pochodne_ii.pdf
(
121 KB
)
Pobierz
552652638 UNPDF
PochodnefunkcjiII
Wyk“ad9(Budownictwo)
•Monotoniczno–¢iekstremafunkcji
•Regu“adeL’Hospitala
•Punktyprzegiƒciawykresufunkcji
Twierdzenie1.(warunkiwystarczaj¡cemonotoniczno–cifunkcji)
NiechIoznaczadowolnyprzedzia“.Je»elidlaka»degox2Ifunkcjafspe“nia
warunek:
1.f
0
(x)=0,tojeststa“anaI;
2.f
0
(x)>0,tojestrosn¡canaI;
3.f
0
(x)<0,tojestmalej¡caI.
‚
wiczenie1.Znale„¢przedzia“ymonotoniczno–cipodanychfunkcji:
a)f(x)=
x
x!x
0
f(x)=lim
x!x
0
g(x)=0,przyczymg(x)6=0,
f
0
(x)
g
0
(x)
(w“a–ciwalubniew“a–ciwa),
2.istniejegranicalim
x!x
0
f
0
(x)
g
0
(x)
.
Uwaga1.Powy»szetwierdzeniejestprawdziwetak»edlagranicjednostron-
nychorazgranicw−1lubw1.
‚
wiczenie2.Obliczy¢podanegranice:
a)lim
x!
f(x)
g(x)
=lim
lim
x!x
0
x!x
0
x
10
−1
x
3
−1
;
sin3x
sin5x
;
b)lim
x!1
−2arctanx
ln
1+
1
x
2
;
c)lim
x!1
lncosx
lncos2x
.
Twierdzenie3.(regu“adeL’Hospitaladlanieoznaczono–ci
1
1
)
Je»elifunkcjefigspe“niaj¡warunki:
1.lim
d)lim
x!0
+
x!x
0
g(x)=1,
2.istniejegranicalim
x!x
0
x!x
0
f(x)=lim
f
0
(x)
g
0
(x)
(w“a–ciwalubniew“a–ciwa),
to
f(x)
g(x)
=lim
f
0
(x)
g
0
(x)
.
lim
x!x
0
x!x
0
1
GuillaumeFran
ç
oisAntoinedeL’Hospital(1661-1704)-matematykfrancuski.
1
1+x
2
;
b)f(x)=sinx+cosx;
c)f(x)=3x
5
+5x
3
;
d)f(x)=x+cosx.
Twierdzenie2.(regu“adeL’Hospitala
1
dlanieoznaczono–ci
0
0
)
Je»elifunkcjefigspe“niaj¡warunki:
1.lim
to
Uwaga2.Powy»szetwierdzeniejestprawdziwetak»edlagranicjednostron-
nychorazgranicw−1lubw1.
‚
wiczenie3.Obliczy¢podanegranice:
a)lim
x!1
tan3x
tanx
;
b)lim
x!
2
x
3
−2x+1
4x
3
+2
;
c)lim
x!1
lnsinx
lntanx
.
d)lim
x!0
+
To»samo–cizmieniaj¡cerodzajenieoznaczono–ci
Nieoznaczono–¢Stosowanato»samo–¢Otrzymananieoznaczono–¢
0·1 f·g=
f
1
g
0
0
lub
1
1
g
−
1
1−1 f−g=
f
0
0
1
fg
1
1
,1
0
,0
0
f
g
=e
glnf
0·1
Uwaga3.To»samo–¢podan¡dlanieoznaczono–ci1−1stosujemydopiero
wtedy,gdyzawiod¡innesposobyjejusuwania.
‚
wiczenie4.Obliczy¢podanegranice:
a)lim
1
;
2x
2
−
1
b)lim
x!0
2
arctanx
2xtanx
x
c)lim
x!1
.
De
nicja1.(minimumlokalne)
Funkcjafmawpunkciex
0
2D
f
minimumlokalne,je»eli
9
>0
8
x2(x
0
−,x
0
+)
f(x)>f(x
0
).
De
nicja2.(maksimumlokalne)
Funkcjafmawpunkciex
0
2D
f
maksimumlokalne,je»eli
9
>0
8
x2(x
0
−,x
0
+)
(f(x)<f(x
0
).
2
lnx
x
;
1
x!0
+
xlnx;
Twierdzenie4.(Iwarunekwystarczaj¡cyistnieniaekstremum)
Je»elifunkcjafspe“niawarunki:
1.f
0
(x
0
)=0;
2.pochodnaf
0
(x)przyprzej–ciuzmiennejxprzezpunktx
0
,zmieniaznakz
ujemnegonadodatni(zdodatniegonaujemny),
tofunkcjafosi¡gaminimum(maksimum)lokalnewpunkciex
0
.
x
.
