Zadanie 4.pdf

(165 KB) Pobierz
Zadanie 3
Przykład 9.4. Utrata stateczności sztywnego słupa podpartego sprężyście
Trzon windy do transportu materiałów budowlanych na kolejne piętra wznoszonej konstrukcji
mocuje się do wznoszonej budowli stężeniem roboczym, aby zmniejszyć długość
wyboczeniową jego smukłej konstrukcji. Aby zaprojektować pręty takiego stężenia
roboczego można przyjąć, że ich praca statyczna jest taka jak praca prętów kratownicy.
Podlegają one, mianowicie, jedynie ściskaniu lub rozciąganiu. Trzon windy jest
nieporównanie sztywniejszy niż pręty stężające, może więc przemieszczać się jedynie jako
belka nieskończenie sztywna. Wykluczamy zatem wyboczenie trzonu. Utrata stateczności
może jednak nastąpić jeśli pręty stężenia okażą się zbyt podatne. Przyjmując schemat stężeń
jak na rysunku 1.a. obliczyć siłę krytyczną uwarunkowaną ich sztywnością. W praktyce
wymiary L oraz H 2 są dużo mniejsze niż H 1 i H 3 (te dwa ostatnie są zazwyczaj tego samego
rzędu). Na rysunku, dla lepszej czytelności, wymiary te są nienaturalnie podobne. Aby
wyprowadzenie równań rządzących równowagą odkształconego trzonu było czytelne, użyto
w nim wymiarów podanych na rysunku. Jednak dla uproszczenia obliczenia wyznacznika
układu równań proponuje się przyjąć H 1 = H 3 =3h, H 2 =h, oraz materiał i pola przekrojów A i
wszystkich prętów identyczne: E i =E, A i =A.
P
P kr
D
ϕ
L
H 3
H 3
f
E 4 , A 4
S 4
C
EJ=∞ α
H 2
H
S 3
H 2
B
E 2 , A 2
S 2
H 1
H 1
A
E 1 , A 1
S 1
R A
Rysunek 1. Przyjęty schemat konstrukcji windy (rysunek po lewej). Deformacja konstrukcji
zgodna z więzami i przyjętymi założeniami upraszczającymi (rysunek po prawej);
1. Równania równowagi odkształconej struktury
Rozpatrzmy jedynie belkę AD. Jej odkształcenie, biorąc pod uwagę nieskończoną sztywność,
sprowadza się do ruchu płaskiego: złożenia translacji i obrotu. Wybierzmy punkt A jako
E 3 , A 3
186690179.002.png
biegun i przedstawmy ruch belki jako ruch bieguna (przemieszczenie poziome o wektor f)
oraz obrót wokół bieguna o kąt ϕ. Przyjmijmy, że zarówno f jak i kąt ϕ są małe:
1
sin
ϕ
≅
cos ϕ
1
ϕ
Oznaczono (rys. 1.a.):
H 1 +H 2 +H 3 =H ; α=arctg( L/H )
Napiszemy sumę momentów względem punktu A oraz sumę rzutów na oś poziomą
wszystkich sił działających na belkę wyobrażoną na Rys. 1.b.
Zapisanie trzeciego równania (sumy rzutów sił na oś pionową) wprowadza dodatkowo do
procedury rozwiązania - reakcję w podporze niepodatnej.
∑ =0
M
A
=>
H
S
2
+
( )(
H
1
+
H
2
S
3
sin
α
+
S
4
) ( ) 0
−
f
+
ϕ
H
P
kr
=
(1)
S α
Należy teraz skorzystać z warunków geometrycznych oraz prawa fizycznego wiążącego
odkształcenia prętów z siłami, które w nich występują.
Wydłużenia prętów δ zgodne z założonym ruchem sztywnym belki są następujące
(rozciąganie ze znakiem „+”):
f
∑ =0
F
=>
1
+
S
2
+
S
3
sin
+
S
4
=
0
(2)
δ
We wzorze (3 3 ) przemieszczenie poziome rzutowano na kierunek pręta, uzyskując w ten
sposób przybliżoną wartość zmiany jego długości. Ścisłe uzasadnienie prawidłowości takiego
przybliżenia przekracza ramy tego zadania i powinno być znane z kursu mechaniki
technicznej. Podobnie uzasadnionym przybliżeniem jest nieuwzględnienie w równaniach (1),
(2) i dalszych zmiany kąta α.
Wydłużenia δ i występujące w (3) związane są z siłami w prętach (prawo Hooke’a):
=
δ +
2
=
f ϕ
H
1
δ
3
=
(
f +
+
ϕ
( )
1
H
2
) α
sin
4
= ϕ
f +
(
1
H
2
)
(3)
δ
=
S
L
δ
=
S
L
δ
=
S
L
δ
=
S
L
(4)
1
1
E
A
2
2
E
A
3
3
E
A
sin
α
4
4
E
A
1
1
2
2
3
3
4
4
Porównując stronami (3 1 ) z (4 1 ), (3 2 ) z (4 2 ), (3 3 ) z (4 3 ), (3 4 ) z (4 4 ), obliczamy siły jako funkcje
dwóch kinematycznych stopni swobody f i ϕ:
S
1 = ( ) L
f
E
1
A
1
S
=
f
+
ϕ
H
E
2
A
2
L
2
1
(
( )
)
E
A
sin
2
α
(
( )
) L
E
A
S
=
f
+
ϕ
H
+
H
3
3
S
= ϕ
f
H
+
H
4
4
(5)
3
1
2
L
4
1
2
2. Zapisanie układu równań dla obliczenia przemieszczeń f i ϕ
Siły zapisane równaniami od (5 1 ) do (5 2 ) podstawiamy do układu równań (1) i (2) otrzymując
układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (dotąd, dla lepszego zrozumienia tego, które
wielkości występują w równaniach, używano symboli ogólnych zdefiniowanych na rysunku
nr 1.
Dla uproszczenia dalszych obliczeń przyjmiemy teraz H 1 = H 3 =3h, H 2 =h, E i =E, A i =A ):
hEA
sin
3
α
1
hEA
sin
3
α
1
9
+
16
hEA
+
−
7
P
h
ϕ
+
3
+
4
hEA
+
−
P
f
=
0
(6)
kr
kr
L
L
L
L
L
L
EA
sin
3
α
EA
sin
3
α
7
+
4
EA
h
ϕ
+
3
+
EA
f
=
0
(7)
L
L
L
L
3. Zapisanie wyznacznika układu równań i obliczenie siły krytycznej
2
1
δ
186690179.003.png 186690179.004.png
 
Jak łatwo zauważyć, układ równań dla obliczenia niewiadomych parametrów opisujących
konfiguracje odkształconą jest jednorodny. Jego rozwiązanie trywialne: f=ϕ=0 interpretuje się
jako ściskanie osiowe pręta AD. Niezerowe rozwiązanie możliwe jest tylko wtedy, gdy
wyznacznik macierzy wyrazów przy niewiadomych w (8) przyjmuje wartość zero.
h
2
EA
2
sin
3
α
1
hEA
sin
3
α
1
9
+
16
EA
+
−
7
P
3
+
4
hEA
+
−
P
L
L
L
kr
L
L
L
kr
ϕ
0
=
(8)
f
0
hEA
sin
3
α
EA
sin
3
α
7
+
4
hEA
3
+
EA
L
L
L
L
Wyznacznik ten zależy od parametru P kr i wynosi:
( ) (
D
=
hEA
hEA
26
+
17
sin
3
α
−
P
L
14
+
3
sin
3
α
))
(9)
L
kr
Z warunku D=0 można łatwo wyznaczyć siłę krytyczną utrzymującą belkę w konfiguracji
geometrycznej opisanej niezerowymi (choć nie dającymi się jednoznacznie obliczyć)
parametrami f i ϕ:
P kr
=
hEA
( α α
( )
26
+
+
17
sin
3
(10)
L
14
3
sin
3
Można zauważyć, że siła ta jest proporcjonalna do sztywności prętów stężenia EA, odwrotnie
proporcjonalna do ich długości L .
4. Sprawdzenie
Łatwo zauważyć, że podstawiając siłę krytyczną wyrażoną wzorem (10) do któregokolwiek z
równań (6), (7) i przyjmując f jako dane, otrzyma się w obu przypadkach identyczna wartość
ϕ, podaną poniżej. Może to być sprawdzeniem poprawności obliczeń. Proponuje się
sprawdzić samodzielnie, że przyjmując ϕ =1 otrzyma się również z obu równań te samą
wartość translacji (będzie ona również ujemna).
ϕ
=
−
f
3
+
+
sin
3
α
(11)
h
7
4
sin
3
α
3
h
(
186690179.001.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin