3
1. Wprowadzenie do techniki regulacji
1. Wprowadzenie do techniki regulacji [1]
Różnice wynikające ze sterowania w układzie otwartym i zamkniętym rozpatrzmy na przykładzie sterowania silnika obcowzbudnego prądu stałego. Analizę tego układu przeprowadzono przy założeniu, że dynamikę silnika obcowzbudnego prądu stałego można, z dobrym przybliżeniem, opisać za pomocą równania różniczkowego pierwszego rzędu. Na rys.1 przedstawiono uproszczony schemat silnika obcowzbudnego prądu stałego.
Rys. 1 Uproszczony schemat obcowzbudnego silnika prądu stałego
W układzie tym sterujemy prędkością kątowa w(t) za pomocą napięcia twornika U(t). Zależność wiążącą te wielkości można wyznaczyć korzystając z równań opisujących obwód elektryczny i mechaniczny maszyny.
Rys. 2 Schemat obwodu elektrycznego twornika
Na rys. 2 przedstawiono schemat obwodu elektrycznego twornika uwzględniający oporność R twornika oraz siłę elektromotoryczną indukcji e. Siła elektromotoryczna jest równa:
(1.1)
gdzie c – stała konstrukcyjna maszyny,
f – strumień wzbudzenia,
w – prędkość obrotowa silnika.
Ponieważ napięcie Uw w obwodzie wzbudzenia jest stałe, stały jest także strumień wzbudzenia f . Możemy zatem napisać:
(1.2)
gdzie ke – stała elektromechaniczna maszyny
Stosując prawo Kirchhoffa do obwodu twornika otrzymujemy równanie:
(1.3)
Równanie równowagi momentów na wale silnika ma postać:
(1.4)
gdzie: J – całkowity moment bezwładności,
Zachodzi także zależność (1.5)
(1.5)
gdzie: km – stała mechaniczna
Wobec tego podstawiając do równania (1.4) zależności (1.3) i (1.5) otrzymujemy równanie dynamiki silnika:
(1.6)
oraz
(1.7)
gdzie: - stała czasowa obiektu,
R – rezystancja twornika,
; – wzmocnienia statyczne.
W układzie tym sterujemy prędkością kątową w(t) za pomocą napięcia twornika U(t), przy występowaniu zakłócenia w postaci obciążenia M(t).
Przedstawiając równanie (1.7), za pomocą schematu blokowego, otrzymujemy schemat sterowania silnika w układzie otwartym (w otwartej pętli sprzężenia zwrotnego).
Rys. 3. Schemat blokowy sterowania silnika w otwartej pętli
Celem sterowania jest umożliwienie pracy silnika ze stałą, określoną prędkością wzad(t). Przeanalizujmy pracę silnika w układzie otwartym. W pierwszym etapie analizy przyjmijmy, że znana jest dokładnie dynamika układu. Dla napięcia zasilania U(t)=U0, rozpatrzmy dwa przypadki:
- moment obciążenia jest równy zero,
- moment obciążenia jest równy M(t)=M0.
W pierwszym przypadku równanie dynamiki silnika przyjmuje postać:
. (1.8)
Przy zerowych warunkach początkowych (tzn., gdy silnik startuje z prędkością w(0)=0), rozwiązanie równania różniczkowego (1.8) jest następujące (1.9):
. (1.9)
Dla przykładowych danych: T=2, U0=12, ku=2 przebieg w(t), przedstawia rys. 4.
Rys. 4. Przebieg prędkości kątowej silnika obcowzbudnego w układzie otwartym
Wartość prędkości kątowej w stanie ustalonym (dla t->µ) równa się . Stąd wynika, że aby silnik pracował z zadaną prędkością (=), należy go zasilać napięciem równym: .
Sterowanie takiego układu wydaje się bardzo proste. W analizie tego przypadku poczyniliśmy jednak założenie, że moment obciążenia jest równy zero. Prędkość w biegu jałowym jest inna niż przy obciążeniu. Należy zatem przeanalizować sytuację, w której moment obciążenia będzie różny od zera. W tej sytuacji dynamika układu opisana jest równaniem (1.7),a rozwiązanie tego równania (przy zerowych warunkach początkowych) jest następujące:
. (1.10)
Ten przypadek, przy założeniu wartości momentu obciążenia M(t)=M0=6, oraz wzmocnienia k0=1, przedstawia rys. 5.
Rys. 5. Przebieg prędkości kątowej silnika obcowzbudnego, w układzie otwartym, w przypadku uwzględnienia stałego momentu obciążenia
Wartość prędkości kątowej w stanie ustalonym, przy działaniu stałego obciążenia, można wyznaczyć z równania (1.4):
.
Błąd pomiędzy wartością zadaną a uzyskaną prędkością, w tym przypadku, wynosi:
Im większe obciążenie, tym wartość prędkości kątowej silnika w układzie otwartym jest mniejsza (bardziej różni się od wartości zadanej).
Analiza przeprowadzona w dwóch poprzednich przypadkach dotyczyła sterowania silnika o znanej charakterystyce dynamicznej. Dynamika silnika zależy od wielu czynników i może się zmieniać w trakcie długiej eksploatacji maszyny (np. starzenie się elementów konstrukcyjnych). Przeprowadźmy analizę w przypadku, w którym wartość stałej elektromechanicznej ke różni się od wartości wyznaczonej na początku. Załóżmy nową wartość stałej jako: . Wtedy wartość stałej czasowej , a wzmocnienia statyczne przyjmują wartości oraz .
Przebieg charakterystyki dynamicznej silnika, przy uwzględnieniu nowych wartości parametrów w równaniu (1.2), przedstawia rys. 6.
Rys. 6. Przebieg prędkości kątowej silnika obcowzbudnego, w układzie otwartym, w przypadku zmiany właściwości dynamicznych silnika
Ustalona wartość prędkości kątowej w tym przypadku równa jest:
Nasza wiedza o maszynie i środowisku, w którym pracuje nie jest doskonała. Zakłócenia wynikające ze zmiany obciążenia, czy też zmiany parametrów maszyny są nierozerwalnie zwiazane z jej pracą. Jak można zauważyć sterowanie w układzie otwartym, przy występowaniu zakłóceń, nie daje zadowalających rezultatów.
Biorąc to wszystko pod uwagę, rozpatrzmy sterowanie silnika w układzie zamkniętym (układzie ze sprzężeniem zwrotnym - rys. 7).
Rys. 7. Schemat blokowy sterowania silnika w zamkniętej pętli sprzężenia zwrotnego
W układzie tym mierzymy wartość prędkości kątowej w(t) (za pomocą tachometru) i porównujemy (odejmujemy) w węźle sumacyjnym z wartością zadaną wzad(t). W celu otrzymania aktualnej wartości napięcia zasilającego silnik, sygnał błędu jest wzmacniany, przez wzmocnienie regulatora proporcjonalnego Kp. Porównanie prędkości najczęściej realizowane jest w woltach, ze względu na możliwość zastosowania liniowego przetwornika pomiarowego prędkość-napięcie. Wzmocnienie przetwornika określono na schemacie symbolem kcz. Zastosowany w analizie regulator proporcjonalny jest najprostszym elementem regulatora klasycznego PID. Zastosowano go w celu uproszczenia analizy układu.
Zatem równanie dynamiki silnika w układzie z rys. 7 przyjmuje postać:
, (1.11)
a rozwiązanie tego równania:
. (1.12)
Przeprowadźmy analogiczne rozważania, jak dla układu otwartego. Rozpatrzmy najpierw przypadek, w którym moment obciążenia jest równy zero. Prędkość kątowa wyznaczona dla zerowego momentu obciążenia jest następująca:
. (1.13)
Przebieg prędkość kątowej, dla przyjętych wartości kcz=1, K=5 oraz wzad=24, przedstawiono na rys. 8.
Rys. 8. Przebieg prędkości kątowej, w układzie zamkniętym, przy zerowym obciążeniu
Wartość prędkości kątowej w stanie ustalonym, dla zerowego obciążenia, można wyznaczyć z zależności:
. (1.14)
Dla przyjętych w analizie wartości parametrów, prędkość kątowa w stanie ustalonym przyjmuje wartość wust=21,82.
Uwzględniając obciążenie różne od zera M(t)=M0, otrzymujemy zależność określającą prędkość kątową, za pomocą równania (1.6). Przebieg prędkości kątowej w tym przypadku przedstawiono na rys. 9.
Rys. 9. Przebieg prędkości kątowej w układzie zamkniętym z uwzględnieniem obciążenia
Wartość prędkości kątowej w stanie ustalonym, przy działaniu stałego obciążenia, można wyznaczyć z zależności:
. (1.15)
Dla przyjętych w analizie wartości parametrów, prędkość kątowa w stanie ustalonym przyjmuje wartość wust=21,27.
W przypadku trzecim założono inne wartości parametrów maszyny od wcześniej zidentyfikowanych. Analogicznie, jak dla układu otwartego, wartość stałej czasowej , wzmocnienia statyczne: oraz .
Rys. 10. Przebieg prędkości kątowej, w układzie zamkniętym, w przypadku zmiany właściwości dynamicznych silnika
...
jugra