Lista04.pdf

Listazadanianr4

Metodyprobabilistyczneistatystyka

studiaIstopnia–informatyka(rok2)

WydziałuEkonomiczno-Informatycznego

FiliaUwBwWilnie

JarosławKotowicz

InstytutMatematykiUniwersytetwBiałymstoku

17stycznia2009

Listazadanianr4–prawdopodobie«stwogeometryczneizmiennelosowe c J.Kotowicz2008 1

Prawdopodobie«stwo geometryczne.

1. Odcinek [0 , 1] jest w sposób losowy dzielony na dwie cz¦±ci. Cz¦±¢ dłu»sz¡ znów w sposób losowy dzielona jest na dwie

cz¦±ci. Wyznaczy¢ prawdopodobie«stwo zdarzenia, »e z tak otrzymanych trzech odcinków da si¦ zbudowa¢ trójk¡t.

2. Problem Buone’a. Płaszczyzna jest pokryta prostymi równoległymi w odst¦pach równych a . Na t¡ płaszczyzn¦

rzucamy igł¦ o długo±ci l,l<a. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e igła przetnie jedn¡ z prostych ?

3. Na układ prostych równoległych odległych o d jednostek rzucamy monet¦ o promieniu r takim, »e 2 r<d . Obliczy¢

prawdopodobie«stwo, »e moneta nie przetnie »adnej z tych prostych.

4. Monet¦ o promieniu r rzucamy na parkiet utworzony z przystaj¡cych kwadratów o boku 2 a . Obliczy¢ prawdopodo-

bie«stwo, »e moneta przykryje przynajmniej dwa kwadraty, je±li r<a .

5. Na stół podzielony na równe prostok¡tne trójk¡ty równoramienne o ramionach równych a , pada moneta o promieniu

r . Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e moneta nie przetnie »adnego boku trójk¡ta. Poda¢ warunek na r .

6. Dwaj studenci umówili si¦ na przystanku tramwajowym miedzy godzin¡ 13.00, a 14.00. Ka»dy z nich od momentu

przyj±cia miał czeka¢ tylko 15 minut. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e studenci si¦ spotkaj¡.

7. Dwaj studenci umówili si¦ na spotkanie na przystanku autobusowym mi¦dzy godzinami 12.00, a 13.00. Ka»dy z nich po

przyj±ciu b¦dzie czekał dokładnie 12 minut. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, tego »e obydwaj si¦ spotkaj¡, je±li przyj±cie

ka»dego z nich o danej godzinie jest jednakowo mo»liwe i niezale»ne od przyj±cia drugiego.

8. W dany kwadrat o boku 2 a wpisujemy koło, a nast¦pnie w koło kolejny kwadrat. Wybieramy losowo punkt z wi¦kszego

kwadratu. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e wybrany punkt nale»y do kwadratu mniejszego.

9. W kwadrat o boku a wpisano koło, a nast¦pnie w te koło wpisano kwadrat. Wybieramy losowo punkt z wi¦kszego

kwadratu. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e punkt b¦dzie nale»ał do koła i nie b¦dzie nale»ał do mniejszego kwadratu.

10. Paradoks Bertranda. W sposób losowy kre±limy ci¦ciw¦ okr¦gu. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e ci¦ciwa jest dłu»-

sza od boku trójk¡ta równoramiennego wpisanego w koło ograniczone danym okr¦giem.

11. Niesko«czona prostok¡tna krata składa si¦ z pr¦tów w kształcie walca o promienie r . Odległo±ci mi¦dzy osiami równo-

ległych walców wynosz¡ odpowiednia a i b . Obliczy¢ prawdopodobie«stwo traﬁenia kul¡ o ±rednicy d w krat¦ w jednym

rzucie, je±li trajektoria lotu kuli jest prostopadła do płaszczyzny kraty.

12. W koło o promieniu r wpisano trójk¡t równoboczny, a w trójk¡t kolejne koło. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e losuj¡c

trzy punkty z wi¦kszego koła dokładnie jeden traﬁ do mniejszego koła, drugi do trójk¡ta i nie traﬁ do wpisanego koła.

13. W koło o promieniu 1 wpisano trójk¡t równoboczny. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e losowo wybrany punkt z koła

nale»y do trójk¡ta.

14. Wtrzechnast¦pnychzadaniachmamy = [0 , 1] ,Pjestmiar¡Lebesgue‘ana [0 , 1] tj.jestdługo±¢. Poda¢ przykład

zdarze« niezale»nych A 1 ,A 2 takich, »e P ( A 1 ) = P ( A 2 ) = 2 3 .

15. Poda¢ przykład zdarze« niezale»nych A 1 ,A 2 ,A 3 takich, »e P ( A 1 ) = P ( A 2 ) = P ( A 3 ) = 1 2 .

16. Poda¢ przykład zdarze« niezale»nych A 1 ,A 2 ,...,A n takich, »e P ( A 1 ) = P ( A 2 ) = ... = P ( A 3 ) = 1 2 .

17. Z kwadratu [0 , 1] × [0 , 1] losowany jest punkt ( x,y ). Wyznaczy¢ prawdopodobie«stwo zdarzenia, »e | x − y | <r, 0 <r< 1 .

18. W kwadrat o boku a wpisano koło. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e wszystkie n losowo wybrane punkty z kwadratu

nale»¡ do koła.

19. Z odcinka [0 ,L ] losujemy niezale»nie N liczb. Wyznaczy¢ prawdopodobie«stwo, »e n spo±ród tych liczb b¦dzie z odcinka

( a,b ) [0 ,L ] , 0 ¬ n ¬ N.

20. Z kuli o promieniu R wylosowano N punktów. Wyznaczy¢ prawdopodobie«stwo zdarzenia, »e odległo±¢ od ±rodka kuli

do najbli»ej poło»onego punktu jest wi¦ksza lub równa a, 0 <a<R .

2 Listazadanianr4–prawdopodobie«stwogeometryczneizmiennelosowe c J.Kotowicz2008

21. W koło wpisany jest kwadrat. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e z pi¦ciu punktów rozmieszczonych losowo w kole jeden

znajdzie si¦ w kwadracie, a pozostałe po jednym w ka»dym z czterech wycinków koła.

22. Z odcinka ( a,b ) losowanych jest niezale»nie n punktów. W odcinku tym zawarte s¡ rozł¡czne odcinki ( c 1 ,d 1 ) , ( c 2 ,d 2 ).

Obliczy¢ prawdopodobie«stwo zdarzenia, »e dokładnie k 1 punktów b¦dzie nale»ało do ( c 1 ,d 1 ), a k 2 do ( c 2 ,d 2 ), je±li

0 ¬ k 1 + k 2 ¬ n .

23. Z odcinka [0 , 1] wybieramy niezale»nie dwie liczby x,y . Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e z odcinków o długo±ci 1 ,x,y

mo»na zbudowa¢ trójk¡t.

24. W ka»dym spo±ród n niezale»nych do±wiadcze« obserwuje si¦ warto±ci zmiennej losowej X o rozkładzie równomiernym

na odcinku [0 ,L ]. Wyznaczy¢ prawdopodobie«stwo zaobserwowania chocia» jednej warto±ci w odcinku ( a,b ) [0 ,L ],

je»eli wiadomo, »e wszystkie warto±ci n le»¡ w przedziale ( c,d ) , ( a,b ) ( c,d ) [0 ,L ] .

25. Zmienna losowa X posiada rozkład skoncentrowany na odcinku ( a,b ]. Wykonywanych jest n niezale»nych do±wiadcze«.

Wyznaczy¢ prawdopodobie«stwo, »e w k do±wiadczeniach warto±ci X b¦d¡ z przedział ( a,c ), a pozostałych n − k

do±wiadcze« warto±ci X b¦d¡ z przedziału [ c,d ] , 0 ¬ k<n .

Zmienna losowa.

1. Z kwadratu o boku a losowane s¡ dwa wierzchołki. Warto±ci¡ zmiennej losowej X jest długo±¢ odcinka ł¡cz¡cego te

wierzchołki. Wyznaczy¢ rozkład X .

2. Z sze±cianu o kraw¦dzi a losowane s¡ trzy wierzchołki. Warto±ci¡ zmiennej losowej X jest pole trójk¡ta wyznaczonego

przez te wierzchołki, którego wierzchołkami s¡ one. Wyznaczy¢ rozkład X .

3. Z kwadratu o boku a losowany jest punkt. Warto±ci¡ zmiennej losowej X jest odległo±¢ od najbli»szego boku. Wyznaczy¢

rozkład X .

4. Losujemy punkt z trójk¡ta równobocznego o boku a . Zmienna losowa przyjmuje warto±ci równe odległo±ci punktu od

najbli»szego boku. Poda¢ rozkład zmiennej losowej.

5. Dany jest prostok¡t o bokach a,b , gdzie a<b . Z prostok¡ta losujemy punkt. Zmienna losowa X przyjmuje warto±ci

równy odległo±ci punktu od najbli»szego dłu»szego boku. Poda¢ rozkład zmiennej losowej.

6. Dany jest prostok¡t [0 , 2] × [0 , 4]. Z prostok¡ta losujemy punkt. zmienna losowa X przyjmuje warto±ci równe odległo±ci

punktu od najbli»szego dłu»szego boku. Poda¢ rozkład zmiennej losowej.

7. Dane s¡ dwa koła współ±rodkowe o promieniach 1 i 2. Z wi¦kszego koła losujemy punkt. Zmienna losowa przyjmuje

warto±ci równe odległo±ci punktu od mniejszego z okr¦gów Poda¢ rozkład zmiennej losowej.

8. Z okr¦gu o promieniu 1 losujemy dwa punkty P,Q. Warto±ci¡ zmiennej losowej jest długo±¢ mniejszego łuku. Wyznaczy¢

rozkład X .

9. Z koła o promieniach 2 losujemy punkt. Zmienna losowa przyjmuje warto±ci równe odległo±ci punktu od brzegu koła.

Poda¢ rozkład zmiennej losowej.

10. Z odcinka [0 ,L ] losowane s¡ w sposób niezale»ny dwie liczby x 1 ,x 2 . Warto±ci¡ zmiennej losowej X jest liczba 1, je»eli

liczba r 2 [0 ,L ] le»y pomi¦dzy punktami x 1 ,x 2 i 0 w przeciwnym wypadku. Wyznaczy¢ rozkład X .

11. A jest zdarzeniem losowym, które mo»na zaobserwowa¢ w pojedynczym do±wiadczeniu P ( A ) = p> 0. Do±wiadczenia

s¡ w sposób niezale»ny wykonywane do tego momentu, kiedy A zostanie zaobserwowane po raz pierwszy. Warto±ci¡

zmiennej losowej X jest numer tego do±wiadczenia kiedy A zostało zaobserwowane pierwszy raz (lub kiedy zostały

przerwane próby). Wyznaczy¢ rozkład X .

12. Z p¦ku n kluczy wybierany jest jeden i pasowany do zamka. Klucz, który nie pasuje jest odkładany, a z pozostałych jest

losowany kolejny klucz. Warto±ci¡ zmiennej losowej X jest numer tej próby, w której klucz pasuje do zamka. Wiadomo,

»e tylko jeden klucz otwiera zamek. Wyznaczy¢ rozkład X .

Listazadanianr4–prawdopodobie«stwogeometryczneizmiennelosowe c J.Kotowicz2008 3

13. Z kwadratu [0 , 1] × [0 , 1] losowany jest punkt ( x,y ). Wyznaczy¢ rozkłady zmiennych losowych X = min { x,y } ,Y =

max { x,y } .

14. Rzucamy raz symetryczn¡ monet¡. Zdarzeniu wypadłorzeł przyporz¡dkowujemy liczb¦ 2, a wypadłareszka liczb¦ -1.

Poda¢ rozkład zmiennej losowej.

15. Rzucamy dwoma symetrycznymi monetami. Zdarzeniu wypadłydwiereszki przyporz¡dkowujemy liczb¦ 5, wypadły

ró»newyniki liczb¦ -3, za± wypadłydwaorły liczb¦ 1. Poda¢ rozkład zmiennej losowej.

16. Rzucamy pi¦cioma symetrycznymi monetami. Zmienna losowa przyjmuje warto±ci równe ilo±ci wyrzuconych orłów.

Poda¢ rozkład zmiennej losowej.

17. Rzucamy dwoma kostkami. Zmienna losowa przyjmuje warto±ci równe sumie wyrzuconych oczek na obu kostkach.

Poda¢ rozkład zmiennej losowej.

18. Dokonujemy 10 jednakowych prób, które s¡ niezale»ne. W ka»dej z prób mo»e pojawi¢ si¦ zdarzenie A z prawdopo-

dobie«stwem p, (0 <p< 1). Zmienna losowa przyjmuje warto±ci równe ilo±ci wyst¡pie« zdarzenia A . Znale¹¢ rozkład

zmiennej losowej.

19. W urnie znajduj¡ si¦ 4 kule białe i 4 czarne. Losujemy z urny jednocze±nie 4 kule. Zmienna losowa przyjmuje warto±ci

równe ilo±ci wylosowanych kul czarnych. Poda¢ rozkład zmiennej losowej.

20. Rzucamy dwiema kostkami do gry. Zmienna losowa przyjmuje warto±ci równe bezwzgl¦dnej ró»nicy wyrzuconych oczek.

Poda¢ jej rozkład.

21. Rzucamy kostk¡ do gry i czworo±cianem na ±cianach którego s¡ liczby 0,0,1,2. Zmienna losowa przyjmuje warto±ci

równe

sumie;

iloczynowi

wyrzuconych oczek i liczby wypadłej na czworo±cianie. Poda¢ rozkład zmiennej losowej.

22. Rzucamy trzema monetami na których znajduj¡ si¦ nast¦puj¡ce liczby -1 i 1, 0 i 1 oraz 1 i 2. Zmienna losowa przyjmuje

warto±ci równe iloczynowi liczb wypadłych na monetach. Poda¢ rozkład zmiennej losowej.

23. Rzucamy kostk¡ i monet¡. Opisa¢ zmienn¡ losow¡, je±li przyjmuj¦ warto±ci równe

sumie oczek na kostce i wypadłych liczb na monecie (orzeł - 0, reszka - 1);

ilo±ci wyrzuconych oczek na kostce;

iloczynowi ilo±ci oczek na kostce i wypadłych liczb na monecie (orzeł - 0, reszka - 1).

24. Rzucamy kostk¡ do gry i dwiema monetami. Na jednej z monet znajduj¡ si¦ liczby 1 i 2, a na drugiej 0 i 1. Zmienna

losowa przyjmuje warto±ci równe iloczynowi otrzymanych oczek i wyrzuconych liczb na monetach. Poda¢ rozkład

zmiennej losowej.

25. Rzucamy kostk¡ i dwoma symetrycznymi monetami, na których znajduj¡ si¦ odpowiednio liczby -1,1; 0,1. Zmienna

losowa X przyjmuje warto±ci równe sumie wyrzuconych oczek i iloczynowi liczb wypadłych na monetach. Poda¢ rozkład

zmiennej losowej.

26. Rzucamy kostk¡ i trzema symetrycznymi monetami, na których znajduj¡ si¦ odpowiednio liczby -1,1; 0,1; -1,0. Zmienna

losowa X przyjmuje warto±ci równe sumie wyrzuconych oczek i iloczynowi liczb wypadłych na monetach. Poda¢ rozkład

zmiennej losowej.

27. Rzucamy dwoma kostkami i dwoma symetrycznymi monetami, na których znajduj¡ si¦ liczby 0,1. Zmienna losowa

X przyjmuje warto±ci równe warto±ci bezwzgl¦dnej ró»nicy wyrzuconych oczek powi¦kszonych o iloczyn wyników

otrzymanych na monetach. Poda¢ rozkład zmiennej losowej.

4 Listazadanianr4–prawdopodobie«stwogeometryczneizmiennelosowe c J.Kotowicz2008

28. Rzucamy dwoma kostkami do gry i monet¡ na której s¡ cyfry 0 i 1. Zmienna losowa przyjmuje warto±ci równe iloczynowi

sumy oczek i wyrzuconej liczby na monecie. Poda¢ rozkład zmiennej losowej.

29. Rzucamy dwoma kostkami i symetryczn¡ monet¡, na której znajduj¡ si¦ liczby -1,1. Zmienna losowa X przyjmuje

warto±ci równe sumie liczby wypadłej na monecie i warto±ci bezwzgl¦dnej ró»nicy wyrzuconych oczek. Poda¢ rozkład

zmiennej losowej.

30. Ze zbioru N ponumerowanych elementów losujemy ze zwracaniem n elementów (1 <n<N ) . Niech X,Y b¦d¡ zmien-

nymi losowymi przyjmuj¡cymi odpowiednio warto±¢ najwi¦kszego i najmniejszego wylosowanego numeru. Wyznaczy¢

rozkłady X,Y .

31. Ucze« rzuca 4 razy do kosza. Prawdopodobie«stwo umieszczenia piłki w koszu wynosi 1 4 . Wyznaczy¢ rozkład zmiennej

losowej wyznaczonej przez ilo±¢ traﬁe« do kosza.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: