1. Wykaż, że jeżeli ciąg określony jest wzorem , to ciąg : jest ciągiem arytmetycznym.
2. Załóżmy, że ciąg jest malejącym ciągiem arytmetycznym.
a) wiedząc, że i , oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.
b) oblicz różnicę między sumą dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych i sumą wyrazów tego ciągu dziesiątego do dwudziestego włącznie.
3. Różnica ciągu arytmetycznego jest równa 2. Suma p początkowych wyrazów tego ciągu wynosi 21, zaś p-ty wyraz jest równy 9. Natomiast kolejnymi wyrazami ciągu są te wyrazy ciągu , w kolejności występowania, które są liczbami podzielnymi przez 5.
a) Znajdź ciąg .
b) Suma ilu początkowych wyrazów ciągu jest równa 2000?
4. Suma n początkowych wyrazów ciągu dla każdego określona jest wzorem .
a) Oblicz 30-ty wyraz ciągu .
b) Na podstawie definicji wykaż, że jest ciągiem arytmetycznym.
c) Znajdź takie trzy kolejne wyrazy ciągu , aby kwadrat środkowego wyrazu był o 48 mniejszy od różnicy kwadratów wyrazów z nim sąsiadujących.
5. Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem dla . Oblicz sumę 50 początkowych wyrazów tego ciągu o numerach parzystych: .
6. Ciąg liczbowy jest określony dla każdej liczby naturalnej wzorem gdzie .
a) Wykaż, że dla każdej wartości p ciąg jest arytmetyczny.
b) Dla p=2 oblicz sumę .
c) Wyznacz wszystkie wartości p, dla których ciąg określony wzorem jest stały.
7. Wykazać, że jeżeli ciąg jest nieskończonym ciągiem arytmetycznym, to ciąg o wyrazie ogólnym określonym wzorem też jest ciągiem arytmetycznym.
8. Wyznacz ciąg arytmetyczny, którego suma n pierwszych wyrazów jest równa 5n2, dla każdego .
9. W ciągu arytmetycznym o nieparzystej liczbie wyrazów suma wyrazów stojących na miejscach nieparzystych równa się 44, a suma pozostałych wynosi 33. Znajdź wyraz środkowy i liczbę wyrazów tego ciągu.
10. Suma n początkowych wyrazów ciągu dla każdego n1 określona jest wzorem Sn = 2n2 − 14n.
a) Wykaż, że ciąg jest ciągiem arytmetycznym.
b) Wykaż, że jeżeli suma n początkowych wyrazów ciągu dla każdego n ≥ 1 określona jest wzorem Sn = 2n2 − 14n + 1, to ciąg ten nie jest arytmetyczny.
11. Dla jakich wartości parametru k równanie ma co najmniej trzy różne pierwiastki, które są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego?
12. Ciąg jest arytmetyczny oraz a1 = x i a2 = 4x − 1. Wiedząc, że a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 25, oblicz x oraz sumę a 11 + a12 + a13 + …+ a25 .
13. W rosnącym ciągu arytmetycznym stosunek wyrazu szóstego do trzeciego równa się 7, a suma kwadratów wyrazów drugiego i czwartego równa się 40. Wyznacz pierwszy wyraz tego ciągu.
14. Liczby x+ y, 3x + 2y + 1 i 2 x + 5x + 4y tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz te wartości x, dla których ciąg ten jest rosnący.
15. O liczbach a, b i c wiadomo, że tworzą ciąg arytmetyczny oraz ich suma wynosi . Wyznacz największą możliwą wartość wyrażenia . Dla jakich liczb a, b i c wartość ta jest osiągana.
MDominika