wm II - metody energetyczne (1).pdf

(1980 KB) Pobierz
Wczeœniej zdefiniowano i omówiono nastêpuj¹ce pojêcia i problemy: temat prêt, geometria pól, naprê¿enie
1
Metody energetyczne
Przykład 1
Wyznaczyć wspłczynnik z
dla przekroju prostokątnego, ktry wzdłuż osi y ma wymiar b , wzdłuż osi
z - h .
Funkcja momentu statycznego odciętej części przekroju dla prostokąta wyraża się wzorem
( )
b
h
2
2
S y
z
z
. Po podstawieniu do definicji otrzymamy
2
4
2
( )
( )
h
2
A
S
y
z
bh
b
2
h
4
h
2
z
2
4
1
1
1
d
A
z
b
d
z
36
1
2
.
z
I
2
b
2
z
b
2
h
6
4
16
2
16
24
80
2
y
A
b
h
2
144
Przykład 2
Dla wspornika stalowego jak na rys. P2
zbadać wpływ sił wewnętrznych na
wartość energii sprężystej w zależności
od proporcji
l
h
. Wspłczynnik
Poissona przyjąć
= 0,3.
Siły wewnętrzne będą określone
zależnościami
N
P
,
T
P
,
M
y
Px
.
Rys. P2. Schemat statyczny
Energię sprężystą wyznaczamy ze
wzoru
N
2
d
x
M
2
d
x
T
2
d
x
P
2
l
2
P
2
l
3
0
6
P
2
l
2
( )
1
y
U
U
U
U
z
N
M
T
z
y
z
2
EA
2
EI
2
GA
2
Ebh
Ebh
3
Ebh
y
l
l
l
P
2
l
2
l
3
1
,
56
l
P
2
2
3
2
lh
4
l
3
,
12
lh
.
Eb
2
h
h
3
h
2
Ebh
3
Wyznaczmy udziały poszczeglnych sił w całkowitej energii sprężystej
U N
lh
2
l
h
,
( )
U
4
,
12
lh
2
4
l
3
l
l
3
4
12
4
h
h
U
3
( )
l
3
M
4
l
h
y
,
( )
U
4
,
12
lh
2
4
l
3
l
l
3
1
,
03
h
h
,
z
,
,
57687612.006.png
 
2
U z
3
12
lh
2
3
,
12
l
h
.
( )
2
3
3
U
4
,
12
lh
4
l
l
4
12
4
h
h
W poniższej tabeli zestawiono wyznaczone udziały dla rżnych stosunkw
l
h
l
h
1
5
10
1
15
1
20
1
25
1
U N
U
0,1232
0,0096
0,0025
0,0012
0,0007
0,0004
U
M
y
0,4926
0,9604
0,9898
0,9954
0,9974
0,9984
U
U z
T
0,3842
0,0300
0,0077
0,0034
0,0019
0,0012
U
Według przyjętych powszechnie kryteriw za belkę uważamy konstrukcję o stosunku
l
h
10
.
Z zamieszczonych wynikw widzimy, że w zginanych konstrukcjach prętowych można pominąć wpływ
sił osiowych i poprzecznych na energię sprężystą.
Przykład 3
Wyznaczyć przemieszczenia:
Î z twierdzenia Castigliana, w Î ze wzoru Maxwella-Mohra Î rys. P3.
Przyjąć EI = const.
Wyznaczamy reakcje
M
l
C
0
R
D
0
,
M
B
0
M
R
A
l
Pl
0
R
P
M
,
A
l
M
A
0
M
R
B
l
2
Pl
0
R
M
2
P
.
B
l
Zapisujemy funkcje momentw zginających
w przedziałach
M
M
R
x
M
P
M
x
,
AB
A
1
l
1
Rys. P3. Schemat statyczny. Wykresy momentw
M
Pl
R
R
x
Pl
Px
,
BC
A
B
2
2
M D
DC
R
x
3
0
.
Aby wyznaczyć zmianę kąta z twierdzenia Castigiana musimy wykonać rżniczkowanie po momencie
zginającym przyłożonym w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia. Tak się składa, że
,
T
l
,
57687612.007.png 57687612.008.png 57687612.001.png
3
dysponujemy odpowiednią zmienną Î M . Energię sprężystą możemy ograniczyć do części pochodzącej od
zginania.
M
M
1
l
M
l
M
l
M
∑ ∫
i
i
d
x
M
AB
d
x
M
BC
d
x
M
DC
d
x
i
AB
1
BC
2
DC
3
EI
M
EI
M
M
M
i l
0
0
0
i
1
l
M
x
1
l
2
M
M
x
1
M
P
x
1
1
d
x
M
P
x
P
d
x
1
1
1
1
EI
l
l
EI
l
l
l
0
0
1
2
M
l
2
M
l
2
l
M
Pl
Ml
P
P
.
EI
l
2
l
3
EI
3
6
Potrzebne we wzorze Maxwella-Mohra momenty od obciążenia jednostkowego w miejscu i na kierunku
szukanego przemieszczenia w uzyskamy, podstawiając w wyznaczonych wcześniej rwnaniach
momentw M = 0, P = 1
M
AB
x
1
,
M
BC
l
x
2
,
M
DC
0
.
Wyznaczamy przemieszczenie ze wzoru Maxwella-Mohra, ograniczając się jedynie do zginania
M
M
1
l
M
( )
l
∑ ∫
w
i
i
d
x
M
P
x
x
d
x
Pl
Px
l
x
d
x
i
1
1
1
2
2
2
EI
EI
l
i l
0
0
i
1
l
M
l
Mx
P
x
1
d
x
P
l
2
2
lx
x
2
d
x
1
1
2
2
EI
l
0
0
1
l
2
M
l
3
l
3
l
2
M
2
Pl
M
P
Pl
3
Pl
3
P
.
EI
2
l
3
3
EI
6
3
Przykład 4
Metodą Castigliana wyznaczyć przemieszczenie w w belce obciążonej jedynie momentem zginającym M
Î rys. P4. Przyjąć EI = const.
W przeciwieństwie do przykładu 3 nie
dysponujemy siłą uoglnioną w miejscu
poszukiwanego przemieszczenia. Przyłżmy
zatem siłę
0
Rys. P4. Schemat statyczny
obliczamy szukane przemieszczenie
M
M
P
*
M
x
,
M
P
*
l
P
*
x
,
M
0
,
AB
1
BC
2
DC
l
P , ktra umożliwi
wykonanie rżniczkowania. Funkcje
momentw zginających w przedziałach
wyznaczamy na podstawie przykładu 3 i
57687612.002.png
4
U
M
( )
P
*
0
M
1
l
x
∑ ∫
( )
w
i
i
d
x
M
1
1
x
d
x
i
1
1
*
*
P
EI
P
EI
l
i l
0
i
M
l
x
1
M
l
2
l
2
Ml
2
x
d
x
.
1
1
EI
l
EI
2
3
6
EI
0
Znak minus świadczy, że przemieszczenie jest przeciwne do założonego zwrotu siły
P .
Przykład 5
Ze wzoru Maxwella-Mohra wyznaczyć
przemieszczenie
Rys. P5. Schemat statyczny
Funkcje momentw zginających i momentw
od obciążenia jednostkowego w przedziałach
wyznaczamy na podstawie przykładu 3
i obliczamy szukane przemieszczenie
M
AB
Px
1
,
M
BC
Pl
Px
2
,
M
DC
0
,
M
AB
1
x
1
,
M
BC
0
,
M
DC
0
,
l
M
M
1
l
x
P
l
x
2
1
P
l
2
l
2
Pl
2
∑ ∫
i
i
d
x
Px
1
1
d
x
x
d
x
.
i
1
1
1
1
EI
EI
l
EI
l
EI
2
3
6
EI
i l
0
0
i
Znak minus świadczy, że przemieszczenie jest przeciwne do założonego zwrotu momentu jednostkowego
*
Przykład 6
Metodą Castigliana wyznaczyć rozwarcie rozciętego
pierścienia Î rys. P6.
Opis uzależnimy od zmiennej kątowe
. Elementarna
długość pręta wyniesie
d r
l
d
.
Moment zginający będzie rwny
( )
M
Px
Pr
1
cos
.
Obliczamy energię sprężystą
M
2
d
l
P
2
r
3
2
π
2
U
1
2
cos
cos
d
l
2
EI
2
EI
l
0
Rys. P6. Schemat statyczny
w belce obciążonej
jedynie siłą P Î rys. P5. Przyjąć EI = const.
M .
57687612.003.png
5
P
2
r
3
2
π
1
1
P
2
r
3
3
1
2
π
3
π
P
2
r
3
1
2
cos
cos2
d
l
2
sin
sin2
2
EI
2
2
2
EI
2
4
2
EI
0
0
i poszukiwane przemieszczenie
U
3
π
Pr
3
f
.
P
EI
Przykład 7
Dla ramy Î rys. P7.1 wyznaczyć reakcje: A
H - z twierdzenia Menabrei, B
H z zasady Bettiego. Przyjąć
EI = const. dla wszystkich prętw.
Z rwnań statyki otrzymamy:
ql
2
M
0
V
,
B
A
2
l
ql
2
pion
0
V
V
,
B
A
2
l
poz
0
H
B
qh
H
A
.
Momenty zginające w przedziałach będą rwne:
M
( )
x
H
x
qx
1
,
1
A
1
2
( )
qh
2
qh
2
qh
2
M
x
H
h
V
x
H
h
x
,
2
A
2
A
2
A
2
2
2
Rys. P7.1. Schemat statyczny
M
( )
x
H
x
H
qh
x
.
3
B
3
A
3
Oblicza się reakcję z twierdzenia Menabrei
U
h
M
( )
x
M
( )
x
l
M
( )
x
M
( )
x
h
M
( )
x
M
( )
x
0
1
1
d
x
2
2
d
x
3
3
d
x
1
2
3
H
EI
H
EI
H
EI
H
A
0
A
0
A
0
A
1
h
qx
1
l
qh
2
qh
2
h
2
3
H
x
x
d
x
H
h
x
h
d
x
H
qh
x
d
x
A
1
1
1
A
2
2
A
3
EI
2
2
2
l
0
0
0
1
H
h
3
qh
4
2
qh
3
l
qh
3
l
h
3
A
H
h
l
H
qh
A
A
EI
3
8
2
4
3
1
H
h
2
2
h
3
l
qh
3
3
h
12
l
6
l
8
h
,
A
EI
3
24
H A
qh
11
h
18
l
.
8
2
h
3
l
l
57687612.004.png 57687612.005.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin