RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
DEF 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci
F(x , y , y’ )=0,
gdzie y’ oznacza pochodną funkcji y zmiennej x.
UWAGA 1. Zamiast y’ będziemy również pisać .
DEF 2. Rozwiązaniem równania różniczkowego zwyczajnego jest każda funkcja klasy C1 postaci y=j(x), która spełnia to równanie tzn.: F(x , j(x) , j’ (x ) )=0.
DEF 3. Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego zwyczajnego jest funkcja postaci j(x , C), gdzie CÎR. Przy ustalonym C rozwiązanie ogólne staje się rozwiązaniem szczególnym.
UWAGA 2. Dane równanie różniczkowe może mieć nieskończenie wiele rozwiązań szczególnych.
PRZYKŁAD 1.Spróbujmy rozwiązać równanie postaci y’ = y. Rozwiązaniem tego równania może być funkcja , ponieważ tylko ta funkcja i jej pochodna są równe. Jest to rozwiązanie szczególne bowiem rozwiązanie ogólne jest postaci . Istotnie dla dowolnej liczby rzeczywistej C. Rozwiązanie szczególne powstaje, gdy w rozwiązaniu ogólnym podstawić za C konkretną liczbę np.: C=1.
PRZYKŁAD 2. Rozwiąż równanie
y’ = 2y
y = e2x
(e2x)’ = 2e2x.
y = e2x- rozwiązanie szczególne
y = C e2x- rozwiązanie ogólne
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE O ROZDZIELONYCH ZMIENNYCH
DEF 4. Równaniem różniczkowym zwyczajnym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci
,
gdzie p i q oznaczają funkcje ciągłe jednej zmiennej.
PRZYKŁAD 3. Rozwiążemy równanie postaci
y2= x.
W tym celu rozdzielimy zmienne dzieląc obie strony równania przez dx co daje nam
y2dy= x dx .
Całkujemy obustronnie
ò y2 dy= ò x dx .
i otrzymujemy
y3 = x2 +C
skąd
y3 = x2 +3 C -rozwiązanie ogólne.
PRZYKŁAD 4. Rozwiążmy równanie .
Mamy .
Dzielimy najpierw przez (1+x2 ) a następnie przez ( oraz mnożymy przez dx i otrzymujemy
.
skąd , więc rozwiązaniem ogólnym jest
PRZYKŁAD 5. Rozwiążemy równanie postaci 2x2= y.
W tym celu rozdzielimy zmienne dzieląc obie strony równania najpierw przez 2x2, x ¹ 0 co daje nam ,
a następnie przez y przy założeniu, że y ¹ 0 i otrzymujemy postać .
Teraz mnożymy obie strony przez element dx i dostajemy .
i otrzymujemy ln|y| = - +C
skąd .
Funkcja stała y = 0 jest także rozwiązaniem tego równania , bo
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE POSTACI y’ = f(ax + by +c)
Rozpatrzymy teraz równanie postaci
y’ = f(ax + by +c),
w którym wykonujemy podstawienie
u =ax +by +c
, skąd
i
, dla b ¹ 0.
PRZYKLAD 6. Rozwiążmy równanie =(x-y)2 + 1 przy warunku początkowym dla x=0.
Podstawmy u = x - y,
skąd ,
więc .
Wstawmy to do równania i dostajemy .
Dalej mamy
i ,
czyli .
Wracając do naszego podstawienia otrzymujemy , ostatecznie więc rozwiązaniem ogólnym jest
Uwzględniając warunek początkowy mamy , czyli C=-2, więc jednym z rozwiązań szczególnych jest funkcja , która dla x=0 przyjmuje wartość .
PRZYKLAD 7. Rozwiąż równanie y’ = 2x + 3y +1.
Podstawmy u =2x + 3y +1
oraz u’ = 2 +3 y’
stąd y’ =
Mamy = u
czyli u’ – 2 =3 u
= 3u + 2
= dx
ln|3u + 2| = x + C
ln|2x + 3y +1 |= 3x + 3C – rozwiązanie ogólne
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE POSTACI y’ = f()
gdzie f jest ciągła i x ¹ 0.
W tym przypadku wykonujemy podstawienie
y= x u i .
PRZYKLAD 8.Rozwiążmy równanie .
Zanim wykonamy podstawienie podzielimy obie strony równania przez . Wówczas otrzymujemy równanie
Wykonujemy podstawienie skąd .
Dostajemy
stąd
Po przekształceniach otrzymujemy ,
Po uwzględnieniu wcześniejszego podstawienia otrzymujemy ,
PRZYKLAD 9. Rozwiąż równanie .
Najpierw dokonujemy podstawienia skąd .
Mamy u + x=+u
x=
(3+u) du =
ò (3+u) du =ò
3u + u2 = ln|x| + C
3+=ln |x| + C – rozwiązanie ogólne
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE RZĘDU PIERWSZEGO
DEF 5. Równaniem różniczkowym liniowym I- rzędu nazywamy równanie różniczkowe postaci
gdzie funkcje p i q są ciągłe zadane zaś y funkcją niewiadomą zmiennej x.
UWAGA 3. Jeżeli q(x) = 0 to równaniem różniczkowym liniowym I- rzędu nazywamy równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym .
...
Minnie_