
2
⎛ −
I
I
⎞
2
I
−
I
140
cm
4
−
36
.
5
cm
4
I
=
±
⎜
ξ
η
⎟
−
⎜
x
y
⎟
=
±
⎜
ξ
η
⎟
=
±
ξ
η
=
±
=
xy
2
2
2
2
2
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
=
±
51
.
75
cm
4
Znak momentu dewiacyjnego zależy od położenia kątownika równoramiennego w
stosunku do układu osi centralnych xy .
y
C
x
W rozpatrywanym przypadku w drugiej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych, w
których iloczyn współrzędnych x · y jest ujemny, znajduje się większa część pola figury (na
powyższym rysunku są to ciemniejsze fragmenty figury). Na tej podstawie można stwierdzić,
że moment dewiacyjny kątownika równoramiennego jest ujemny.
4
I xy
=
−
51 .
75
cm
3
x
186654960.001.png
Dla przekroju złożonego z trzech kształtowników walcowanych przyjmujemy układ osi Oxy .
8cm
4cm
II
y
y
c
2
y
c
I
C
x
2
c
2
O
x
x
y
C
c
c
3
C
3
x
c
3
12cm
12cm
8cm
III
W celu wyznaczenia współrzędnych środka ciężkości figury złożonej określamy pola
powierzchni i współrzędne środków ciężkości w układzie Oxy dla figur składowych na
podstawie tablic do projektowania konstrukcji stalowych.
2
I
42 .
3
cm
~
1 =
0
~ c
=
−
2
.
23
cm
c
1
A =
II
19 .
2
cm
2
( )
~ c
=
−
4
+
1
.
96
cm
=
−
5
.
96
cm
~ c
=
3
.
93
cm
2
2
( )
( )
A =
III
15 .
1
cm
2
~ c
=
12
+
2
.
35
cm
=
14
.
35
cm
~ c
=
−
8
.
5
−
2
.
35
cm
=
−
6
.
15
cm
3
3
Pole powierzchni figury złożonej wynosi
A
=
A
I
+
A
II
+
A
III
=
42
.
3
cm
2
+
19
.
2
cm
2
+
15
.
1
cm
2
=
76
.
6
cm
2
Moment statyczny figury złożonej względem osi y wynosi
S
=
A
I
⋅
~
+
A
II
⋅
~
+
A
III
⋅
~
=
y
c
1
c
2
c
3
=
42
.
3
cm
2
⋅
0
+
19
.
2
cm
2
⋅
( )
−
5
.
96
cm
+
15
.
1
cm
2
⋅
14
.
35
cm
=
102
.
253
cm
3
Moment statyczny figury złożonej względem osi x wynosi
S
=
A
I
⋅
~
+
A
II
⋅
~
+
A
III
⋅
~
=
x
c
1
c
2
c
3
=
42
.
3
cm
2
⋅
( )
−
2
.
23
cm
+
19
.
2
cm
2
⋅
3
.
93
cm
+
15
.
1
cm
2
⋅
( )
−
6
.
15
cm
=
−
111
.
738
cm
3
Współrzędne środka ciężkości figury złożonej są równe
~
S
102
.
253
cm
3
~
S
−
111
.
738
cm
3
=
y
=
=
1
.
335
cm
=
x
=
=
−
1
.
459
cm
c
A
76
.
6
cm
2
c
A
76
.
6
cm
2
Moment bezwładności figury złożonej względem osi x wynosi
I
=
I
I
+
I
II
+
I
III
=
I
I
+
A
I
⋅
~
2
+
I
II
+
I
III
+
A
III
⋅
~
2
=
x
x
x
x
x
c
1
x
x
c
3
c
1
c
3
=
248
cm
4
+
42
.
3
cm
2
⋅
( )
−
2
.
23
cm
2
+
575
cm
4
+
88
.
4
cm
4
+
15
.
1
cm
2
⋅
( )
−
6
.
15
cm
2
=
1692
.
9
cm
4
Moment bezwładności figury złożonej względem osi y wynosi
~
~
I
=
I
I
+
I
II
+
I
III
=
I
I
+
I
II
+
A
II
⋅
2
+
I
III
+
A
III
⋅
2
=
y
y
y
y
y
y
c
2
c
2
y
c
3
c
3
=
3600
cm
4
+
99
.
6
cm
4
+
19
.
2
cm
2
⋅
( )
−
5
.
96
cm
2
+
88
.
4
cm
4
+
15
.
1
cm
2
⋅
( )
.
35
cm
2
=
7579
.
4
cm
4
Moment dewiacyjny figury złożonej w układzie xy wynosi
I
=
I
I
+
I
II
+
I
III
=
I
I
+
I
II
+
A
II
⋅
~
⋅
~
+
I
III
+
A
III
⋅
~
⋅
~
=
xy
xy
xy
xy
xy
x
c
2
y
c
2
c
2
c
2
x
c
3
y
c
3
c
3
c
3
=
0
+
96
.
29
cm
4
+
19
.
2
cm
2
⋅
( )
−
5
.
96
cm
⋅
3
.
93
cm
−
51
.
75
cm
4
+
15
.
1
cm
2
⋅
14
.
35
cm
⋅
( )
−
6
.
15
cm
=
=
−
1737
.
8
cm
4
4
A =
14
186654960.002.png 186654960.003.png 186654960.004.png
Znając wartości momentów bezwładności i momentu dewiacyjnego figury złożonej w
układzie Oxy możemy korzystając z twierdzenia Steinera wyznaczyć momenty bezwładności
i moment dewiacyjny w układzie osi centralnych
x
c y
c
.
I
=
I
−
A
⋅
~
2
=
1692
.
9
cm
4
−
76
.
6
cm
2
⋅
( )
−
1
.
459
cm
2
=
1529
.
8
cm
4
x c
x
c
I
=
I
−
A
⋅
~
2
=
7579
.
4
cm
4
−
76
.
6
cm
2
⋅
( )
1
.
335
cm
2
=
7442
.
9
cm
4
y c
y
c
= .
Momenty bezwładności względem głównych centralnych osi bezwładności przyjmują
wartości:
I
I
−
A
⋅
~
⋅
~
=
−
1737
.
8
cm
4
−
76
.
6
cm
2
⋅
1
.
335
cm
⋅
( )
−
1
.
459
cm
=
−
1588
.
6
cm
4
x c
c
xy
c
c
I
+
I
⎛ −
I
I
⎞
2
I
=
I
=
x
c
y
c
+
⎜
⎝
x
c
y
c
⎟
⎠
+
I
2
=
1
max
2
2
x
c
y
c
1529
.
8
cm
4
+
7442
.
9
cm
4
⎛
1529
.
8
cm
4
−
7442
.
9
cm
4
⎞
2
( )
=
+
⎜
⎟
+
−
1588
.
cm
4
2
=
7842
.
7
cm
4
2
2
⎝
⎠
I
+
I
⎛ −
I
I
⎞
2
I
=
I
=
x
c
y
c
−
⎜
⎝
x
c
y
c
⎟
⎠
+
I
2
=
2
min
2
2
x
c
y
c
1529
.
8
cm
4
+
7442
.
9
cm
4
⎛
1529
.
8
cm
4
−
7442
.
9
cm
4
⎞
2
( )
=
−
⎜
⎟
+
−
1588
.
6
cm
4
2
=
1130
.
0
cm
4
2
2
⎝
⎠
Kąt φ o między osiami prostokątnego układu
x
c y
c
i układu głównych osi bezwładności
spełnia równanie:
( )
−
2
I
−
2
⋅
−
1588
.
6
cm
4
tg
2
ϕ
=
x
c
y
c
=
=
−
0
.
5373
o
I
−
I
1529
.
8
cm
4
−
7442
.
9
cm
4
x
y
c
c
ϕ
Główna oś bezwładności, względem której moment bezwładności ma wartość
tworzy z osią kąt , natomiast główna oś bezwładności, względem której
moment bezwładności ma wartość
2 o
ϕ
=
−
0
.
4930
rad
,
o
=
−
0
.
2465
rad
.
I =
1
I
max
x
c
ϕ
I =
2
I
min
tworzy z osią kąt
x
c
ϕ .
Ponieważ
I
<
I
to kąt
ϕ
=
ϕ
+
π
=
⎝
−
0
.
2465
+
π
⎠
rad
=
1
.
3243
rad
, natomiast kąt
x
c
y
c
1
o
2
2
ϕ
2
=
ϕ
o
=
−
0
.
2456
rad
.
y
y c
kierunek maksymalnego
momentu bezwładności
ϕ
x
O
C
ϕ
x c
2
kierunek minimalnego
momentu bezwładności
5
6
stąd
⎛
⎞
186654960.005.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin