Ćwiczenie 11 - Moduł Younga.docx

1. Wprowadzenie.

Pojęcie bryły sztywnej jest tylko użytecznym przybliżeniem, rzeczywiste ciała zmieniają swój kształt pod wpływem przyłożonych sił. Jeżeli po usunięciu siły ciało wraca do kształtu pierwotnego mówimy o odkształceniu sprężystym. Prawo Hooke'a mówi, że odkształcenie sprężyste ciała jest proporcjonalne do przyłożonych sił.

W przypadku rozciągania jednorodnego pręta przyrost długości ∆l jest proporcjonalny do jego długości l i siły F, a odwrotnie proporcjonalny do przekroju poprzecznego S.

∆l=FlES

Stała materiałowa E nasi nazwę MODUŁU YOUNGA.

Moduł Younga jest to stosunek naprężenia normalnego do względnego wydłużenia.

E=σε=FlSΔlNm2=Pa

gdzie:

σ – naprężenie normalne zdefiniowane jako stosunek przyłożonej siły do pola przekroju pręta:

σ=FS

ε – normalne odkształcenie względne, równe stosunkowi przyrostu długości do długości początkowej:

ε=∆ll

Aby wyznaczyć moduł Younga musimy znać długość l i średnicę drutu d oraz jego wydłużenie ∆l pod wpływem danego obciążenia F, a także pole przekroju drutu S.

Siła F rozciągająca drut jest siłą ciężkości odważników o masie m. Zatem F=mg, gdzie g=9,81ms2 jest przyspieszeniem ziemskim. Zgodnie z prawem Hooke’a zależność ∆lm winna być linią prostą o równaniu ∆l=aF+b.

Porównując równanie prostej ∆l=aF+b z wzorem ∆l=FlES pokazuje, że współczynnik nachylenia a jest tożsamy z czynnikiem lES, zatem E=laS. Ponadto pole przekroju drutu S obliczamy ze średnicy d jako S=πd24, zatem roboczy wzór na moduł Younga przyjmuje postać:

E=4lπd2a

Niepewność złożoną uCE obliczamy przy pomocy prawa propagacji niepewności względnej na podstawie niepewności l, d oraz a (niepewność współczynnika nachylenia u(a) pochodzi od błędu przypadkowego pomiaru ∆l, gdyż niepewność masy m jest pomijalna). Otrzymujemy:

uC(E)E=u(l)l2+-2u(d)d2+-u(a)a2

2. Opis wybranych zagadnień kontrolnych.

1.       Pojęcie naprężenia. Rodzaje naprężeń.

Naprężenie to miara sił wewnętrznych powstających w ciele pod wpływem zewnętrznej, odkształcającej siły. Rodzaje:

- naprężenie normalne

- naprężenie całkowite

- naprężenie styczne

2.       Moduł Younga. Podaj definicję i jednostkę.

Inaczej stała materiałowa – jest to wielkość określająca sprężystość materiału. Wyraża zależność względnego odkształcenia liniowego ε materiału od naprężenia σ jakie w nim występuje w zakresie odkształceń sprężystych.

E=σε

Jednostka: paskal  1Pa=Nm2

3.       Co się stanie z drutem po przekroczeniu granicy sprężystości?

Po przekroczeniu granicy sprężystości rozpoczyna się nieodwracalne odkształcenie materiału. W reszcie po przekroczeniu maksymalnego naprężenia materiał ulegnie zerwaniu.

4.       Dlaczego zmiany długości drutu są dwa razy mniejsze od zmian długości podawanych przez czujnik?

Ponieważ pręt i szalka zamocowane są w połowie odległości  między osią obrotu a punktem styku z czujnikiem mikrometrycznym.

3. Wyniki pomiarów.

Wyniki pomiarów umieszczone są w tabelach 1 i 2.

4. Opracowywanie wyników pomiarów.

DRUT STALOWY

1.       Do mierzenia długości drutu l użyliśmy przymiaru zamocowanego na statywie, którego dokładność równa jest 1 mm.

Długość drutu: l=106,7 cm

Niepewność metodą typu B: ul=13≈0,58 mm

Do mierzenia średnicy drutu d użyliśmy śruby mikrometrycznej, której dokładność równa 0,01 mm.

Otrzymane wyniki 3 pomiarów: d1=0,725 mm, d2=0,72 mm, d3=0,72 mm

Niepewność metodą typu B: dl=0,013≈0,0058 mm

Obliczanie średnicy średniej:

d=d1+d2+d33=0,725+0,72+0,723≈0,722 mm

2.         Obliczanie wartości siły rozciągającej.

Do pomiarów użyliśmy 7 odważników 1kg, obciążając szalkę kolejnym odważnikami . Wartość siły rozciągającej obliczamy ze wzoru:

F=mg

Przykład obliczania dla m=1kg:

F=1∙9,81=9,81 kgms2=N

Pozostałe wyniki zapisane do tabeli 1.

3.         Wartość średniego wydłużenia obliczamy na podstawie wskazań czujników cz↑ oraz cz↓ jako:

∆l=cz↑+cz↓4

Przykład obliczania dla cz↑=0,4 mm oraz cz↓=0,44 mm

∆l=0,4+0,444=0,21 mm

Pozostałe wyniki zapisane do tabeli 1.

4-6. Sporządzenie wykresu.

7.       Obliczanie wartości modułu Younga.

Stosujemy wzór roboczy:
E=4lπd2a
 

dane: l=1,067 m,               d=0,000722 m,               a=0,000014161 mN

Zatem eksperymentalna wartość modułu Younga dla stali wynosi:

E=4∙1,0673,14∙0,0007222∙0,000014161≈184 GPa

8.        Obliczanie niepewność moduły Younga z prawa o przenoszeniu niepewności.

dane: ul=0,00058 m,                            ud=0,0000058 m,                            ua=0,00000018348 mN

uE=Eu(l)l2+-2u(d)d2+-u(a)a2=1840,000581,0672+-20,00000580,0007222+-0,000000183480,0000141612≈3,8 GPa

9.       Porównanie z wartością tablicową modułu Younga równą Et=210 GPa

210-184=26>3,8

DRUT MOSIĘŻNY

1.       Do mierzenia długości drutu l użyliśmy przymiaru zamocowanego na statywie, którego dokładność równa jest 1 mm.

Długość drutu: l=106,8 cm

Niepewność metodą typu B: ul=13≈0,58 mm

Do mierzenia średnicy drutu d użyliśmy śruby mikrometrycznej, której dokładność równa 0,01 mm.

Otrzymane wyniki 3 pomiarów: d1=0,775 mm, d2=0,78 mm, d3=0,775 mm

Niepewność metodą typu B: dl=0,013≈0,0058 mm

Obliczanie średnicy średniej:

d=d1+d2+d33=0,775+0,78+0,7753≈0,777 mm

2.         Obliczanie wartości siły rozciągającej.

Do pomiarów użyliśmy 6 odważników 1kg, obciążając szalkę kolejnym odważnikami . Wartość siły rozciągającej obliczamy ze wzoru:

F=mg

Przykład obliczania dla m=2kg:

F=2∙9,81=19,62 kgms2=N

Pozostałe wyniki zapisane do tabeli 2.

3.         Wartość średniego wydłużenia obliczamy na podstawie wskazań czujników cz↑ oraz cz↓ jako:

∆l=cz↑+cz↓4

Przykład obliczania dla cz↑=0,72 mm oraz ...