Twierdzenie5.(IIwarunekwystarczaj¡cyistnieniaekstremum)
Je»elifunkcjafspe“niawarunki:
1.f
0
(x
0
)=0;
2.f
00
(x
0
)>0(f
00
(x
0
)<0),
tofunkcjafmawpunkciex
0
minimum(maksimum)lokalne.
‚
wiczenie6.Znale„¢wszystkieekstremalokalnepodanychfunkcji:
a)f(x)=x
100
+2x
50
;
b)g(x)=(x−5)e
x
.
De
nicja3.(funkcjawypuk“a)
Funkcjajestwypuk“anaprzedziale(a,b),je»eli
8
a<x
1
<x
2
<b
8
0<<1
f(x
1
+(1−)x
2
)
6
f(x
1
)+(1−)f(x
2
).
Uwaga4.Wypuk“o–¢oznacza,»eka»dyodcineksiecznejwykresule»ywy»ej
lubpokrywasiƒzfragmentemwykresupo“o»onymmiƒdzypunktami,przez
kt
ó
reprzechodzisieczna.
De
nicja4.(funkcjawklƒs“a)
Funkcjajestwklƒs“anaprzedziale(a,b),je»eli
8
a<x
1
<x
2
<b
8
0<<1
f(x
1
+(1−)x
2
)
>
f(x
1
)+(1−)f(x
2
).
Uwaga5.Wklƒs“o–¢oznacza,»eka»dyodcineksiecznejwykresule»yni»ej
lubpokrywasiƒzfragmentemwykresupo“o»onymmiƒdzypunktami,przez
kt
ó
reprzechodzisieczna.
Twierdzenie6.(warunekwystarczaj¡cywypuk“o–ciiwklƒs“o–ci)
1.Je»elif
00
(x)>0dlaka»degox2(a,b),tofunkcjafjestwypuk“ana(a,b).
2.Je»elif
00
(x)<0dlaka»degox2(a,b),tofunkcjafjestwklƒs“ana(a,b).
3
‚
wiczenie5.Znale„¢wszystkieekstremalokalnepodanychfunkcji:
a)f(x)=x
3
−3x
2
+4;
b)g(x)=e
x
+e
−x
;
c)h(x)=
lnx
‚
wiczenie7.Okre–li¢przedzia“ywypuk“o–ciiwklƒs“o–cipodanychfunkcji:
a)f(x)=e
−x
;
b)g(x)=x
4
;
c)h(x)=sinx;
d)s(x)=arctanx.
De
nicja5.(punktprzegiƒciawykresufunkcji)
Niechfunkcjafbƒdzier
ó
»niczkowalnawpunkciex
0
.Punkt(x
0
,f(x
0
))nazy-
wamypunktemprzegiƒciawykresufunkcjif,je»eliistniejeliczba>0taka,
»efunkcjafjestwypuk“ana(x
0
−,x
0
)iwklƒs“ana(x
0
,x
0
+)lubodwrotnie.
Uwaga6.Punktwykresujestpunktemprzegiƒcia,je»elifunkcjamawtym
punkciestyczn¡izmieniawnimrodzajwypuk“o–ci.Wykresfunkcjiprze-
chodziwtedyzjednejstronystycznejnadrug¡.
Twierdzenie7.(warunekwystarczaj¡cyistnieniapunktuprzegiƒcia)
Je»elifunkcjafspe“niawarunki:
1.f
00
(x
0
)=0;
2.pochodnaf
00
(x)przyprzej–ciuzmiennejxprzezpunktx
0
,zmieniaznakz
ujemnegonadodatni(zdodatniegonaujemny),
towykresfunkcjifmapunktprzegiƒciawpunkciex
0
.
‚
wiczenie8.Znale„¢punktyprzegiƒciapodanychfunkcji:
a)f(x)=4x
2
+
1
b)g(x)=e
cosx
;
c)h(x)=x
2
lnx;
d)s(x)=
3
p
1−x
3
.
4
x
;
Plik z chomika:
Nieokielznany77
Inne pliki z tego folderu:
metamorfizm_II.doc
(66 KB)
calka_nieoznaczona.pdf
(126 KB)
algebra licz zesp.pdf
(140 KB)
Matematyka całki.zip
(87760 KB)
matematyka 19.12.doc
(4499 KB)
Inne foldery tego chomika:
₪ Max Payne 3
►Kursy
BHP na budowie
BUDOWNICTWO
Dokumenty
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin